高中數(shù)學(xué)函數(shù)經(jīng)典例題題詳解值得擁有

高中數(shù)學(xué)函數(shù)經(jīng)典例題題詳解值得擁有

一、二次函數(shù)

1一知二次函數(shù)/(乃=以2+&X+CX,不等式/(x)>-2x的解集為(1,3).

(I)若方程〃x)+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求“X)的解析式：

(11)若〃x)的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

1、解：(I)???不等式f(x)>-2x的解集為(1,3)

x=1和x=3是方程ax?+(6+2)》+o=0(4<0)的兩根

-=3

a

?\b=-4a-2,c=3a

又方程/(x)+6〃=0有兩個(gè)相等的實(shí)根

/.A=Z?2—4a(c+6a)—0

；?4(2a+l)2-4ax9a=0

???(5〃+1)(1-〃)=0

a=--^a=1(舍)

5

16

?A3

555

(II)由(I)知/。)二以2—2(2Q+I)X+3Q

,2a+1、(2tz+1)~

=a(x----------)--..........—+3a

aa

a2-4a—I

Va<0,

/w的最大值為一"-4"1

a

???/(x)的最大值為正數(shù)

67<0

\-a2-4a-i八

----------------->0

a

解得。<-2-3或-2+百<°<0

.?.所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-OO,-2-V3)U(-2+區(qū)0)

2已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b是常數(shù)且a/0)滿足條件f(2)=0且方程Rx)=x有等根.

⑴求f(x)的解析式.

(2)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,n(m<n),使氏x(chóng))的定義域和值域分別為［m,n］和［2m,2n］.如果存在，求出m,n的值；如果不存

在，說(shuō)明理由.

解：⑴依題設(shè)方程ax2+(b-l)x=0有等根，

.\(b-l)2=O得b=l.

又出2)=0,即4a+2b=0,得a=—y,

1,

所以/(X)———x~+x).

(2)由(1)—(-X—1)',?4?2/7<-,即“4w

而拋物線f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,則f(x)在［m,n］上為增函數(shù)，

(2)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,n(m〈n),使f(x)的定義域和值域分別為［m,n］和［2m,2n］.如果存在，求出m,n的值；如果不存

在，說(shuō)明理由.

f(m)=2m

設(shè)m,n存在，可得：

,/(?)=2n

—nr+m-0

2[in=0或一2

即得T

12或—

—n'+n=A0[n=02

2

m——2

又m<n<—,得

4〃=0

故存在實(shí)數(shù)m=-2,n=0,使f(x)的定義域?yàn)椋?2,0］值域?yàn)椋?4,0］.

3.已知二次函數(shù)於戶af+fcv+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中。、b、c滿足。>6>c,a+>c=0,(a,b,ceR)。

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；

(2)求線段48在x軸上的射影AS的長(zhǎng)的取值范圍。

證明(1)由卜="尸+云+'消去y得ax2+2bx+c=0

y=-bx

4=4/?2—4ac=4(—a—4—4ac=4(a2+ac+c2)

=4[(a+-|)2+^c2]

a+b+c=0,a>b>c,/.?>0,c<0

-c2>0,：.4>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)。

4

解(2)設(shè)方程ax2+bx^c=0的兩根為由和巧,則

—冗)22=(為+尤2)2—4%也

2b24c_4b2-4ac_4(-a-c)2-4ac=4[(-)2+-+l]=4[(-+1)2+1]

)―2-2

aaaaaaa24

a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

「1

q—c>c,解得一￡(—2,——)

a2

,//(-)=4[(-)2+-+1]的對(duì)稱(chēng)軸方程是-=

aaaa2

￡￡(—2,一，)時(shí)，為減函數(shù)

a2

...四卅”(3,12),故由8k(6,26)

4設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+/?x+c,J3/(l)=—>2c>20,求證:

h3

(1)?>0Jl-3<-<--

a4;

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

⑶設(shè)的,》2是函數(shù)/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則/WlX1-X2l＜；.

證明：(1)v/(I)=a+b+c=-^.?.3a+20+2c=0

又3。>2c>283a>0,2b<0a>0,b<0

又2c=-3a—2b山3a>2c>2b.\3a>—3a—2b>2b

cb3

Va>0???-3<一<一一

a4

(2)Vf(0)=c,f(2)=4a+2h+c=a—c

①當(dāng)c>0Ebj,二〃〉。，??.f(0)=c>0且/(I)=—]<0

???函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)cWO時(shí)，：a>0/./(I)=--<0_0/(2)=a-c>0

函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

綜合①②得/(尤)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

(3)VXpX2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)

則X],是方程於2+bx+C=0的兩根

.bc3b

.?X]+/=----,X]%2=-=----------

aa2a

22

???|x{-x2\=J(』i+%)-4為々=J(--)_4(一亮-—)=J(~+21+2

Va2a\a

a4

V2WX]一±l<

5已知二次函數(shù)/(冗)=辦2+加；+。.

(1)若/(一1)=0,試判斷函數(shù)/(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若對(duì)V*R且X]<》2，試證明三%€(X1,々)，使/(%)=；"(%)+/(々)]成立；

⑶是否存在a7,ceR,使/(x)同時(shí)滿足以下條件①對(duì)VxeR,/(x—4)=/(2-x),且yG[0,+8)；②對(duì)

VxeR,WO</(x)-x<-(x-l)2.若存在，求出a,b,c的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)V/(-I)=0,/.a-/?+c=O,故6=。+。

A=/?2-4ac=(〃+c)2一4ac=(Q-c)2,

當(dāng)。=。時(shí)八=0,函數(shù)/&)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)。He時(shí)，A>0,函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。

⑵令g(X)=/(X)—g"&)+/(X2)]，

則g&)=/a)—；"(為)+/(々)]=；"&)一"々)]

gG)=/(-^2)-1[/(Xi)+/(X2)]=J"%?)一/(X1)]

19

???8(為抬*2)=-3"*)一/區(qū))]<0(/&)。/(%2))，

，g(X)=0在&,4)內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根，即士()€(須，々)，使/*0)=；"(為)+/區(qū))]成立

(3)假設(shè)a,〃，c存在，由①知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=—l,且/(x)mm=0，

b?4ac-b2八.,,口,

—=-1,-------=0,..b=2a,b2=4ac,從而。=c

2a4ac

由②知對(duì)VxeR,都有0W/(x)-xW；(x-l)2,

令x=l得0</(1)-1W0,/(1)-1=0,即/(1)=1,a+b+c=l

〃+b+c=l

由<0=2〃W^=c=—,h=—,

42

a-c

當(dāng)a=c=—,b~—時(shí)，f(x)——x~4—x-\———(x+1)2，其頂點(diǎn)為(-1,0)滿足條件①，又f(x)—x=—(x+1)~

4242444

對(duì)VxeR,者B有0W/(x)-xWg(x-1)?滿足條件②.

二存在a,0,c,使/(x)同時(shí)滿足條件①、②.

解法2：假設(shè)a,第c存在，由①知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-l,且/(x)mm=O,

b4ac_b~211-7-rri2c

——=-1,------------=0,/.b=2a,b=4ac,從而〃=c,fix)-ax4-2ax+a

2a4ac

1.

VXG/?,都有0</(X)—X<5(X—1)2,

/(x)-x>R恒成立，ax2+(2a-l)x+a>0,A=(26?-1)2-4a2<0=>a>—@

4

/(x)一無(wú)對(duì)xwR恒成立，

(g-a)x2-(2a—2)x+(；-Q)20,△=(2a-2)2-4(；-a)2<0=>a-

所以：Q=c=：?，8=；，，存在a,/7,c,使/(x)同時(shí)滿足條件①、②.

6.已知二次函數(shù)危尸〃/+笈+出,仇c均為實(shí)數(shù))，滿足a-〃+c=O,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有/(x)-x20,并且當(dāng)(0,2)

時(shí)，有/。聲(號(hào):

(1)求/⑴的值；

(2)證明：—；

16

11

(3)當(dāng)x￡[?2,2]且〃+c取得最小值時(shí)，函數(shù)/㈤寸㈤-心(加為實(shí)數(shù))是單調(diào)的，求證：機(jī)這-5或m2；.

,解:(1)???對(duì)于任意xWR,都有〃力?工20,且當(dāng)工￡(0,2)時(shí),

有了㈤.(苫^]?令廣】

即/(1)=1

(2)由a-b+c=O及/(1)=1.

七fa-b+c=0r/曰,1

有《，可得/?=〃+<?=一.

[a+b+c=12

又對(duì)任意占危>工20,即ax2-—x+c^O.

2

???。>0且△?().

即‘?4acW0,解得ac2—.

416

(3)由(2)可知Q>0,C>0.

a+c22Jac22?J—=一.

V162

當(dāng)且僅當(dāng)("=0]時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)

a+c=—

2

1

a=c=—.

4

1

?/(X尸“2++于1+“1

F(x)=f(x)-mx=—[x2+(2-4/n)x+1].

4

當(dāng)x￡[-2,2]時(shí)，/㈤是單調(diào)的，所以尸。)的頂點(diǎn)一定在[-2,2]的外邊.

.2-、°

1、3

解得機(jī)《.—或加N—.

22

7.已知/(X)為二次函數(shù)，不等式/(x)+2<0的解集為(一1,；),且對(duì)任意a,/?eR

恒有/(sina)WO,/(2+cos/)20.數(shù)列｛%｝滿足q=1,3an+l=1—-(〃eN*)

/(?,,)

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(H)設(shè)a=」-,求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；

%

(IH)若(H)中數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和為S“,求數(shù)列｛S“?cos(V))的前n項(xiàng)和7；.

1O

解：(I)依題意，f(x)4-2=tz(x+l)(x—(a>0),即f(x)=cix^H——x—§—2

令a=%,/=兀，則sina=l,cos夕二一1,有/⑴<0,/(2—1)N0,

得/(l)=o,即0+年-三一2=0,得a=].

??f，/(x、)=_3x2+,x—5.

22

112

II)f\x)=3x+l,則3。川=1---------=1-----------=-^-

/,(??)3a“+13??+1

即/用=,兩邊取倒數(shù)，得_L=3+」-,即hn+l=3+bn.

3?！?1an+lan

數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為4==1,公差為3的等差數(shù)列.

.??2=1+(〃-1>3=3〃-2(〃EN)

n

(III)cos(bnTT)=cos(3幾-2)1=cos(nTT)=(-l)

Sjcos(“〃)=(-If

.?.7；,=-S,+S2-S3+S4-……+(-l)-S?.

(1)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)

7；=⑸一SJ+⑸一邑)+……+(S.—S,-)=2+4+

|包+總2

=￡(4+3〃-2)=3n+2n

24

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)

TT2

c3(n-l)+2(n-l)fi(l+3n-2)

T?=Tn-\-Sn=---------------------------------；-----

—3n"—2〃+1

4

8.設(shè)函數(shù)f(x尸ax)+bx+c,a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且

(I)若x>O,證明：f(x)f(-)>l；

X

(II)若正實(shí)數(shù)X]、X2、X3滿足X[?X2?X3=1,證明：f(xi)f(x2)f(x3)>l.

證明：(I)Vf(l)=l

，a+b+c=l

當(dāng)x>0時(shí)

111

f(x)f(—)=(ax72+bx+c)(a—^b—^c)

xxx

=a2+b2+c2+ab(x+—)+bc(x+—)+ca(x2+4)

XXX

>a2+b2+c2H-2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=l

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取得等號(hào).

(11)(i)若xi=x2=x3=l,

則顯然有f(x])?f(x2)-f(x3)=I.

(ii)若XI、X2、X3不全相等,則其中必有Xi>l,

xi<l,i,je{l,2,3}(省),不妨設(shè)x1>l,x2<l,

Vxrx2x3=l

:.由⑴可知f(X]X2)f(X3)>l,

Va>b、c為正實(shí)數(shù)

???任意取x>0有f(x)>0

故只需證f(Xi)?f(X2)網(wǎng)X[X2)即可.

***f(xi)-f(x2)=(ax\+bxi+c>(ax]+bxz+c)

222

=axfxl+bx1x2+c+ab(xfx2+x/；)+8c(X]+x2)+ca(xf+x|)

J2222

1)-f(xix2)=(a+b+c)-(axfxfthx[x2+c)=6fx1x|+hx{x2+c+%^2)+

hc(xix2+l)+c〃(x：尤;+1)(11分)

?,.f(X])f(X2)-f(X|X2)

=f(x1)-f(x2)-f(l)-f(l)f(xl-x2)

=abxiX2(x1+X2-X1X2-1)+bc(x1+X2-X1X2-1)+ca(xf+—1)

=abx?X2(x?-1)(1-X2)+bc(xi-1)(1-X2)+ca(x,2—1)(1-x|)>0(13分)

/.f(X1)-f(X2)>f(X|X2),又因f(X3)>0,

所以f(Xi)-f(X2)-f(X3)>f(X|X2)-f(X3)>l,

由(i)(ii)有f(X|>f(X2Mx3巨1.(14分)

2

9..對(duì)于函數(shù)f(x)=ax+(b+l)x+b-2(a.0),若存在實(shí)數(shù)x0,使f(x0)=x0成立，則稱(chēng)x0為f(x)的不

動(dòng)點(diǎn).

⑴當(dāng)a=2,b=-2時(shí)，求/(X)的不動(dòng)點(diǎn)；

⑵若對(duì)于任何實(shí)數(shù)b,函數(shù)/(x)恒有兩相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑶在⑵的條件下，若y=/(x)的圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)/(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且直線丫=日+」一是

2a+1

線段AB的垂直平分線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解:/(x)=ax2+(。+1)尤+/?-2(〃。0),

(1)當(dāng)〃=2,b=—2時(shí)，f(x)=2x2-x-4.

設(shè)x為其不動(dòng)點(diǎn)，即2/一工一4=工

則2X2一2元一4二0..,?項(xiàng)=-I,1?=2.即/(x)的不動(dòng)點(diǎn)是一1,2.

(2)由/(無(wú))=%得：ax2+hx+h-2=0.由已知，此方程有相異二實(shí)根，

>0恒成立，即82一4。3-2)>0.即從一4必+8。>0對(duì)任意/?￡/?恒成立.

/.<0./.16?2—32a<0/.0<tz<2.

(3)設(shè)4(再，/),8(%2，%2)，

直線y=H+——是線段AB的垂直平分線，.」=一1

-2a2+1

記AB的中點(diǎn)MQo，/).由(2)知/=一■—,

2a

一十.1,bb1

*.*M在y=kx4-------------------1------------.

2/+12a2a2a2+1

化簡(jiǎn)得：b=一一J1>11=當(dāng)Q=-時(shí)，等號(hào)成立).

2a2+17rr42

2。+—

a2ra,a

即82一也.

4

10.對(duì)于函數(shù)凡r),若存在x()eR,使人尤0)=即成立，則稱(chēng)均為人刈的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)

凡￥)=4小+云+1(4>0)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)冗1，X2.

⑴若肛〈1〃2，月-7(x)的圖象關(guān)于直線X=m對(duì)稱(chēng)，求證：

⑵若訪|<2且出一刈=2,求b的取值范圍.

(I)證明：g(x)=_/(x)-x=ax2+S—l)x+l且a>0,/x1<l<x2<2

/.(X|—1)(%2—1)<0即X1X2<(X1+X2)—1

工戶b1/b—11、I,、1

r/EX=m=--=-(---------)=~(^i+x)--xx

2a2aa222{2

1/、1「，n1

>-(x,+x2)--L(XI+X2)-11=-

—

又1<x?<2.,.XtX2>Xi于是有m=—(X]+X2)——X1X2<—(x1+x2)—X]=—x?<1；.—<m<1

222222

(H)解：由方程g(x)=a/+(。-l)x+l=0,可知x/2=!>0,，xiX2同號(hào)

a

(i)若0<片〈2則一一々=2

：.X2=X]+2>2...g(2)<0

l|J4a+2Z?-l<0①

又a-六”I,=4

a"a

2a+1=J(b-1)2+1,(???“>())代入①式得

2d(b-r)2+l<3-2b,解之得：h<-

4

(ii)若一2<X]V0,則必=一2+修〈一2A^(-2)<0,即4〃一28+3V0②

.______________________________「

又2。+1=-1)2+1代入②得2&b-1)2+1<2^-1解之得b>:

綜上可知b的取值范圍為■儀(或

11.已知/“'，若/SAd-lr+l在區(qū)間［場(chǎng)上的最大值為Af@,最小值為刖@),令

⑴求破)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)判斷的單調(diào)性，并求出名。)的最小

解，(1)f(x)=a(x--)a4-l--'.'1,.：1a3,xe[l,3]

oa3

二當(dāng)x=L時(shí)，/Or清最小值M>>="L(2分)

aa

/(l)=a-t/(3)=9(i-5./(I)-/C3)=-8(“-》(扮)

當(dāng);<aMl時(shí)，/(I)</(3)

二M(a)=9a-5,g(a)=M(a)-V(a)=9a-5-1+-

a

=9a-6+工(5分)

a

當(dāng)/Ma〈演./(1)a/(3),A*(a)=a-l

g(a)=*(“-"(a)=<1-1-14-1

a

=a-2+—?

a

tl-2+—■,(1€I-.-1

二g(a)=。b2j分)

9a—6+—,<ie(—,1]

值.a2

(2)設(shè)NqoiVa2g—,JJJ：

32

2(5)-2(%)=(5-3。->0

aiaQ

r

■,.g(5)>gSz)，:18在上是減函抽(10分)

設(shè)gV4V%?1，則：

由5)-=(5-。2乂9--^―)<0

ai02

?.?ggj(/),，身(。)在]上是喊函數(shù)a?分)

4

，當(dāng)。='時(shí)，有?小值514分)

22

12.已知關(guān)于x的函數(shù)/(x)=x2+2ax+b(其中a,bwR)

(I)求函數(shù)|/(x)|的單調(diào)區(qū)間；

(H)令f=.若存在實(shí)數(shù)〃2,使得與［(根+1)區(qū);同時(shí)成立，求f的最大

(1)①當(dāng)/一匕《。時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：(一8,-0減,［一出+8)增；(2分)

②當(dāng)一匕>。時(shí)，單調(diào)區(qū)間為:

（-8,—q—J/_臺(tái)）減,（一q--Ja2—b,—ajtH,1—ci,—ci+a~-b1或,（-a+yjci~—b,+°°

（5分）

(2)①當(dāng)一.工。2—/?W0時(shí)，由方程廠+2ax+/?=—解得玉2=一?！?/p>

此時(shí),2-xj=2<1,不滿足.（8分）

②當(dāng);>/-b>0時(shí)，由方程1+2ax+/?=;解得$2=-?±

此時(shí),2—xj=2,滿足題意.(11分)

,1,1

③當(dāng)。2一62上時(shí)，山方程X2+2ax+h=-方程x~+2ax+b=—和解得

444

X]2——a±~-b+—,Xj4——ci±^ci~~~

此時(shí)由于|尤2一

所以只要|七一乙|=2一；w1即可，此時(shí)a2-bwg,綜上所述t的最大值為I.(

13.設(shè)/（x）=—+bx+c（Z?、ceR）.

(1)若/(x)在［-2,2］上不單調(diào),求。的取值范圍：

(2)若/(x)N|x|對(duì)切xeR恒成立，求證:b2+l<4c；

(3)若對(duì)一切xeR,</(x+-)>0,且/(W)的最大值為1,求匕、c滿足的條件.

xx+1

(1)山題意一2W±W2,，一4K8K4；

2

一「，…(3—1)2-4c<0,

(2)須犬+6工+。之x與廠2-%同時(shí)成立，即4,/./?2+1<4C；

(Z?+1)2-4C<0

(3)因?yàn)閨x+，|22,依題意，對(duì)一切滿足|x|N2的實(shí)數(shù)無(wú)，有/(x)20.

X

/(-2)>0

①當(dāng)/(x)=0有實(shí)根時(shí)，/(x)=0的實(shí)根在區(qū)間［一2,2］內(nèi)，設(shè)〃》)=/+歷c+c,所以</(2)>0,即

-2<--<2

2

4-2b+c>0

<4+2/?4-c>0又土土2=2+/_e(2,3],于是，/(與蟲(chóng))的最大值為/(3)=1,即9+3〃+c=l,從

X+1X+1X+1

-4<h<4

4

b<--

4-2/?-3/?-8>05

而c=-3。一8.故,4+26-3b-820,即，b<-4,解得匕=—4,c=4

-4</?<4-4<Z?<4

②當(dāng)/。)=0無(wú)實(shí)根時(shí)，△=〃—4c<0,由二次函數(shù)性質(zhì)知，/(%)=%2+么+。在(2,3］上的最大值只能在區(qū)間

2x2+32x2+3

的端點(diǎn)處取得，所以，當(dāng)/(2)>/(3)時(shí)，/(事」)無(wú)最大值.于是，/(上—)存在最大值的充要條件是

x+1x+1

2r2+3

/(2)</(3),即4+2b+c〈9+3b+c,所以，b>-5.又/(：)的最大值為/(3)=1，即9+30+c=l,

x+1

從而。=一36—8.由2\=/一4。<0,得從+12匕+32<0,即一8<6<-4.所以6、。滿足的條件為3〃+，+8=0

且一5Wb<~4.綜上：36+c+8=0且一5OW-4.

14.設(shè)函數(shù)/(x)=aX2+8X+3(a〈0),對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a,有一個(gè)最大的正數(shù)/(a),使得在整個(gè)區(qū)間［0,/(a)］

匕不等式I/(x)IW5都成立。問(wèn)。為何值時(shí)/(a)最大？求出這個(gè)最大的/(a),證明你的結(jié)論。

【解法】：f(x)=a(xH—+3---,<2<0；.f(x)=3---

aamaxa

164

當(dāng)3——>5,即一8<Q<0時(shí)，0</(a)<一一(如圖1)

aa

，/(a)是方程ax2+8X+3=5的較小根/(a)=—"+0-L——<—

2a71672^+42

164

3——W5,即aW—8時(shí)，l(a)》—一(如圖2)

aa

：.1(a)是方程ax2+8X+3=-5的較大根1(a)=—164+8"=——4<4=71+1,當(dāng)且僅

2aj4-2a-2V20-22

當(dāng)a=-8時(shí)等號(hào)成立，由于』

22

因此當(dāng)且僅當(dāng)a=-80寸，/僅)取最大值正tl。

15.已知f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,xG[-1,1]且If(x)IW1,求證：(1)Ig(x)IW2(2)當(dāng)a>0時(shí)g(x)的最大值為2,

求Rx).

(1)證1：VxG[-l,l]BtIf(x)IW1

AIf(0)|=IcIWl,

If(l)I=Ia+b+cIW1

If(-l)I=|a-b+cIW1

則Ig(l)I=Ia+b|=|(a+b+c)-cI=If(l)-f(O)I

WIf(l)|+If(0)|W1+1=2

Ig(-l)I=|a-bI=|(a-b+c)-cI=If(-l)-f(c)I

W|f(-l)|+|f(0)I<1+1=2

而g(x)在[-1,1]是單調(diào)函數(shù)

??/g(x)lmax=max{/l)|,|g(-l)|},...|g(x)|W2.

,_/(1)+/(-I)-2/(0)

Lt-

/⑴-f(O)=a+b2

解得:

/(-l)-/(0)=a-/7

u一

2

,,g(x)=/(D+/(-l)-2/(0)x+/(1)-/(-1)

=/(1)(1x+1)+/(-l)(1x-1)-/(0)-x

A|g(x)|<|/(l)|l|x+l|+|/(-l)|.||x-l|+|/(0)|-|x|

<l(x+l)+i(l-x)+l=2.

證3：g(x)=ax+〃=/(—!■)—/(??),

而心

二|^(x)|<|/(-)|+|/(-)|<1+1=2.

(2)解：:aX),，g(x)在[-1,1]單調(diào)遞增,

：,gmax(x)=g(l)=a+b=f(l)-f(0}=2.

貝ij-lWf(O)=f⑴-2W1-2r

c=f(O)=-l,

而x￡[-1,1],f(x)2T,

x=0時(shí)，f(x)達(dá)到最小值,

b

貝IJx=0為f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，即——=0,得b=0.

2a

a=2,故f(x)=2x2-1.

2

16.已知函數(shù)f(x)=x+bx+c,方程f(x)=x的兩個(gè)實(shí)根為xi,x2,且X2-XJ>2.

(1)求證：X|,X2為方程f(f(x))=x的兩個(gè)根.

(2)若四次方程f(f(x))=x的另兩個(gè)根為X3,X4，且X3>X4，試判斷XI,X2,X3,X4的大小.

證明：(1)由題設(shè)f(Xi)=Xb

Af(f(x1))=f(Xi)=Xi即X1是方程f(f(x))=x的根.

同理，X2也是f(f(x))=x的根.

(2)由題設(shè)RX)-X=(X-X1)(X-X2)

?**f(X)=(X-Xj)(X-X2)+X……(*)

則f(x)-Xi=(x-Xi)(x-x2)+x-x1=(x?x1)(x-x2+l)

同理f(x)-x2=(x-x2)(x-xI+1)

⑵若四次方程f(f(x))=x的另兩個(gè)根為X3，X4，月.X3>X4，試判斷X1,X2，X3，X4的大小.

由(*),f(f(x))-x=[f(x)-x1][f(x)-x2]+f(x)-x

=(x?xi)(x-x2+l)(x-x2)(x-x1+1)+(x-x1)(X-X2)

=(x-xi)(x-x2)[(x-x1+l)(x-x2+1)+1]

令g(X)=(X-X1+l)(X-X2+l)+l,及題設(shè)X2-Xi>2.

g(x[)=(xi-x2+1)+1=xi-X2+2<0

g(X2)=X2-Xl+2>0.

又g(x)圖象開(kāi)口向上，如圖所示，

?程g(x)=o在(-8,X1),(X],X2)內(nèi)分別有—?根，

又X3>X4，：.X4d(-8,x]),X3e(X),X2),

故：X2>X3>X1>人即為所求.

17.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+px+q(p,qGR).

(1)若q=2,求使不等式f(x)<2的解集A滿足(0,2)uAu(0,10)的p的范圍;

(2)當(dāng)p在(1)的范圍內(nèi)變化時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)對(duì)(p,q),使不等式|f(x)|>2在區(qū)間［1,5］上無(wú)解.

解：(1)當(dāng)q=2時(shí),f(x)<2即為x?+px+2<2,

化簡(jiǎn)得x(x+p)<0,而它的解集A滿足(0,2)uAu(0/0),

結(jié)合數(shù)軸，貝l」2<-p〈10即-10<p<-2.

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)對(duì)(p,q),使不等式|f(x)|>2在［1,5］區(qū)間上無(wú)解，

只需|f(x)|W2在［1,5］區(qū)間上恒成立，

即當(dāng)xe［l,5］時(shí),恒有-2Wf(x)W2成立即可.

(2)當(dāng)p在(1)的范圍內(nèi)變化時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)對(duì)(p,q),使不等式|f(x)|>2在區(qū)間［1,5］上無(wú)解.

而f(x)=(x++(q->且由(1)知1<一■^■<5.

再由f(x)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線弧段，

得(x)=max{f(1),f(5)},/m，n(x)=y(_^.)=^_Z_

4

則l+p+q42(*)，由不等式的基本性質(zhì)：

25+5p+q<2

\+p+-<4

解得：卜6"42，則p=-6.

[-14<p<-6

25+5p+(44

36>，

4一12-2“7

將p=-6代回(*)得1-6+^<2解得,q<7,，q=7.

25-30+<7<2q〈7

故存在實(shí)數(shù)對(duì)(p,q)=(-6,7)使在(x)|>2在［1,5］區(qū)間上無(wú)解.

二、指數(shù)函數(shù)

18.已知函數(shù)/(x)=2'一

(1)若/(x)=2,求x的值;

(2)若2/(2。+〃/⑴20對(duì)于fe［1,2］恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。

⑴當(dāng)、<。時(shí)，/(x)=o;當(dāng)時(shí)，34

由條件可知2x--=2,即22*—2-2*-1=0,

2X

解得2X=1±V2.

?/2'>0,x=log2(l+V2).

(2)當(dāng)re[l,2]時(shí)，2'(22,一擊-染)20,

即m(22'-l)>-(24,-1).

?/22'-l>0,m>-(22'+1).

f6[1,2],—(1+2~;)6[-17,-5],

故，”的取值范圍是[-5,+0O),

19.已知/心)=|3'—1|,/2(工)=小3"-9|(。>0),'€/?,

日f(shuō)()J/。)，/?！??*)

Ma)"。)〉.).

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)在x=l處的切線方程；

(II)當(dāng)2Wa<9時(shí)，設(shè)/(x)=f2(x)所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長(zhǎng)度為1(閉區(qū)間[加，回的長(zhǎng)度定義為〃一根),

試求/的最大值；

(Ill)是否存在這樣的。，使得當(dāng)xw[2,+8)時(shí)，/(x)=&(x)?若存在，求出。的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

解：(I)當(dāng)a=l時(shí)，力(幻=|3'—9].

因?yàn)楫?dāng)xe(0,log35)時(shí)，/(行=3*-1,。(行=9-3”,

且：&)-力(％)=2?3'-10<2?3晦5-10=2.5-10=0,

所以當(dāng)xe(0,log35)時(shí)，/(x)=3'—l,

且lw(0,log35)..............................................(3分)

由于1(x)=3'ln3,所以左=/<l)=31n3,又/⑴=2,

故所求切線方程為y-2=(3In3)(x-1),

即(31n3)x-y+2-31n3=0...............................................................................................................(5分)

99

(II)因?yàn)?《。<9,所以0<k)g3—《log3—"iJ

a2

9

①當(dāng)xNlog32時(shí)，因?yàn)椤?3'-9"0,3A-l>0,

a

Q

所以由&由)一/(%)=3?3/-9)一(3"-1)=3-1)3、-8\0,解得％41083——，

a-i

98

從而當(dāng)log-<x<log--時(shí),/(x)=&(x)..............................................................(6分)

3a3a—\

9

②當(dāng)0<log3—時(shí)，因?yàn)?。B'-gvO,3x-l>0,

a

所以由人⑴一人(外=(9一。3)-(3'-1)=10-(。+1)3/0,解得刀？叫3處，

。+1

109

從而當(dāng)log------<x<log—時(shí)，/(尤)=力(尤)..........................................(7分)

3。+13a

③當(dāng)x<0時(shí),因?yàn)榱?x)—工(x)=(9—〃,3')—(1一3")=8—伍一1)3'>0,

從而/(外=人(%)一定不成立...........................................................(8分)

1AQ

綜上得,當(dāng)且僅當(dāng)XG[10g,--,10g,--]時(shí)，〃X)=f(X),

。+1a-12

故/=log?-^7-log3-1^7=log3g(I+-^T)]............................................................(9分)

。-1a+15a-1

12

從而當(dāng)a=2時(shí)，/取得最大值為log3y.........................................................................(10

20.已知函數(shù)/(幻=不氣，加為正整數(shù).

(I)求/⑴+/(0)和/(x)+/(l-x)的值；

J7

(II)若數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為%=/(—)(〃=1,2,…,〃2),求數(shù)列｛4｝的前加項(xiàng)和S〃,；