高中數(shù)學易錯題(三)

高中數(shù)學易錯題（三）

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。

例1、設4={%|/—8x+15=o},8={x|ax—1=0},若AnB=8,求實數(shù)a組成的集合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件AC8=3易知8qA,由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求

解滿足條件的a值產生漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡得A={3,5},由AnB=B知8=A故（I）當8=。時，即方程ax—1=0無解，此時a=o符合已知條件

（11）當8力0時，即方程ax-l=0的解為3或5,代入得a=g或綜上滿足條件的a組成的集合為故其子集

共有2）=8個。

\【知識點如類點拔】（1）在應用條件人口13=130人1~115=八0八。B時，要樹立起分類討論的數(shù)學思想，將集合A是空集中的情況；

優(yōu)先進行討論.

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的j

結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學語言）和自然語言之間的轉化如：;

:4={（匕>），+>2=4},8={（x,y）|（x—3丫+（y—4丫=尸},其中廠>0,若Af]5=0求r的取值范圍。將集合所|

!表達的數(shù)學語言向自然語言進行轉化就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3,4）為圓心，以r為半徑的?

|圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關系來解答。此外如不等式的解集等]

j也要注意集合語言的應用。

【縱1】已知集合&=卜，+?=0}、B={x|x2+2（a+l）x+a2-1=0}B^A則或為u的取俏范同

是V答案：0=1或。（一1

【易錯點2】求解函數(shù)值域或單調區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知（x+2『+?=1,求/+>2的取值范圍

/\2V

[易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于X的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足（X+2）+彳=1

這個條件中的兩個變量的約束關系而造成定義域范圍的獷大。

2丫2,,2

解析：由于（x+2）~+7=1得&+2）.1-7忘1,.1-3WxWT從而x?+y2=-3x2-16x-12=

2822822282228

+—因此當x=T時x'+y2有最小值1,當*=-一時，x、y2有最大值——。故x.y2的取值范圍是[1,—]

3333

2!

【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件（X+2）2+]-=1對*、y的限制，顯然方程表示以（-2,0）為i

I中心的橢圓，則易知-3這xWT,-2<y<2.此外本題還可通過三角換元轉化為三角最值求解。

X-y

【練2】(05高考重慶卷)若動點(x,y)在曲線丁+萬=1(b〉0)上變化，則X2+Zy的最大值為()

仿2(h2

—+4(0</?<4)—+4(0</?<2)b2

(A)<4'，(B)V4\7(O——+4(D)2b

A

2b(b>4)[2b(b>2)

答案：A

IT窈裾誦痂標藪舅褊黛i藏贏藪i醒靛前蜀為1麗智交透口

Q?2刀—1

例3、/(x)=]+2、是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值(2)求的反函數(shù)f~'(X)

【易錯點分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯。

解析：(1)利用/(x)+/(—x)=0(或/(0)=0)求得a=l.

\+y

2X-11+Z

(2)由a=l即/(x)=---設-y=/(x)，則2'(1—y)=1+y由于yw1故2"=%=]082'>'，而

')2”+11-y

).r_1Q1+x

"")=771=1-^71"一")所以/"(")=1°&21

【知識點歸類點拔】(i)在求解函數(shù)的反函數(shù)時，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明(若反函

數(shù)的定義域為R可省略)。

(2)應用/T(b)=ao/(a)=/?可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應注意其自變量和函數(shù)值要互換。

【練3】(2004全國理)函數(shù)f(X)=Jj二T+1(X21)的反函數(shù)是()

A、y=x2-2x+2(x<1)B>y=x2-2x+2(x>1)

22

c、y=X-2X(X<1)D、y=X-2X(X>1)

答案：B

【易錯點4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位

]—2(

例4、已知函數(shù)/(x)=丁;一，函數(shù)y=g(x)的圖像與y=/t(x-1)的圖象關于直線y=x對稱，則y=g(x)的解析

式為()

/、3—2xz\2—x1—x/\3

A、g(x)=-----B、g(x)=----C、g(x)=^—D、g(x)=--

x1+x2+x2+X

【易錯點分析】解答本題時易由y=g(x)與y=/t(x—1)互為反函數(shù)，而認為y=(x—1)的反函數(shù)是y=/(x—1)則

l-2(x-l)3-2x

y=g(x)=/(x—i)===------而錯選Ao

1+(1)X

\-2xl-(x-l)2-x

解析：由/(x)得/T(x)=從而y=/T(x_1)再求？=/7(》—1)的反函數(shù)得

1+X2+(-1)1+x

2—x

^(x)=-一。正確答案：B

.一—1土工

【知識點分類點拔】函數(shù)y=/t(x—1)與函數(shù)y=/(x—1)并不互為反函數(shù)，他只是表示/t(x)中x用x-i替代后的反函數(shù)

值。這是因為由求反函數(shù)的過程來看：設y=/(x—l)則/T(y)=x-i,

X=/7(^)+1再將*、y互換即得丁=/(x-l)的反函數(shù)為y=/T(x)+1,故？=/(x-l)的反函數(shù)不是

y=因此在今后求解此題問題時一定要謹慎。

X

【易錯點5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關于原點對稱。

例5、判斷函數(shù)〃、)=埠)

的奇偶性。

|x-2|-2

炮(12)

【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:f(-x)=豐/(x)從而得出函數(shù)/(x)為非奇

|x+2|-2

非偶函數(shù)的錯誤結論。

fl-x2>0,、一/、

解析：由函數(shù)的解析式知x滿足(即函數(shù)的定義域為(-i,o)U(o,i)定義域關于原點對稱，在定義域下

[,一2K±2

/(x)=—__—易證/(-X)=-f(X)即函數(shù)為奇函數(shù).

一X

\【知識點歸類點拔】(1)函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時一定要先研

\究函數(shù)的定義域。

j(2)函數(shù)/(X)具有奇偶性，則/(X)=/(—X)或/(x)=-y(-x)是對定義域內X的恒等式。常常利用這一點求解函數(shù)中字

!母參數(shù)的值。

mm”隔瀛謂贏葡濯

,"、)='/3=(1)舊""X)=普：；[：：：；

答案：①既是奇函數(shù)又■是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯點6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調性和奇偶性的關系。從而導致解題過程繁鎖。

2%-2

例6、函數(shù)/（X）=log??*"或X，的反函數(shù)為了"（X），證明/T（X）是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。

22

【思維分析】可求/T（x）的表達式，再證明。若注意到/"（X）與/（X）具有相同的單調性和奇偶性，只需研究原函數(shù)/（X）的

單調性和奇偶性即可。

-2x-l2x+l2x-\

解析：/（—X）=log2K=bg2G=_]og2京i=_/（x）,故〃x）為奇函數(shù)從而/T（x）為奇函數(shù)。又令

f=—_?在（_8,一；＞11（；,+00卜二均為增函數(shù)且,=10g2'為增函數(shù)，故/（x）在（-8,一；）和（；，+℃）

上分別為增函數(shù)。故/T（X）分別在（0,+8）和（-8,0）上分別為增函數(shù)。

:【知識點歸類點拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結論：（1）定義域上的單調函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函1

|數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調性。（3）定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值]

t?

j域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即f~'（b）=a＜^f（a）=b.I

【練6】（1）（99全國高考題）已知/（%）=------,則如下結論正確的是（）

A、/（X）是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、/（X）是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、/（X）是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、/（X）是偶函數(shù)且為減函數(shù)

答案：A

（2）（2005天津卷）設廣'（X）是函數(shù)（。＞1）的反函數(shù)，則使尸（x）＞1成立的x的取值范圍為（）A、

1、，礦―1、1、,、

（—―,+8）B、（-00,——）C、（—―,。）1）、（?,+00）

2。La2a

答案：A"＞1時，f（x）單調增函數(shù)，所以fT（x）＞l=f（/T（x））＞〃l）ox＞〃l）=嚓,）

【易錯點7】證明或判斷函數(shù)的單調性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。

例7、試判斷函數(shù)/（x）=ax+2（〃＞0/＞0）的單調性并給出證明。

【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調性必須依據(jù)函數(shù)的性質解答。特別注意定義

X!eD,X2eD/（玉）〉/（%2）（/（用）＜/（》2））中的士，》2的任意性。以及函數(shù)的單調區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立

定義域優(yōu)先的意識。

解析：由于/（—x）=—/（x）即函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)/（x）在（0,+8）上的單調性即可。設玉＞々＞0，

/（七）一/（》2）=（X]_々嚴々一.時/（%）一/（x2）＞。,此時函數(shù)

/（X）在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)/（x）在[0,上為減函數(shù)。乂由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減

函為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)/(X)在上分別為增函數(shù)，在

I【知識歸類點拔】(1)函數(shù)的單調性廣泛應用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應引起足夠重視。

/(%)-/(9)

(2)單調性的定義等價于如下形式：/(X)在[4,可上是增函數(shù)0>0,/(x)在可上是減函數(shù)

=<0,這表明增減性的幾何意義：增(減)函數(shù)的圖象I：任意兩點(X],/(X1)),(X2，/(X2))連線的斜率都大

X\~X2

>0)是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應用。但注意本題中不能說/(x)在

上為減函數(shù)，在敘述函數(shù)的單調區(qū)間時不能在多個單調區(qū)間

]—JQ

【練7】(1)(濰坊市統(tǒng)考題)/(x)=ax+——(a>0)(1)用單調性的定義判斷函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單調性。(2)設

ax

/(x)在0<x4l的最小值為g(a),求y=g(a)的解析式。

答案：(1)函數(shù)在(工，+00)為增函數(shù)在(0,工)為減函數(shù)。(2)2—(a21)

y=g(a)=，a

〃(0<a<1)

70()1巾「Ha〉0口〃x)=9+：為RI:的偶函數(shù)。(1)求a的值<2)試判斷函數(shù)在(0,ZO)上的單調性并給;I；

證明。

?草案：(I)4=1(2)函數(shù)在(0,+8).為增函數(shù)(計明略)

【易錯點8】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。

例8、(2004全國高考卷)已知函數(shù)/(x)=a?+3x2—X+1上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【易錯點分析】/'(x)<O(xe(a,b))是/(X)在(a,b)內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如

f(x)=—x3在R上遞減，但/'(x)=—3x2<0o

解析：求函數(shù)的導數(shù)/'(x)=+6x-l(1)當/”(x)<0時，/(x)是減函數(shù)，則/'(X)=3。/+6了一1<0(xwR)故

O<0/、3,(1Y8

<八°解得a<—3。(2)當a=—3時，/(x)=-3x3+3x2-x+l=-3lx--I+§易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)。(3)

當a〉一3時，在R匕存在一個區(qū)間在其上有/''(x)>0,所以當。>一3時，函數(shù)/(x)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是

(-oo,-3].

【知識八類點拔】若函數(shù)/(x)川號.其導數(shù)叮函數(shù)的單調性的關系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：①/''(x)>0叮/(無)為陰函數(shù)的關

系:f\x)>0能推il"(x)為增函數(shù)，但反之不?定」如函數(shù)f(x)=/在I：單調遞增，但f'(X)>0.f'(x)>0

足f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.&"'(x)+0時,f\x)>00f(x)為增函數(shù)的關系:若將尸(x)=0的根作為分界點，因

為規(guī)定/'(x)rO,即摳去了分界點，此時/(x)為增函數(shù)，就?定行/'(x)>0.?.當f'(x)#0時，/(乃>0是/(行為增

函數(shù)的充分必要條件。③f'a)N0與/(x)為增函數(shù)的關系：f(x)為增函數(shù)，一定可以推114'(無)NO,但反之不定，因為

/'(x)20.即為/(x)>0或/'(x)=0.當函數(shù)住某個區(qū)間內恒仃/(x)=0,則/(%)為常數(shù)，函數(shù)不具令邛調件一..

f'(x)NO是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單-調性是函數(shù)?條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好

以上三個關系，用導數(shù)判斷好函數(shù)的單調性。因此新教材為解決單調區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調區(qū)間，避免討論以1：

問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。

因此本題在第掌后再對。=-3和。>一3進行了討論，確保其允要性。在解題中誤揩必耍條件作充分條件或將既不充分與不必

件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思維的嚴密性。

【練8】(1)(2003新課程)函數(shù)y=;?+歷1+<?(xe(O,+8))是是單調函數(shù)的充要條件是()

A、b>0B,b<0c、&>0D、b<0

答案:A

2i

(2)Q6"八:這K值，使次炊/(x)=Hx，——x—kx~+2x+—0,2)上遞減，("(2,+oo)上速」31?

答案：女=一.(提示據(jù)題意結合函數(shù)的連續(xù)性知/'(2)=0.但/'(2)=0是函數(shù)4:(1,2)I：遞減,花(2,田)上遞增的必要條

件，不定是充分條件因此由/'(2)=0求HiK值后以檢依)

【易錯點9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之

內。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求(a+1)2+(b+L)2的最小值.

ab

錯解:(a+—)2+(b+—)2=a2+b2+」+與+4》2ab+—+4/4?—+4=8(a+尸+(b+1)?的最小值是8

aha~b~ahVabab

[易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2>2ab,第?次等號成立的條件是a=b=-,第二次等號成立的條件ab=—,

2ab

顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式=+l+4=(2^)2)+(二+1)+4=[(a+b)2-2ab]+[(—+—)--]+4=(l-2ab)(l+J,)+4由abW

a2b2a2b2ababa2b2

(￡±A)2=1得：―221)>1-1=工，且二行》16,1+」?原式X17+4=22(當且僅當a=b=!時，等號成立)

2422a2h2a2b2222

1125

/.(a+-)2+(b+-)2的最小值是——。

ab2

【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗:

證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內。I

【練9】(97全國卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過ckm/h，已知汽車每小時的運輸'

成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域：

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

答案為：(1)y=-(bv2+a)(O<V<<?)(2)使全程運輸成本最小，當Jwc時，行駛速度v=J；當器>c時，行駛速

度v=Co

【易錯點10］在涉及指對型函數(shù)的單調性有關問題時，沒有根據(jù)性質進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實數(shù)a使函數(shù)/(x)=k)g；MT在［2,4］上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調性及復合函數(shù)的單調性判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制

條件而導致a的范圍擴大。

解析：函數(shù)/(X)是由。(%)=62-X和y=log/(”復合而成的，根據(jù)復合函數(shù)的單調性的判斷方法(1)當a>l時，若使

—<2

“x)=log嚴T在［2,4］上是增函數(shù)，則°(》)=以2—工在［2,4］上是增函數(shù)且大于零。故有〈2。解得a>l。

。⑵=4"2>0

(2)當a<i時若使〃》)=唾尸-"在［2,4］上是增函數(shù)，則。(x)=a/-x在［2,4］上是減函數(shù)且大于零。

—>4

2a不等式組無解。綜上所述存在實數(shù)2〉1使得函數(shù)/(》)=108/一在［2,4］上是增函數(shù)

0(4)=16a-4>0

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調性如：一次函數(shù)的單調性取決于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調性決定于二次：

j項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性決定于其底數(shù)的范圍(大于】還是小于1),特別在解決涉及指、對復合|

I函數(shù)的單調性問題時要樹立分類討論的數(shù)學思想(對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制)。I

【練10］(I)(黃崗三月分統(tǒng)考變式題)設。>0,且。試求函數(shù)丁=1。8“4+3工一工2的的單調區(qū)間。

答案：當函數(shù)在(一1,|上單調遞減在m，4)上單調遞增行〃>1函數(shù)在［-1,|上單調遞增在4)上單調遞減。

(2)(2005高考天津)若函數(shù)/(X)=log.1一。X)>0,。H1)在區(qū)間(一；,0)內單調遞增，則。的取值范圍是()A、［；,1)

399

B、［1,1)c、(—,+oo)D、(1,-)

答案：B.(記g(x)=x3-〃x,則g［x)=3f一。當Q>1時，要使得“X)是增函數(shù)，則需有g［x)>0恒成立，所以

"3(一=(.矛盾.排除C、D當0<4<1時，要使/(X)是函數(shù)，則需有g'(x)vo恒成立，所以=；.排除A)

【易錯點11】用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性.

..1.2

例11、已知sinx+siny=§求siny-cosx的最大值

【易錯點分析】此題學生都能通過條件sinx+siny=；將問題轉化為關于sinx的函數(shù)，進而利用換元的思想令f=sinx將問題

變?yōu)殛P于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，

解析：由已知條件有siny=；-sinx且siny=；-sinxe[—1,1](結合sinxe[—1,1])2

得——<sinx<1,而

3

?21?2,2(22i2一：Wl)根

sinv-cosx=——sinx-cosx==sin2x-sinx——令/=sinx——4r41|則原式=f2

33I33

224

據(jù)二次函數(shù)配方得：當￡=一一即sinx=一一時，原式取得最大值一。

339

【知識點歸類點拔】“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識

和運用，數(shù)學素質的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景

中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量,

可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化。

【練11](1)(高考變式題)設a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a?的最大值和最小值。

1V2

-(0<a<—)

答案：f(x)的最小值為一2a2—2立2—!，最大值為，

2

-2a2+2叵a-g(a2

(2)不等式五>ax+3的解集是(4,b),則a=,b=。

2

：a==36(提示令換兀五=，原不等式變?yōu)殛P卜t的元二次不等式的解集為(2,、歷))

[易錯點12)已知Sn求an時，易忽略n=1的情況.

例12、(2005高考北京卷)數(shù)列｛%｝前n項和s“且q-1,an+｝(1〉求4，%，%的值及數(shù)列｛4"｝的通項公式。

【易錯點分析】此題在應用S“與?！钡年P系時誤認為=S”一S“T對于任意n值都成立，忽略了對n=l的情況的驗證。易得出數(shù)列

｛4“｝為等比數(shù)列的錯誤結論。

解析：易求得=；，%=[，&=捺。由q=l，a“+i=；s“得%=；/_](〃22)故

a“+1-%——sn——s/l_l=22)得a“+]——an^n>2)又q=I,a2——故該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故

(〃之2)

3UJ

?(〃=1)

【知識點歸類點拔】對于數(shù)列4與s,之間有如下關系：％=〈]利用兩者之間的關系可以已知S“求a“。但注意

只有在當《適合=s”-s,i(〃N2)時兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式。

【練12](2004全國理)已知數(shù)列｛a“｝滿足％=l,a?=a｝+2a2+3%+(〃22)則數(shù)列｛a”｝的通項

為<:

，(〃=1)

答案：(將條件右端視為數(shù)列｛〃"“｝的前n-1項和利用公式法解答即可)an=(〃|

[5(-2)

【易錯點13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集(從1開始)

例13、等差數(shù)列｛為｝的首項％〉0,前n項和Sn，當/Ym時，snt=M。問n為何值時5?最大？

【易錯點分析】等差數(shù)列的前n項和是關于n的二次函數(shù)，可將問題轉化為求解關于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的

定義域為正整數(shù)集這個限制條件。

/、〃(〃一1)d,(d\

解析：由題意知s“=/(〃)=〃4+---+[a'~2)n此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因為q>0,當/。機

時，、，=s/故d<0即此二次函數(shù)開口向下，故由/(/)=/(6)得當x=二1^?時/(x)取得最大值，但由于〃￡N\故若

/+

/+m為偶數(shù)，當〃=-----時，4最大。

2“

/+〃？±1

當/+機為奇數(shù)時，當〃=--------時s”最大。

2

j【知識點歸類點拔】數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數(shù)集或其子集(從1開始)上的函數(shù)，因此在解題過程中i

I要樹立函數(shù)思想及觀點應用函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項和公式是關于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如[

：s“=a〃2+匕〃所對應的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項和。此時由皂=a〃+b知數(shù)列中的點〃，上L是同一直線上，這也是一:

?In)

：個很重要的結論。此外形如前n項和S,,=ca"-C所對應的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項和。i

?5

【練13](2001全國高考題)設｛4｝是等差數(shù)列，,是前n項和，且J<?%，$6=$7>$8,則下列結論錯誤的是()A、d<0B、

a7=0c.59>S5D、$6和§7均為S〃的最大值。

答案：C(提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關于n的二次函數(shù)的對稱軸再結合單調性解答)

【易錯點14]解答數(shù)列問題時沒有結合等差、等比數(shù)列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。

3

例14、已知關于的方程—3x+a=0和X2-3X+/?=0的四個根組成首項為一的等差數(shù)列，求a+6的值。

4

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數(shù)列的性質明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。

3

解析?：不妨設一是方程x2-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質知方程32-3x+a=0的另根

4

3579

是此等差數(shù)列的第四項，而方程j-3x+b=0的兩根是等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：一,—

44,44

273531

故a=—,b-——從而a+b=—,,

16168

【知識點歸類點拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質是數(shù)列知識的?個重要方面，有解題中充分運用數(shù)列的性質往往起到事半功倍的效果。

例如對于等差數(shù)列｛4“｝，若n+m=p+q,則+。皿；對于等比數(shù)列｛?！埃?+〃？="+u，則

an-am=au-av；若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，S?是其前n項的和，kwN*,那么Sk,S2k-Sk,Sik-S2k成等比數(shù)列；若數(shù)列

｛a,J是等差數(shù)列，S“是其前n項的和，k^N*,那么S2k-Sk,S3*—S2*成等差數(shù)列等性質要熟練和靈活應用。

【練141(2003全國理天津理)已知方程f-2x+m=0和f-2x+〃=0的四個根組成一個首項為；的等差數(shù)列，則向一“卜

313

()A、1B、一C、一D、一

428

答案：c

【易錯點15］用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)歹ij｛”“｝中，4=1,a2-2,數(shù)列｛%,%+1｝是公比為q(<7>0)的等比數(shù)列。

(I)求使+?！?口”+2>?！?24+3成立的4的取值范圍：(口)求數(shù)列｛4“｝的前2〃項的和§2“.

【易錯點分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q=l的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列

是公比為q<9>0)的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。

解：(I)...數(shù)列｛%是公比為4的等比數(shù)列，...%+|%+2=%"“+?，%+2%+3由

+%,+也“+2>%+2%+3得%%+1+%%+闖=>1+4>42,即。2—4一1<°(。>0),解得

n1+V5

0cq<-------------.

2

(ID由數(shù)列｛%式“M｝是公比為q的等比數(shù)列，得,"“=qn^~=q,這表明數(shù)列｛%｝的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，

所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q,又q=l,。2=2,???當qW1時，§2〃=〃］+。2+。3+。4+?一+。2〃-1+。2〃

/、z、。1(1一/)。2(1一/)3(If")1

—(Q］+&+%+■*?+an)++〃4+々6+，，，+。2n)=------------1二-------------------,當［=］時，

l-q\-q\-q

S2n=%+Q,+Cly+Q4+???+=("1+++???+)+(。2+〃4+〃6+'''+)

(1+1+1+?.?+1)+(2+2+2+?.?+2)=3〃?

I【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中」^=q是解題的關鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關注。另外，不g

IanI

?要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進行觀察就得出正]

i確結論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設計陷阱使考生產生對現(xiàn)而不全的錯誤。：

【練15](2005高考全國卷一第一問)設等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,前n項和S,,>0(1)求q的取值范圍。

答案:(-1,0)11(0,4-00)

【易錯點16]在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構成的數(shù)列的前n項和不會采用錯項和減法或解答結果不到位。

例16、.(2003北京理)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且q=2,q+%+%=12

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式(2)令b"=a“x"(xeR)求數(shù)列｛a｝前項和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列｛4“｝的通項公式再由數(shù)列｛優(yōu)｝的通項公式分析可知數(shù)列抄“｝是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列

構成的“差比數(shù)列”，可用錯項相減的方法求和。

解析：(1)易求得=2”

(2)由(1)得"=2〃/'令=2x+4x2+6x3+...+2nx"(I)則xs“=2x2+4x3+…+2(〃-l)x"+2nx"+l(11)

用(I)減去(II)(注意錯過?位再相減)得(1一x)s“=2x+2x2+2x3+...+2x-2nx+'當

12(1-x")

------------nx,t+]當x=1時=2+4+6+...+2〃=〃(〃+1)

1-x

綜上可得：

2x(l-x")

n+x

當xw1sn=------j----------nx當x=l時力=2+4+6+.??+2幾=〃("+1)

j【知識點歸類點拔】一般情況卜.對于數(shù)列｛%｝有%=%%其中數(shù)列｛〃〃｝和｛0〃｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項和可通;

I過在原數(shù)列的每一項的基礎上都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況I

j的特例。

【練16](2005全國卷一理)已知〃“=a"+an''b+a"~2b2+...+a//"+%"("eN.,a>0力>0)當a=8時，求數(shù)列

｛a“｝的前n項和s.

(n+l]a