上海市延安中學2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試

延安中學2023學年第二學期高二年級數(shù)學期中考試2024.03一、填空題（本大題共12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）1．已知函數(shù)，則________．2．某人拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，其中正面朝上7欠，則該硬幣正面朝上的頻率為________．3．函數(shù)的駐點為________．4．函數(shù)在上的最大值為________．5．若事件與互斥，且，，則________．6．若直線與曲線（參數(shù)）有唯一的公共點，則實數(shù)________．7．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是________．8．一名信息員維護甲、乙兩公司的5G網(wǎng)絡，一天內甲公司需要維護和乙公司需要維護相互獨立，它們需要維護的概率分別為0.2和0.3，則至少有一個公司不需要維護的概率為_______．9．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)的取值范圍是________．10．在平面直角坐標系中，動點和點、滿足，則動點的軌跡方程為________．11．若對于任意的，都有，則實數(shù)的最大值為________．12．已知、是雙曲線（，）的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于、兩點，且，，則下列結論中，正確結論的序號為________．①雙曲線的離心率為2； ②雙曲線的一條漸近線的斜率為；③線段的長為； ④的面積為．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）13．現(xiàn)有以下兩項調查：①從40臺剛出廠的大型挖掘機中抽取4臺進行質量檢測；②在某校800名學生中，型、型、型和型血的學生依次有300，200，180，120人．需從中抽取一個容量為40的樣本，研究血型與色弱的關系．完成這兩項調查最適宜采用的抽樣方法分別是（）A．①②都采用簡單隨機抽樣B．①②都采用分層隨機抽樣C．①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣D．①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣14．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．“恰好有一個白球”與“都是紅球”B．“至多有一個白球”與“都是紅球”C．“至多有一個白球”與“都是白球”D．“至多有一個白球”與“至多有一個紅球”15．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，下列說法不正確的是（）A．函數(shù)在上嚴格增 B．函數(shù)在上嚴格減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)共有兩個極小值點16．已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B. C． D．三、解答題（本大題共5題，滿分46分）17．（本題滿分6分：第（1）小題3分，第（2）小題3分）一個盒子里裝有標號為1，2，3，4的4張標簽，隨機地選取兩張標簽，一次選取一張．（1）若標簽的選取是無放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；（2）若標簽的選取是有放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．18．（本題滿分8分：第（1）小題4分，第（2）小題4分）已知拋物線，定點．（1）過點且過拋物線的焦點的直線，交拋物線于、兩點，求；（2）求過點且與拋物線有且僅有一個公共點的直線方程．19．（本題滿分8分：第（1）小題4分，第（2）小題4分）某高校承辦了2024年上海帆船公開賽的志愿志選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；（2）在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個來自同一組概率．

20．（本題滿分12分：第（1）小題3分，第（2）小題5分，第（3）小題4分）已知函數(shù)，，其中，．（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）函數(shù)，，是否存在極值點，若存在，求出極值點，若不存在，請說明理由；（3）若關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

21．（本題滿分12分：第（1）小題3分，第（2）小題4分，第（3）小題5分）已知橢圓，、、、這四點中恰有三點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）點是橢圓上的一個動點，求面積的最大值；（3）過的直線交橢圓于、兩點，設直線的斜率，在軸上是否存在一點，使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

參考答案一、填空題1.1；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.①④；11.若對于任意的，都有，則實數(shù)的最大值為___．【答案】1

【解析】因為,

所以,即,

設函數(shù)，依題設,在上單調遞增,

又,令,解得

所以的增區(qū)間為所以,所以

所以的最大值為1.故答案為:1.二、選擇題13.C；14.A；15.A；16.B15.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，下列說法不正確的是（）A．函數(shù)在上嚴格增 B．函數(shù)在上嚴格減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)共有兩個極小值點【答案】A【解析】當時,,當時,,

所以函數(shù)在上先減后增,故錯誤;

當時,,所以函數(shù)在上單調遞減,故正確;

因為在左側附近導數(shù)為正,右側附近導數(shù)為負,

所以函數(shù)在處取得極大值,故正確;

因為在左側附近導數(shù)為負,右側附近導數(shù)為正,

所以函數(shù)在處取得極小值,

因為在左側附近導數(shù)為負,右側附近導數(shù)為正,

所以函數(shù)在處取得極小值,則函數(shù)共有兩個極小值點,故正確.故選A.三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1），平均數(shù)為69.5（2）20.已知函數(shù)，，其中，．（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）函數(shù)，，是否存在極值點，若存在，求出極值點，若不存在，請說明理由；（3）若關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】見解析【解析】(1)因為,

所以在點的切線方程為,即;

(2)設,定義域

當時,恒成立,所以在嚴格增,所以不存在極值點;當時,令,當時,,當時,,所以在嚴格減,在嚴格增,

所以函數(shù)存在一個極小值點,無極大值點;

(3)原不等式

當時,恒成立;當時,,即,

由(2)知時,

在有最小值,所以實數(shù)的取值范圍為.21.已知橢圓，、、、這四點中恰有三點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）點是橢圓上的一個動點，求面積的最大值；（3）過的直線交橢圓于、兩點，設直線的斜率，在軸上是否存在一點，使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【解析】(1)由兩點關于軸對稱，因此兩點必然在橢圓上,,若點在橢圓上,則,得出,矛盾,因此點不在橢圓上,點在橢圓上,,解得,橢圓的方程為:

直線的方程為:.設與橢圓相切的直線方程為:代入橢圓方程可得:

化為:,令