湖南省郴州市上田中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省郴州市上田中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為64個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由題意知，；；；；.故選：C.

2.已知sinθ＞0且cosθ＜0，則角θ的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號(hào)．【分析】利用三角函數(shù)的定義，可確定y＞0且x＜0，進(jìn)而可知θ所在的象限．【解答】解：根據(jù)三角函數(shù)的定義，sinθ=＞0，cosθ=＜0，∵r＞0，∴y＞0，x＜0；∴θ在第二象限．故選：B．3.若直線過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則這樣的直線有（

）條A.1條

B.2條

C.3條

D.以上都不對(duì)參考答案：B4.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為

（

）A．

B．1

C．1或

D．

參考答案：A略5.設(shè)有一個(gè)回歸方程為=2+3x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，則（）A．y平均增加2個(gè)單位 B．y平均增加3個(gè)單位C．y平均減少2個(gè)單位 D．y平均減少3個(gè)單位參考答案：B【考點(diǎn)】BP：回歸分析．【分析】根據(jù)所給的線性回歸方程，看出當(dāng)自變量增加一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值增加3個(gè)單位，得到結(jié)果【解答】解：∵回歸方程為=2+3x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)變換為x+1，y1=2+3（x+1）∴y1﹣y=3，即平均增加3個(gè)單位，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸分析，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是要說(shuō)清楚y的值是平均增長(zhǎng)3個(gè)單位．6.雙曲線－y2=1(n>1)的焦點(diǎn)為F1、F2，，P在雙曲線上，且滿足：｜PF1|+|PF2|=2，則ΔPF1F2的面積是A、1

B、2

C、4

D、參考答案：A錯(cuò)因：不注意定義的應(yīng)用。7.已知，，，則a,b,c的大小關(guān)系是（

）。A.

B.

C.

D.

參考答案：A8.已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，則M∩N=（）A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣3，3}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出集合N的等價(jià)條件，結(jié)合交集的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，∵M(jìn)={﹣3，﹣2，﹣1}，∴M∩N={﹣1}，故選：A9.用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（

）A.項(xiàng) B.項(xiàng) C.項(xiàng) D.項(xiàng)參考答案：D【分析】分別寫出當(dāng)，和時(shí)，左邊的式子，分別得到其項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，左邊，共有項(xiàng)；所以從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，熟記數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.10.設(shè)，，，則的面積是

（

）

A.1

B.

C.4

D.4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，是⊙的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與⊙相切于點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，則的大小為_________．參考答案：略12.關(guān)于某設(shè)備的使用年限ｘ與所支出的維修費(fèi)用ｙ(萬(wàn)元)，有如下統(tǒng)計(jì)資料：若y對(duì)x使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0呈線性相關(guān)，則線性回歸方程表示的直線一定過(guò)定點(diǎn)

。參考答案：（4,5）13.已知圓(x－3)2+y2=4和直線y=mx的交點(diǎn)分別為P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為

。參考答案：514.若雙曲線的離心率為2，則的值為

▲

．參考答案：3

略15.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D為斜邊BC的中點(diǎn)，則的值為__________。參考答案：18

16.正三棱錐的高為2，側(cè)棱與地面ABC成，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離為________.參考答案：略17.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則

參考答案：9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（16分）已知橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為2，且其離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若F為橢圓C的右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)B的直線與橢圓另一個(gè)交點(diǎn)為A，且滿足，求△ABF外接圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題．【分析】（Ⅰ）由題意可得：，∴，進(jìn)而求出橢圓的方程．（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），設(shè)A（x0，y0），則根據(jù)題意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再聯(lián)立橢圓的方程可得：A（0，﹣1）或，進(jìn)而根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)求出元得方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得：，…∴，∴，…所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．…（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），…設(shè)A（x0，y0），則，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…當(dāng)A為（0，﹣1）時(shí)，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圓是以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，該外接圓的方程為x2+y2=1；

…當(dāng)A為時(shí)，kBF=﹣1，kAF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圓是以線段BA為直徑的圓．由線段BA的中點(diǎn)以及可得△ABF的外接圓的方程為．…（14分）綜上所述，△ABF的外接圓的方程為x2+y2=1或．【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的方程中a，b，c之間的關(guān)系，以及圓的有關(guān)性質(zhì)與向量的數(shù)量積表示．19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明平面EAC⊥平面PBC，只需證明AC⊥平面PBC，即證AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，可求a的值，從而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如圖，以C為原點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），則?=?=0，為面PAC的法向量．設(shè)=（x，y，z）為面EAC的法向量，則?=?=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則=（a，﹣a，﹣2），依題意，|cos＜，＞|===，則a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|==，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．…20.已知：不等式對(duì)于恒成立，:關(guān)于的不等式有解，若為真，為假，求的取值范圍．參考答案：：，

對(duì)于，不等式恒成立，可得，

：，

…………3分

又命題q：有解，，解得或，…………6分

為真，且為假，

與q必有一真一假當(dāng)p真q假時(shí)，有，

即，

當(dāng)p假q真時(shí)，有，即或，

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．…………10分21.已知一個(gè)分段函數(shù)可利用函數(shù)來(lái)表示，例如要表示一個(gè)分段函數(shù)，可將函數(shù)表示為．現(xiàn)有一個(gè)函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）若關(guān)于的不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：(1)，;(2).考點(diǎn)：1.分段函數(shù)；2.數(shù)形結(jié)合.22.（14分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2且Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3…）．（I）求a2，a3；（II）求證：數(shù)列{an﹣2an﹣1}是常數(shù)列；（III）求證：．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知S2=4a1﹣2=6．所以a2=S2﹣a1=4．a(chǎn)3=8．（2）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）；所以an+1=4an﹣4an﹣1由此入手能推導(dǎo)出數(shù)列{an﹣2an﹣1}是常數(shù)列．（3）由題設(shè)條件知an=2n，所以．由此及彼可知．【解答】解：（1）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴S2=4a1﹣2=6．∴a2=S2﹣a1=4．同理可得a3=8．（2）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）．兩式相減得：an+1=4an﹣4an﹣1變形得：an+1﹣2an=2an﹣4an﹣1=2（an﹣2an﹣1）（n≥2）則：an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an