專題20 樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（解析版）

Page8Page1專題20樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差1.均值(平均數(shù))的定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)的樣本均值為2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義假設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為,則方差:s2=[++…+]=(xi-)2標(biāo)準(zhǔn)差:s==3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義在刻畫數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的,實(shí)際問題中,多采用標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.

【題型1均值（平均數(shù)）的應(yīng)用】【題型2方差、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用】【題型1均值（平均數(shù)）的應(yīng)用】知識(shí)點(diǎn)：例1.已知一組數(shù)據(jù)：96，97，95，99，96，98，100，97，98，96，則下列說法不正確的是（

）A．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是97 B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是96C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是97 D．這組數(shù)據(jù)的極差是5【答案】C【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、極差的概念求解.【詳解】由題意，數(shù)據(jù)從小到大排列為95，96，96，96，97，97，98，98，99，100，共10個(gè)數(shù)據(jù)，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故A正確；在這組數(shù)據(jù)中96出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是96，故B正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故C不正確；這組數(shù)據(jù)的極差是，故D正確.故選：C.例2.在某學(xué)校的期中考試中，高一?高二?高三年級(jí)的參考人數(shù)分別為.現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取樣本，經(jīng)計(jì)算得高一?高二?高三年級(jí)數(shù)學(xué)成績的樣本平均數(shù)分別為，則全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的總樣本平均數(shù)為（

）A．92 B．91 C．90 D．89【答案】C【分析】利用分層抽樣的特點(diǎn)及平均數(shù)公式即可求解.【詳解】由題意，總樣本平均數(shù)為.故選：C.例3.有一組正數(shù)共5個(gè)，其平均值為，這5個(gè)正數(shù)再添加一個(gè)數(shù)28，其平均值為，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由已知條件，根據(jù)平均數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】設(shè)這個(gè)正數(shù)分別為，所以，若增加一個(gè)數(shù)，則平均數(shù)為，因此，即，化簡得：，解得：或（舍）.故選：B.例4.為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求.某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水．計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案.擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸）.一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi).超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況.通過抽樣.獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸）.將數(shù)據(jù)按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9組.制成了如圖所示的頻率分布直方圖.其中0.4a=b.(1)求直方圖中a.b的值.并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水量的眾數(shù)；(2)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸）.估計(jì)x的值．【答案】(1)a=0.15.b=0.06，眾數(shù)為4.5噸.(2)5.8【分析】（1）由頻率直方圖的面積和為建立方程組.由此即可求出的值.再根據(jù)估計(jì)眾數(shù)的定義即可求解；（2）分別求出前組.前組的頻率和，估計(jì)出的范圍.再根據(jù)范圍建立方程，由此即可求解．【詳解】（1）由題意可得.解得，.由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水量的眾數(shù)為噸.（2）因?yàn)榍?組的頻率和為，前5組的頻率和為.所以，由，解得，所以估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為噸時(shí)，的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．【題型訓(xùn)練1】1．為了學(xué)習(xí)?宣傳和踐行黨的二十大精神，某班組織全班學(xué)生開展了以“學(xué)黨史?知國情?圓夢(mèng)想”為主題的黨史暨時(shí)政知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).已知該班男生26人，女生24人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，男生組成績和女生組成績的平均分分別為82，86，則該班成績的平均分是（

）A．82 B．83.24 C．83.92 D．84【答案】C【分析】求得班級(jí)得分總和再求平均數(shù).【詳解】根據(jù)題意，可得該班成績的平均分是.故選：C2．（多選）已知一組數(shù)據(jù)3，3，，8，3，12，6，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則的值可能是（

）A． B． C． D．28【答案】ABD【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)以及平均數(shù)定義計(jì)算即可.【詳解】由題意得，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，眾數(shù)是3.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，若，則中位數(shù)為3，此時(shí)，解得，滿足題意；若，則中位數(shù)為，此時(shí)，解得，滿足題意；若，則中位數(shù)為6，此時(shí)，解得.故選：ABD.3．某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)共有11個(gè)樣本，它們依次成公差的等差數(shù)列，若第位數(shù)為，則它們的平均數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分位數(shù)的定義判斷第位數(shù)的位置，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)和平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意可知共有個(gè)樣本，且從小到大依次排列，因?yàn)?，所以，所以，所以這11個(gè)樣本的平均數(shù)為，故選：D4．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若他們的平均數(shù)相等，則圖中的值是．

【答案】【分析】根據(jù)平均數(shù)相等得到關(guān)于的方程，則結(jié)果可求.【詳解】因?yàn)?解得，故答案為：.5.樹人中學(xué)國旗班共有50名學(xué)生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若樣本中男生的平均身高為178cm，樣本中女生人數(shù)與女生平均身高的估計(jì)值分別為(

)A．8人

168cm B．8人

170cm C．12人

168cm D．12人

170cm【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣的概念求出樣本女生人數(shù)，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算法即可求樣本中女生的身高估計(jì)值．【詳解】由題意可知，樣本中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為8，則樣本中女生的平均身高為．故選：A．【題型2方差、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用】知識(shí)點(diǎn)：方差:s2=[++…+]=(xi-)2標(biāo)準(zhǔn)差:s==例5.一組數(shù)據(jù)為，下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6②這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)是③這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7④這些數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】將原數(shù)據(jù)組由小到大排列，根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的定義逐一計(jì)算即可.【詳解】依題意，原數(shù)據(jù)組由小到大排列為：，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6或8，故①錯(cuò)誤；中位數(shù)是6，故②錯(cuò)誤；平均數(shù)為.故③錯(cuò)誤；方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為.故④正確.故選：A.例6.某公司有營銷部門、宣傳部門以及人事部門，其中營銷部門有50人，平均工資為5千元，方差為4，宣傳部門有40人，平均工資為3千元，方差為8，人事部門有10人，平均工資為3千元，方差為6，則該公司所有員工工資的方差為（

）A．6.4 B．6.6 C．6.7 D．6.8【答案】D【分析】先求出所有人的平均工資，結(jié)合方差公式計(jì)算即可求解.【詳解】所有人的平均工資為千元，故該公司所有員工工資的方差為.故選：D．例7.已知一個(gè)樣本由三個(gè)，三個(gè)和四個(gè)組成，則這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的公式直接計(jì)算.【詳解】由已知樣本的平均數(shù)，則方差，則標(biāo)準(zhǔn)差，故選：C.例8.若一組個(gè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，則．【答案】【分析】利用方差公式可得出的值.【詳解】由題意可知，這個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，解得.故答案為：.例9.某楊梅種植戶從購買客戶中隨機(jī)抽取20位客戶做質(zhì)量隨訪調(diào)查，其中購買系列（大棚種植）的10位，購買系列（自然種植）的10位，從楊梅的大小、口感、水分、甜度進(jìn)行綜合打分（滿分100分），打分結(jié)果記錄如下：系列（大棚種植）：84

81

79

76

95

88

93

86

86

92系列（自然種植）：92

95

80

75

83

87

90

80

85

93(1)分別寫出這兩個(gè)系列綜合打分的中位數(shù)．(2)分別求出這兩個(gè)系列綜合打分的平均數(shù)與方差，通過上述數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行分析，你認(rèn)為推廣哪種系列種植更合適？【答案】(1)系列，系列(2)系列平均數(shù)，方差，系列平均數(shù)，方差，推廣系列種植更合適【分析】（1）將兩個(gè)系列的數(shù)從小到大排列后，根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的定義求解即可，再根據(jù)方差的大小即可決定要推廣的系列.【詳解】（1）解：系列的打分結(jié)果從小到大排列為76，79，81，84，86，86，88，92，93，95，所以系列綜合打分的中位數(shù)為．系列的打分結(jié)果從小到大排列為75，80，80，83，85，87，90，92，93，95，所以系列綜合打分的中位數(shù)為．（2）解：系列綜合打分的平均數(shù)，方差．系列綜合打分的平均數(shù)，方差．因?yàn)閮蓚€(gè)系列綜合打分的中位數(shù)相等，平均數(shù)相等，方差滿足，所以推廣系列種植更合適．例10.某高中為配合愛國主義教育，開展國防科技知識(shí)競(jìng)賽，預(yù)賽后，將成績最好的甲、乙兩個(gè)班學(xué)生（每班都是40人）的得分情況做成如下的條形圖（20道單項(xiàng)選擇題，每題5分，滿分100分）.記甲、乙兩班學(xué)生得分的平均數(shù)分別為，方差分別為，已求得(1)分別求出甲、乙兩班的學(xué)生得分為95分及以上的頻率；(2)試計(jì)算，并判斷哪個(gè)班的學(xué)生的成績波動(dòng)更小.【答案】(1)0.3，0.425；(2)，甲班學(xué)生的成績波動(dòng)更小.【分析】（1）利用條形圖計(jì)算頻率即可；（2）利用方差公式計(jì)算結(jié)合及方差的意義判定即可.【詳解】（1）甲班得分為95分及以上的學(xué)生有人，故頻率為；

乙班得分為95分及以上的學(xué)生有人，故頻率為（2）因?yàn)?，所以方差；顯然，所以，甲班學(xué)生的成績波動(dòng)更小.【題型訓(xùn)練2】1．如圖為某中型綜合超市年的年總營業(yè)額（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．年的年總營業(yè)額的極差為2200萬元B．年的年總營業(yè)額波動(dòng)性比年的年總營業(yè)額波動(dòng)性小C．年的年總營業(yè)額逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趨勢(shì)D．年的年總營業(yè)額的中位數(shù)是2019年和2020年的年總營業(yè)額的平均數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表數(shù)據(jù)一一分析即可.【詳解】對(duì)于A：年的年總營業(yè)額的最大值為3400萬元，最小值為1200萬元，所以極差為（萬元），故A正確；對(duì)于B：年的年總營業(yè)額波動(dòng)性比年的年總營業(yè)額波動(dòng)性小，故B正確；對(duì)于C：年的年總營業(yè)額逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趨勢(shì)，故C正確；對(duì)于D：年的年總營業(yè)額按從小到大的順序排列為：1200萬元、2000萬元、2100萬元、2200萬元、2400萬元、2800萬元、3200萬元、3400萬元，所以年年總營業(yè)額的中位數(shù)是2200萬元和2400萬元的平均數(shù)，即2017年和2018年的年總營業(yè)額的平均數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：D2．某次知識(shí)競(jìng)賽共有12人參賽，比賽分為紅、黃兩隊(duì)，每隊(duì)由六人組成.其中紅隊(duì)6人答對(duì)題目的平均數(shù)為3，方差為5，黃隊(duì)6人答對(duì)題目的平均數(shù)為5，方差為3，則參加比賽的12人答對(duì)題目的方差為（

）A．5 B．4.5 C．3.5 D．18【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得12個(gè)人的平均答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為，結(jié)合方差的公式，即可求解.【詳解】由題意，這12個(gè)人的平均答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的方差為.故選：A.3.某老師對(duì)比甲、乙兩名學(xué)生最近5次數(shù)學(xué)月考成績，甲：，乙：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲成績的平均數(shù)較小 B．乙成績的中位數(shù)較大C．乙成績的極差較大 D．乙比甲的成績穩(wěn)定【答案】D【分析】分別計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差即可得答案.【詳解】設(shè)甲、乙成績的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，，，甲成績的平均數(shù)較大，故A錯(cuò)誤；甲成績的中位數(shù)為129，乙成績的中位數(shù)為119，乙成績的中位數(shù)較小，故B錯(cuò)誤；甲成績的極差為，乙成績的極差為，乙成績的極差較小，故C錯(cuò)誤；，，，乙比甲的成績穩(wěn)定，故D正確．故選：D．4.（多選）已知一組數(shù)據(jù)：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數(shù)為5，則（

）A．B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均為4C．這組數(shù)據(jù)的方差為3.8D．若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的方差不變【答案】ACD【分析】根據(jù)平均數(shù)求得原始數(shù)據(jù)，再利用眾數(shù)、中位數(shù)，方差的公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)閿?shù)據(jù)：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數(shù)為5，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，將數(shù)據(jù)從小到大排列，可得3，3，4，4，4，5，5，6，6，10，可得數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4，中位數(shù)為，所以B不正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3，此時(shí)平均數(shù)變?yōu)?，，則所有新數(shù)據(jù)的方差不變，所以D正確.故選：ACD.5．某高校共有“機(jī)器人”興趣團(tuán)隊(duì)20個(gè)，將這20個(gè)團(tuán)隊(duì)分為甲?乙兩組，每組10個(gè)團(tuán)隊(duì)，進(jìn)行理論和實(shí)踐操作考試（共150分），甲?乙兩組的成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑杭祝?25，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140學(xué)校計(jì)劃從甲、乙兩組中選一組參加機(jī)器人大賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度分析，若最終選擇甲組，理由是什么？若最終選擇乙組，理由是什么？【答案】答案見解析【分析】由平均數(shù)公式、方程公式可以分別依次求得甲和乙的平均數(shù)以及公差，從兩個(gè)方面比較即可求解.【詳解】甲組成績的平均數(shù)，乙組成績的平均數(shù).甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差.選甲組理由：甲、乙兩組平均數(shù)相差不大，但，甲組成績波動(dòng)小.選乙組理由：，在比賽中，高分團(tuán)隊(duì)獲勝的概率大.6．為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的