專題15 解答中檔題型：圓的計(jì)算與證明（原卷版）

專題15解答中檔題型：圓的計(jì)算與證明一、解答題1．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的弦，D，C為的三等分點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的長．2．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，以邊AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，連接DE．給出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切線．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結(jié)論，組成一個(gè)命題．你選擇的兩個(gè)條件是______，結(jié)論是______（只要填寫序號(hào)）．判斷此命題是否正確，并說明理由；(2)在（1）的條件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直徑．3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，的弦交于點(diǎn)E，連接，延長到點(diǎn)P，連結(jié)與相切，且．(1)求證：點(diǎn)A是的中點(diǎn)；(2)若，，求的長．4．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知等邊，以為直徑的圓與邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為F，過點(diǎn)F作，垂足為G，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，以為直徑的與邊分別交于點(diǎn)D、E，過E作直線與垂直，垂足為F，且與的延長線交于點(diǎn)G．(1)求證：直線是切線．(2)若，求半徑．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)P是的直徑延長線上一點(diǎn)，，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，∠AOD=60°．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．7．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖是的外接圓，點(diǎn)O在上，的角平分線交于點(diǎn)D，連接，，過點(diǎn)D作的平行線與的延長線相交于點(diǎn)P．(1)求證：是的切線；(2)若，，求與的值．8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）試說明CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長．9．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，點(diǎn)C在以為直徑的上，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)E，作，交的延長線于點(diǎn)P．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．10．（2023·廣東深圳·深圳大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）如圖，四邊形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且平分，作的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為6，，求的長．11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)F，過C點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)若，求的長．12．（2023·廣東深圳·?？级＃┤鐖D，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，且AB為⊙O的直徑，DE與⊙O相切于點(diǎn)D，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OD交BC于點(diǎn)F，連接AD、CD，∠E＝∠ADC．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半徑r．13．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，在中，與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．14．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是的直徑，C是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的半徑及的長．15．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學(xué)校（集團(tuán)）高新中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，，，與交于點(diǎn)F、點(diǎn)D、點(diǎn)E在上，連接．以下提供三個(gè)序號(hào)及其內(nèi)容，請(qǐng)你認(rèn)真思考，選擇其中兩個(gè)序號(hào)的內(nèi)容作為條件，剩余的一個(gè)序號(hào)的內(nèi)容作為結(jié)論，并完成相應(yīng)的證明過程（要求寫出完整的推理過程）．①為直徑

②

③是的切線(1)我選擇的兩個(gè)條件是：______（填寫序號(hào)），得出的結(jié)論是______（填寫序號(hào)）證明過程如下：(2)若，的半徑為3，求的長．16．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)?？级＃┒x：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，是中的遙望角，若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．（2）如圖2，四邊形內(nèi)接于，四邊形的外角平分線交于點(diǎn)F，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)E．求證是中的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，若是的直徑．求的度數(shù)．17．（2023·廣東深圳·深圳外國語學(xué)校?？家荒＃┕畔ＥD數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請(qǐng)研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點(diǎn)C，使BC＝OB，點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，PE，PC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個(gè)確定的值．回答這個(gè)確定的值是多少？并對(duì)小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明．18．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，是的外接圓，是的直徑，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，且．(1)求證：是切線；(2)若直徑，，求的長．19．（2023·廣東深圳·二模）如圖，⊙O是ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的長．20．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)P是射線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)作的割線交于點(diǎn)C，D，于，連接．

(1)①在圖1的情形下，證明：；②當(dāng)點(diǎn)處于圖2中的位置時(shí)，①中的結(jié)論___________（填“仍成立”或“不再成立”）；(2)若的半徑為3，當(dāng)且時(shí)，求的長．21．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，是的外接圓，連接，過點(diǎn)作一條射線．(1)請(qǐng)從以下條件中：①，；②；③平分．選擇一組能證明是的切線的條件，并寫出證明過程；(2)若，，，求的長度．（結(jié)果保留）22．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，AB是的直徑，弦，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)F，使，連接AF交于點(diǎn)D，連接BD，BF．(1)求證：直線BF是的切線；(2)若AF長為，求BD的長．23．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是的直徑，C是上的一點(diǎn)．

(1)實(shí)踐與操作：在上求作點(diǎn)P，使得P為的中點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)推理與計(jì)算：在（1）的條件下，連接，若，，求的半徑．24．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）與，分別交于點(diǎn)F，H．①若，如圖2，求證：；②若圓的半徑為2，，如圖3，求的值．25．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，中，，點(diǎn)O在邊上，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的交于D，交于E，若．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．26．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，是的外接圓，AB是直徑，，連接AD，，AC與OD相交于點(diǎn)E．(1)求證：AD是的切線；(2)若，，求的半徑．27．（2023·廣東深圳·校考三模）在古代，智慧的勞動(dòng)人民已經(jīng)會(huì)使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長度的“連桿”，推動(dòng)“連桿”帶動(dòng)磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1，兩個(gè)固定長度的“連桿”，的連接點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)在上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)，分別在射線，上滑動(dòng)，．當(dāng)與相切時(shí)，點(diǎn)恰好落在上，如圖2．請(qǐng)僅就圖2的情形解答下列問題．（1）求證：；（2）若的半徑為，，求的長．28．（2023·廣東深圳·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線交于兩點(diǎn)，是直徑，平分交于，過作于.

(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑.29．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點(diǎn)，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．30．（2023·廣東深圳·深圳市海灣中學(xué)?？既＃┤鐖D，以BC為直徑的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)F，點(diǎn)E為弧CF的中點(diǎn)，連接BE、FC相交于點(diǎn)M，延長CF到A點(diǎn)，使得AB＝AM，連接AB、CE．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的長．31．（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，O為AC上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、E的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、F，連接OD交AE于點(diǎn)M．

(1)求證：BC是⊙O的切線．(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的長．32．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知：內(nèi)接于圓O，，連接并延長，交于點(diǎn)D．(1)求證：(2)如圖2，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接DE，，，求DE的長．33．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D1，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接CD交AB于E．（1）連接BD，若∠CDB＝40°，求的大??；（2）如圖2，若點(diǎn)B恰好是中點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，將CD分別沿BC、AC翻折到CM、CN，連接MN，若CD為直徑，請(qǐng)問是否為定值，若是請(qǐng)求出這個(gè)值，若不是，請(qǐng)說明理由；34．（2023·廣東深圳·?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】船在航行過程中，船長常常通過測(cè)定角度來確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？【解決問題】(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，

∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【問題探究】(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【問題拓展】(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門米，米，米，，．該球員在射門角度（）最大時(shí)射門，球員在上的何處射門？（求出此時(shí)的長度．）

35．（2023·廣東深圳·深圳市東升學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交邊BC于點(diǎn)E，經(jīng)過點(diǎn)A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點(diǎn)G．（1）求證：BC是⊙F的切線；（2）若點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半徑；（3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．36．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動(dòng)