高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版上冊(cè)課后習(xí)題答案

習(xí)題1-1

L求下列函數(shù)的自然定義域：

(2)y=；

⑴y=&+2;1-x2

J4-￡

(5)y=sinVx;(6)y=tan(x+1);

____i

⑺y=arcsin(x-3);⑻y=J3—x+arctan—；

(9)y=ln(x+l);X

1

(10)y=-

解：。

「2、

(l)3x+2>0=>x>-，即定義域?yàn)橐?+oo

[I31

3

(2)1—廠(chǎng)w0=>xw±l,

即定義域?yàn)?—8,—1)U(-1,1)U(1,+8)

(3)xwO且l—f20=>xw0且xK1

即定義域?yàn)閇—1,0)u(0,1]

2

(4)4-x>0^|x|<2即定義域?yàn)?—2,2)

(5)x20,即定義域?yàn)閇0,+8)

(6)x+1w攵萬(wàn)+“(攵￡Z),

f2i

即定義域?yàn)閤R且xW(左+eZ

2

(7)|x-3|<1=>2<X<4,即定義域?yàn)閇2,4]

(8)3—xNO且xwO,即定義域?yàn)?—8,0)u(0,3]

(9)x+1>0=>x>—1即定義域?yàn)?-1,+8)

(10)xw0,即定義域?yàn)?一8,0)u(0,+oo)

2.下列各題中，函數(shù)/(X)和g(x)是否相同？為什么？

⑴/(x)=lgx2,g(x)=21gx

(2)/(x)=x,g(x)

(3)/(x)=^(x4-x3),g(x)=xYx-1

(4)/(x)=l,g(x)=sec2x-tan2x

解：

(1)不同，因?yàn)槎x域不同

(2)不同，因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同，g(x)=,一x,x>0

77

-x,x<0

(3)相同，因?yàn)槎x域，對(duì)應(yīng)法則均相同

(4)不同，因?yàn)槎x域不同

!匹

sinx,-<

3.設(shè)g)=]工3

I0,x>

I3

求以上77),彼一V7),以一一77),以一2),并指出函數(shù)y=0(x)的圖形

644

/兀\?n1/萬(wàn)、.71V2

。(％)=sin

6二2，以4)=sin丁=

解:

奴-巧=sin(--)=產(chǎn),。(-2)=0,

442

y二夕。）的圖形如圖1—1所示

4.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性:

x

⑴產(chǎn)

1一工’

(2)y=x+Inx,(0,+oo)

證明：

x1

⑴〉=/(X)=----=-1+----,(-00,1)

1-X1-x

設(shè)％1<%2<L因?yàn)?/p>

/巴人“由二//

(l-x)(l-x)>u

12

所以/(%)>/(&),即/(%)在(一8,1)內(nèi)單調(diào)增加

(2)y=f(x)=x+Inx,(0,+oo)

設(shè)0<%]<兀2，因?yàn)?/p>

/(x)-/(x)=x-x+In2>0

2121—

X]

所以/(x2)>/(修)即f(x)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)增加

5?設(shè)/(x)為定義在(一/,/)內(nèi)的奇函數(shù)，若/(%)在(0,/)內(nèi)單調(diào)增

加,證明f(x)在(_/,0)內(nèi)也單調(diào)增加

證明：

設(shè)一/<為<%2<0，則0<一X2<-xx<l

由了(%)是奇函數(shù)，得)―/(再)=―/(%)+/(—王)

因?yàn)?(%)在(0,/)內(nèi)單調(diào)增加，所以/(—4])—f(-x2)>0

即/(x)在(―/,0)內(nèi)也單調(diào)增加

6.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間(一/,/)上的。證明：

(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)

(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶

函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)

證明：

⑴設(shè)工⑴/⑴均為偶數(shù)，則工(T)=工a)/(T)=f2(x)

令F(%)=」(%)+%(%)

于是產(chǎn)(―x)=f1(-x)+f2(T)=/(x)+上(x)=尸(X)

故尸(X)為偶函數(shù)

設(shè)gi(x),g2W均為奇函數(shù)，

貝吆|(T)=_g](X)，g2(-%)=S2W

令6(%)=81(%)+4。)

于是G(-X)=g](T)+g2(T)=_gG)+_g2(X)=-G(x)

故G(x)為奇函數(shù)

(2)設(shè)工⑴，力(x)均為偶數(shù)，則￡(T)=的))(-%)=f2(x)

令/(%)=的)?力⑴

于是萬(wàn)(T)=工(T).f2(-x)=f{(X)f2(X)=F(X)

故尸(％)為偶函數(shù)

設(shè)g1(X)，&(X)均為奇函數(shù)，則g1(T)

二一glQ)，g2(-工)=~§2W令G(X)=

g](X)?&(%)

于是

G(—x)=&(—%)?g2(-X)=—gi(x)?一g2(%)=g(%l)g(%2)=G(x)

故G(x)為偶函數(shù)

設(shè)/(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，

則/(t)=/(x),g(-X)=-g(x)

令H(x)=

f(x)-g(x)

于是H(-x)=/(-x)?g(-x)

=/W[-gW]=-/W-g(x)=-H(x)

故H(x)為奇函數(shù)

7.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非偶函數(shù)又非奇

函數(shù)？

⑴y=f(12)；

(2)y=3x2-x3;

1-x2

(3)3^=-(4)^=x(x-l)(x+l);

1+x

ax-a~x

(5)y=sinx—cosx+l;⑹尸一一

解：

(1)因?yàn)?(一])=(一九)2「1一(一九)2]=尤2(1一/)=/⑴

所以/(X)為偶函數(shù)

(2)因?yàn)?(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3

/(T)W/(X),且f(—x)w-/W

所以/(x)既非偶函數(shù)又非奇函數(shù)

l-(-x)2_1-X2

(3)因?yàn)?(-X)==fM

1+(―x)~1+x~

所以/(X)為偶函數(shù)

(4)因?yàn)?(-%)=-%(%+1)(^-1)=-/(%)

所以了(%)奇函數(shù)

(5)因?yàn)?(一x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1,

/(T)W/(X)且7?(T)W—/(X)

所以/(x)既非偶函數(shù)又非奇函數(shù)

(6)

a~\ax

因?yàn)?(—X)=-------=/(x)

2

所以/(1)為偶函數(shù)

8.下列函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù)，指出其周期

(1)y=cos(x-2);

(2)y=cos4x;

(3)y=l+sin〃x;

(4)y=xcosx;

(5)y=sin2x

解:

(1)是周期函數(shù)，周期/=2?

71

(2)是周期函數(shù)，周期/=—

2

(3)是周期函數(shù)，周期/=2

(4)不是周期函數(shù)

(5)是周期函數(shù)，周期/=〃

9.求下列函數(shù)的反函數(shù)

1—X

⑵y=;

⑴y=出+1;

1+X

1TC兀

(3)y=ax+b(gd—w°)；(韋)=2sin3x(__<x<_

cx+d66

(5)y=l+ln(x+2);2X

(6)y-

2￥+l

解：

(1)由y=飛x+1解得x=y3-l,既反函數(shù)為y=d—l

(2)由了=1—二解得,=1—y,既反函數(shù)為y=l—x

1+x1+yl+x

(3)由y=ax+A解得x=—dy+b,既反函數(shù)為y二一八十”

cx+dcy-aex-a

jljl1.y

(4)由y=2sin3x(-_<x<_)解得x=_arcsin_,

6632

]X

既反函數(shù)為y=_arcsin_

32

v

(5)由y=l+ln(x+2)解得x=log,

i-y

既反函數(shù)為y=log

,LJC

2xy

(6)由丁=-----解得％=iog2—,

2X+1l-y

x

既反函數(shù)為y=log----

2\—x

io.設(shè)函數(shù)/(%)在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)/(%)在X上有界

的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界

解：

設(shè)/(x)在X上有界，既存在河>0,使得

/(x)<M,xeX,

故—eX,

既/(x)X上有上界〃，下界一M

反之，設(shè)/(x)在X上有上界儲(chǔ)，下界(，即

</(%)<A：1，%eX

取M=max1|K\,\K211,則有

/(x)<M,xeX

即/(x)在X上有界

11.在下列各題中，求由所給函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，并求這函數(shù)分別

對(duì)應(yīng)于給定自變量值X]和的函數(shù)值

2—71

(l)y=u,〃=sinx,X]=,x="；

623

匹一匹.

(2)y=sinu,u=2x,x，%2=4；

]84

(3)y=fu,u=l+x2,x=l,x=2;

712

-e11,u=x2,x=0,x=1;

12

(5)y—ir,u=ex,x=l,x=—1

12

解：

_1_3

2==

(l)y=smx,yl-^2-

V2

(2)y=sm2x,必=亍/2—

⑶=/匕=石

2

(4)y=ex,y=l,y=e

12

(5)y=/\y=e2,y-2

I2—匕

12?設(shè)的定義域D=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域：

(l)f(x2);⑵/(sinx)

(3)f(x+a)(a>0);(4)/(x+a)+f(x-a)(a>0)

解:

(1)0<x2<1=>xe[-l,l]

n

(2)0<sinx<1=>xG\ln7i,(2+1)〃],〃eZ

(3)0<x+a<xea]

(0<x+a<1i「

(4)Jn當(dāng)0<〃(一時(shí)，xe\a,\-a\-,

[0<x-a<l2

當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?

2

13.設(shè)

I1,X<1

|

fMo,|x|=l,g(x)=ex

—1,x〉1

求/[g(X)]和g[/(x)],并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形

解：

1,x<0

，[g(x)]=/?)=<0,%=。

—1,x>0

e,x<1

g[fM]=efM=<l,|x|=1

e^],x>\

/[g(x)]與g[/(x)]的圖形依次如圖1—2,圖1—3所示

14.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角0=40(圖1-4).當(dāng)過(guò)水

斷面ABC。的面積為定值S0時(shí)，求濕周L(L=AB+BC+CD)

與水深。之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義域

解：

h

AB=CD=--------

sin40

又So=-h[BC+(BC+2cot40/)]

s

得5C=」_cot40-h

h

2-cos40

所以￡=h

sin40

而?！?且&-cot40?h>0,

h

因此濕周函數(shù)的定義域?yàn)椋?,）

15.設(shè)xOy平面上有正方形。=｛（x,y）0?x?1,00yV1｝及直

線(xiàn)/:x+y=/?20）若5。）表示正方形。位于直線(xiàn)左下方部分的

面積，試求S（。與1之間的函數(shù)關(guān)系

解：

當(dāng)OdVl時(shí)-，S（O=-r2

2

1212

當(dāng)1<%?2時(shí)，S（0=l-_（2-0=-_t+2t-l

22

當(dāng)？>2時(shí)-，S?）=l

f1.

2

故/+2z-l,l<t<2

1/〉2

16.求聯(lián)系華氏溫度（用戶(hù)表示）和攝氏溫度（用。表示）的轉(zhuǎn)換公

式，并求

（1）90/的等價(jià)攝氏溫度和一5。的等價(jià)華氏溫度；

（2）是否存在一個(gè)溫度值，使華氏溫度計(jì)和攝氏溫度計(jì)的讀數(shù)是一

樣的？如果存在，那么該溫度值是多少？

解：

設(shè)廠(chǎng)二mC+4其中根,b均為常數(shù)

因?yàn)槭?32相當(dāng)于C=0,F=212相當(dāng)于C=100,

2i2—32

所以Z?=32,m-一說(shuō)一=1.8

故尸=1.8C+32或C=_(/-32)

9

(1)F=90,C=|(F-32)?32.2

C=—5,b=1.8x(—5)+32=23

(2)設(shè)溫度值f符合題意，則有

t=1.8f+2J=-40

即華氏-40恰好也是攝氏一40

17.已知RmABC中，直角邊AC,的長(zhǎng)度分別為20,15,動(dòng)

點(diǎn)。從。出發(fā)，沿三角形邊界按CfBfA方向移動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)。從

。出發(fā)，沿三角邊界按CfAf8方向移動(dòng)，移動(dòng)到兩動(dòng)點(diǎn)相遇

時(shí)為止，且點(diǎn)。移動(dòng)的速度是點(diǎn)。移動(dòng)的速度的2倍.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)

的距離為x,口。。。的面積為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

解：

因?yàn)锳C=20,8C=15,所以,A3=,202+152=25

由20<245<20+25可知，點(diǎn)尸,。在斜邊上相遇

令1+2%=15+20+25得x=20,即當(dāng)x=20時(shí)，點(diǎn)P,Q相遇，

因此所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,20)

(1)當(dāng)0<x<10時(shí)，點(diǎn)P在C6上，點(diǎn)。在CA上(圖1-5)

由=1，CQ=2%,得y=f

(2)15時(shí)點(diǎn)尸在CB上點(diǎn)Q在A(yíng)8上(圖1-6)

|CP|=x,|42)=2x-20

設(shè)點(diǎn)。到BC的距離為/z,則

h=忸0=45-2x

20X25

4

得力=-(45—2x),故

15249

y=_xh=_x(45-2x)=x2+18x

255

(3)當(dāng)15cx<20時(shí)點(diǎn)尸，。都在A(yíng)B上(圖1-7)

BP=x-15,AQ=2x-2Q\PQ\=60-3x

設(shè)點(diǎn)。到AB的距離為“，則

得〉=:同卜”=—18x+360

綜上可得

x2,0<x<10

4

<——x2?+18x,10<x<15

I5

-18x+360,15<x<20

18.利用以下美國(guó)人口普查局提供的世界人口數(shù)據(jù)以及指數(shù)模型來(lái)推

測(cè)2020年的世界人口

“偉人U數(shù)（百萬(wàn)）年增長(zhǎng)率（%）

20086708.2L166

20096786.41.140

20106863.81.121

20116940.71.107

20127017,51.107

2OH7095.2

解：

由表中第3歹U,猜想2008年后世界人口的年增長(zhǎng)率是1.1%,于是

在2008年后的第1年，世界人口將是

p（0=6708.2x（1.011/（百萬(wàn)）

2020年對(duì)應(yīng)，=12,于是

p（12）=6708.2x（1.0H）%7649.3（百萬(wàn)）。億

即推測(cè)2020年的世界人口約為76億

習(xí)題1-2

1.下列各題中，哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散？對(duì)收斂數(shù)列，通過(guò)觀(guān)

察｛五｝的變化趨勢(shì)，寫(xiě)出甲門(mén)的極眄:

⑵J）」；

⑴<」；<一卜

L力

（“％

(3)'2+1

〈一〉；

2—小

n

⑹:Ej

⑺廣卜；（8）<r（-i）?+ii--1

n

解：

⑴收斂，lim=0

"-2"一

jL

⑵收斂，lim(-l)--=0

??—>00n

⑶收斂，lim(2+-產(chǎn)

n-?oo〃

⑷收斂，lim"1一=1

sn+\

(5)｛〃(—1)"｝發(fā)散

2〃—1

⑹收斂，lim____=0

ns3

11〕

(7)<〃_發(fā)散

1

(8):「(一發(fā)散

4LE

2.(1)數(shù)列的有界性是數(shù)列收斂的什么條件？

⑵無(wú)界數(shù)列是否一定收斂？

⑶有界數(shù)列是否一定收斂？

解：

(1)必要條件

(2)一定發(fā)散

(3)未必一定發(fā)散，如數(shù)列｛(—1)〃｝有界，但它是發(fā)散的

3.下列關(guān)于數(shù)列的極限是的定義，哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？如果是

對(duì)的，試說(shuō)明理由；如果是錯(cuò)的，試給出一個(gè)反例。

(1)對(duì)于任意給定的￡>0,存在N￡N,當(dāng)〃〉N時(shí)，不等式

X〃一。<￡成立

(2)對(duì)于任意給定的￡>0,存在NWN,當(dāng)〃〉N時(shí)、有無(wú)窮多

項(xiàng)乙，使不等式Xn-a<￡成立

(3)對(duì)于任意給定的￡〉0,存在NGN,當(dāng)〃〉N時(shí)-，

不等式％—a<￡成立，其中c為某個(gè)常數(shù)

(4)對(duì)于任意給定的m￡N,存在NGN,當(dāng)〃〉N時(shí)，

1

不等式氏一。|<一成立

m

解：

I〃11

(1)錯(cuò)誤，如對(duì)數(shù)列〈(-1)=1,對(duì)任給的￡>0(設(shè)￡>1),

In

1.111〃1]

存在N=_,當(dāng)〃>N時(shí)，（-1）+1?_<￡但<（一1）+_卜

￡母〃[勺

的極限不存在

n,n=2k-\,

（2）錯(cuò)誤，如對(duì)數(shù)列入”<1keN+,a=l,對(duì)任給的

11----,ri—2k,

In

￡〉0（設(shè)*1），存在N=j_,當(dāng)〃>7\^且〃為偶數(shù)時(shí)時(shí)，

O

x-a=~L<￡成立，但％的極限不存在

n

（3）正確，對(duì)任給的￡>0,取1E〉0,按假設(shè)，存在NGN,

當(dāng)〃>N時(shí)，不等式卜〃一<°.一￡=￡成立

C

（4）正確，對(duì)任給的￡〉0,取〃2￡N,使J_<￡,按假設(shè)，

m

存在NEN,當(dāng)〃>N時(shí)，不等式X<_L<￡成立

n

m

4.設(shè)數(shù)列｛%〃｝的一般項(xiàng)x”=_cos,問(wèn)lim\=?求出，使

22"一0°

當(dāng)〃>N時(shí)-，當(dāng)與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)￡當(dāng)￡=0.001時(shí)，

求出數(shù)N

解：limx〃=。證明如下

〃一>8

11

0^-0|=-eos^<-,

要使|乙一0<￡，只要即〃〉1,所以V￡>0

n￡

「11

（不妨設(shè)￡<i）,=則當(dāng)"〉N時(shí)，就有|居—o|<￡

「11

當(dāng)￡=0.001時(shí)，WN=-=10。0，即若￡=0.001,只要

￡

〃〉1000,就有|Z—0]<0.001

5.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(2)1加加^(guān)

。2〃+12(4)

(3)lim歸運(yùn)=1；

limO.999

〃->8V

n?--94

/t->0

〃個(gè)

證明：

11

=

(1)因?yàn)橐苟弧恪灰ā狄籢,所以\/￡〉0

nnJg

(不妨設(shè)￡<1)取N=[上],則當(dāng)〃〉N時(shí)?，就有4°<*

1

即lim—=0

,18fl31J3〃+1_3

(2)因?yàn)?〃+12―2(2〃+1)4〃，要使2〃+12

2n+l

111

只要__<8,即〃>一，所以V￡〉0(不妨設(shè)￡<一),取

4〃4e4

「113〃+13

N=h-L則當(dāng)〃〉N時(shí)-，就有^------<￡,

'[4^H2/1+12

3〃+13

即lim=

〃f002〃+12

(3)當(dāng)〃=0時(shí)，所給數(shù)列為常數(shù)列，顯然有此結(jié)論，以下設(shè)

就有

1

（4）因?yàn)槎?lt;￡,

0.999---940—.999---94

〃個(gè)〃個(gè)

只要<￡即〃>lg_,所以Ve〉0（不妨設(shè)￡<1）,取

￡

N=即當(dāng)〃>N時(shí)，就有0.99J?9—1<8

即

〃個(gè)

limO.999-9=1

co

〃個(gè)

6.若lim“〃=a,證明=并舉例說(shuō)明：如果數(shù)列｛k4｝

00〃98

有極限，但數(shù)列｛%｝未必有極限

證：

因?yàn)閘imK=a,所以VE〉0,3N,當(dāng)w〉N時(shí)，有〃〃一a<￡,

n—>oori

從而Ju\-6*4—Q<￡

故二a

H-?00

但由卜/=卜并不能推得例如,n

limJ,limun=a,

n->ooH—>oo

雖然1吧1—1)[=1,但-―1)〃｝沒(méi)有極限

7.設(shè)數(shù)列｛%〃｝有界，又lim笫=0,證明：limxy=0

證：因數(shù)列卜〃｝有界，故>0,使得對(duì)一切〃有

｛n｝<M,\/s>0,由于limy”=0,故對(duì)與=：>0JN,

77-?OOM

當(dāng)"〉時(shí),就有<與=從而有

Nyn/rone

￡

xy-Q=x-y<M~=s

NNNNM

所以

limxn*y7n=0

n—>oo

0

8.對(duì)于數(shù)列｛%〃｝,若々JTa(k->oo),x2k->a(k0)，

證明：—〃（幾—oo）

證：

因?yàn)?2人Ta(kf⑹，所以Ve>0,m&當(dāng)Z>匕時(shí)-，

有「2%-1一。<￡；又因?yàn)?2左一>a(Z8)，所以對(duì)上述￡>0,

當(dāng)人>人2時(shí)、有12左一々3￡

記K=max｛配伍｝,耳IN=2K,則當(dāng)〃>N時(shí)，若幾=2k-1,

則

若〃=2k,則攵>K2&n|4一〃=\xik~a<￡

從而只要〃〉N,就有上一。|<￡，即limx〃=a

:濡；8所示的函數(shù)?。笙铝袠O限’如極限不存在‘說(shuō)明理

由

⑴lim/(%)

x—>-2

⑵lim/(x)

(3)lim/(%)

xfO

解：

(1)lim/(x)=0

x―2

⑵limf(x)=-1/(O+)。

x-?-l

(3)lim/(x)不存在，因?yàn)?(O-)

2.如圖1-9所示的函數(shù)，下列陳述中哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？

(1)lim于(x)不存在

x->0

⑵lim，(x)=°

xf0

(3)lim/(x)T

x-^0

⑷lim/。)=°

x->l

◎)叫/(x)不存在

⑹對(duì)每個(gè)x°e(—1,1),lim/任)存在

解.

■ms匚/(0)的值無(wú)關(guān)，

(1)錯(cuò)，hm/QO存在與否，與

x―>0

事實(shí)上，lim/(x)=0

犬-0

(2)對(duì)，因?yàn)?(0+)=/(0一)=0

(3)錯(cuò)，嶗/(X)的值與/⑼的值無(wú)關(guān)

(4)錯(cuò)，/(「)=0,但/(「)=_],故不存在

x->l

(5)對(duì)，因?yàn)?(「)wy(r)

(6)對(duì)

3.對(duì)圖1-10所示的函數(shù)，下列陳述中哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的

FS1-io

(1)lim/(X)=1

(2)limf(x)不存在

(3)limf(x)=0

10

(4)lim/(x)=1

x—>0

(5)lim/(x)=1

(6)lim/(x)=0

(7)limf(x)=0

x—>2

(8)lim/(x)=0

x—>2

解:

(1)對(duì)

/(X)無(wú)定義

(2)對(duì)，因?yàn)楫?dāng)X<—1,

(3)對(duì)，因?yàn)?(0+)=/(03=0

(4)錯(cuò)，四;/(X)的值與/(0)的值無(wú)關(guān)

(5)對(duì)

(6)對(duì)

(7)對(duì)

(8)錯(cuò)

X=忖，當(dāng)X—0時(shí)的左右極限，并說(shuō)明它們

4.求/(x)二一，9(元)

XX

在x->0時(shí)的極限是否存在

解：

limxx

一°*/(x)=lim—=Lhmy(x)=lim-=1

k-x%-0龍一>°x

因?yàn)閘imf(x)=1=lim/(x),所以lim/(x)=1

x->0*x-?0-xf0

lim叭x)=lim出=lim)=1,lim(p(x)=nmW=lim士=—1

Xf0,x->0+xXf0+Xx->0-Xf(TXxf(TX

因?yàn)閘im0(1)wlim°(x)所以lim9(x)不存在

Xf0+xf(Tx-?0

5.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(l)lim(3x-l)=8;(2)lim(5x+2)=12;

x-^2

工-A

3X2-4l-4x2

(3)lim-------=-4;(4)lim=2

x+2X+2f：2x+l

解：

(1)因?yàn)?/p>

(3x-l)-^=|3x-9|=3|x-^,

￡S

要使|(3x—l)_8|<￡,只要所以V￡〉0,取3=

則當(dāng)0<|x—3|<b時(shí)，就有|(31_1)_8|<￡，BPlim(3x-1)=8

(2)因?yàn)?/p>

|(5X-2)-12|=^_10|=5^_^

要使|(5X+2)gl2卜￡

只要[x—2]<—，所以D￡>0，取"=—,則當(dāng)°<x—2<5時(shí),

就有|(5九+2)—12<g

即lim(5x+2)=12

x—>2

(3)因?yàn)榫乓弧贰?,xw—2,

f-4—(―4)=|x-2-(-4)|=|x+2|=|x-2)|,

x+2

f—4

要使-(-4)<￡,

x+2

只要卜一(一2)|<￡,所以\/￡〉0,取￡=5,

則當(dāng)0<卜_（_2）<5時(shí),

12-4

就有-X------（—4）<￡,

x+2

f—4

即lim-—-=-4

xf-2x+2

11

（4）因?yàn)閄——,XW——

22

1-4?一1

2x+l2=1-2x—2—2x—（一）

2

加/士1一4廠(chǎng)二

要使--------2<&

2x+l

只要X—（—二）<芻，所以V￡>0,取b=_,

222

1

則當(dāng)0<%一（一5）<§時(shí)，

2

就有^1—-4%—~2<￡,

2x+l

1-4X2

即lim--------=2

2x+l

6.根據(jù)函數(shù)定義證明:

⑴lim占L=J；（2）lim占:=0

證:

1+x3=-----1+x3

⑴因?yàn)椴?23‘要使=5

1

>巨占，所以VE〉0，取X1

只要——工<￡，即則

2x'H恒

1+入311+VL

當(dāng)網(wǎng)〉X時(shí),就有1+X-_<g即hm-----二

2?2X—82x'2

(2)

因?yàn)?/p>

sinx

于°

sinx八11

要使<￡,只要<￡,即X>——，所以Ve>0,

sinx八.sinx

取X―,則當(dāng)X>XH寸，就有—-0<￡,即nrih1m=0

JXX—>+8

7.當(dāng)Xf2時(shí)，y=_?—4問(wèn)5等于多少，使當(dāng)上一2<5時(shí),

y-4|<0.001?

解：

由于xf2,

x—2190,不妨設(shè)1―2]<1，即l<x<3

要在￥抬_4卜|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,只要

cl0.001八iC

x—2<-------=0.0002

15

取5=0.0002,則當(dāng)0<x—2<。時(shí)，就有/一4<0,001

x2-l

8.當(dāng)％Too時(shí)，y~----—>1問(wèn)X等于多少，

X2+3

使當(dāng)Fpx時(shí),y-\<0.01?

解：

-T-1<0.01,

2

因?yàn)閄—1—1=_d—<土，要使f+3

X2+3X2+3x2

4

只要二<0.01,即工〉20,取X=20,

則當(dāng)網(wǎng)>X時(shí)，就有1]<0.01

9.證明函數(shù)/a)=x當(dāng)1->0時(shí)極限為零

證：

因4工一0=x=%—0,所以VE〉0,取5=

則當(dāng)0<x-0<b時(shí)、就有x-0<￡,即lim=0

x->0

10.證明：若XT+00及X->—00時(shí)，函數(shù)/W的極限都存在且都

等于A(yíng),則lim/(x)=A

X-?oo

證：

因?yàn)閘im/(x)=A,所以\/e>0,mX]>0,當(dāng)x>X1時(shí)，

X-?+OO

就有「(、)一A卜￡

又因?yàn)閘im/(%)=A,所以對(duì)上面的g>0,mX。>0,當(dāng)Y<—X2

X—>一00乙乙

時(shí),就有/任)_?<￡，mX=max|X1,X2p則)>X當(dāng),

即X或x<—X時(shí)-，就有/W-A<￡即lim/(x)=A

11.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:函數(shù)/(%)當(dāng)％T與時(shí)極限存在的充

分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等

證：

必要性，若lim/(x)=A，則\/￡>0習(xí)5>0當(dāng)0<卜_/|<5

時(shí)，就有

特另U,當(dāng)0<x—/<5時(shí)，有|/(工)一臼<￡,即lin"(x)=A；

當(dāng)0</一時(shí)，有|/(x)—A|<e,即lim/(x)=A

'Xf石

充分性，若!典/(X)=A=!山/(X),則\/￡>0,3^>0,

00

當(dāng)0<%—/<5用，就有|/(X)—A|<￡；又地〉0

當(dāng)0</-x<5時(shí)一，就有f(x)-A<￡即lim/(x)=A

XTXo

12.試給出Xfoo時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明

解：

局部有界性定理，如果lim/(x)=A，那么存在常數(shù)M>0和

X->00

X>0,使得當(dāng)#|〉X時(shí)，有|/(x)歸M

證明如下：因?yàn)閘im/(x)=A,所以對(duì)￡=1>OJX>0,

X—>00

當(dāng)網(wǎng)>X時(shí),就有|/(%)_川<1，從而

|/?|<|/(x)-A|+|A|<l+|4|

mM=|A+l|,即有當(dāng)N>X時(shí)，|/(x)|<M

習(xí)題1-4

1.兩個(gè)無(wú)窮小的商是否一定是無(wú)窮??？舉例說(shuō)明。

解：

不一定，例如。(x)=2x與，(x)=3],都是當(dāng)％—>0時(shí)的無(wú)窮小,

a{x)2

但-----二—卻不是當(dāng)XT0時(shí)的無(wú)窮小

伙X)3

2.根據(jù)定義證明：

X2-9

(Dy=—1為當(dāng)3時(shí)的無(wú)窮小

x+3

1

(2)y=xsin_為當(dāng)xf0時(shí)的無(wú)窮小

證：

(1)

>0,取b

因?yàn)閄2-9

二x—3,所以VE

x+3

則當(dāng)U<

X2-9<s

<5時(shí),就有

x—3x+3

2

X-9

即------為當(dāng)xf3時(shí)的無(wú)窮小

x+3

(2)

1

因?yàn)閤sin—所以\/￡>0,取b=則當(dāng)0<口<5時(shí)一，

就有xsin_<￡

x

1

即xsin—為當(dāng)xf。時(shí)的無(wú)窮小

x

1+2x

3.根據(jù)定義證明：函數(shù)y=為當(dāng)xf0時(shí)的無(wú)窮大，問(wèn)x應(yīng)

滿(mǎn)足什么條件，能使卜|〉104?

證:

11

只要——2〉M,即卜<,所以VM>0,取5=-----

M+2M+2

則當(dāng)0<,一0|<b時(shí)，就有

1+2x

即------為當(dāng)xf0時(shí)的無(wú)窮大

x

令用=1()4,取5=一!一當(dāng)0<x—0<一1一時(shí),

104+2104+2

1+2x

就能使>104

x

4.求下列極限并說(shuō)明理由

⑴lim±];(2)limll三

Xf8xXf°X

解：

(l)lim2x+1=lim(2+J)=2

x->ooxxfooL%

1

理由：由定理2,—為當(dāng)X->8時(shí)的無(wú)窮小;

X

再由定理ilim(2+—)=2，

ZOOX

1-x2

(2)lim------=lim(l+x)=1

xf°1—Xx-0

理由：由定理1,lim(l+x)=l

x->0

5.根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義，填寫(xiě)下表:

/U)T4/(?)—??/(x)—???

Vff>0,36>0,VW>0.3?>0,VW>0.36>0.Vw>0.36>0,

使當(dāng)Ovlx-/l使當(dāng)0<Is-%l使當(dāng)0vlx-x.l使巧0<1X-X,1

1分

(6時(shí).即有<6時(shí),即有<6時(shí),即有<6時(shí).即有

1/(x)-A1<<.1/(?)1>,V./(1)>.V./(1)<-V.

Vr>0,35>0.vw>o.aa>o.Vif>0,3^>o.VV>0.3^>0.

使與0<x-*.<使當(dāng)0<x-x.<使與0<A?2<使當(dāng)O(x?*o<6

B時(shí),即有6時(shí).即有s時(shí).即仃時(shí).即有

l/X?)—A1<g.1/(x)1>.W./(4)>W.f(x)<-W.

Vr>0,34>0.Vv>0.3^>o9VM>0.3A>0.Vw>o.3^>0.

使與0>x-*.>便當(dāng)0>M-X.>使葉0>工-%>使與。>X-、?>

nJ

?6時(shí).岬有?6時(shí),即有-6時(shí),即有?6時(shí),即〃

1/(?)-41v，.l/U)1/(?)>V./(1)<-W.

Vr>0,3X>0tVW>0,3X>yv>o.3x>Vw>0t3X>ot

便當(dāng)1相>X時(shí).0,便'J1>X0,使當(dāng)J1>ttt!ul111>l時(shí).

寓一?00

即標(biāo)時(shí),即有時(shí),即“即“

1/(?)-A1<r.1/(1)1>M.[{?)>"/*(!)<—,l/?

Vr>0.3.V>0.VW>0,3*>VV>0.3X>Vw>0.31>0.

使**>X時(shí).。,使當(dāng)■>1時(shí).。,使HK>1時(shí).便與，>1時(shí).

?—??to

即“即神UPll即“

1/(?)--41<1/(x)1>M.fix)>V./(?)<-W.

V*>0,3X>0.VW>0.3X>VV>03.t>

<VV>0.3X>0,使

使與x<-X時(shí).0.ftM11<?'。.使與X?-X

1-?-toT?<-1時(shí),卿“

即“時(shí),即“時(shí),即W

/(a)<-w?

1/(?)-41<r.1/(?)1>M,/(?)>V.

6.函數(shù)y=COSX在(-00,+8)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否

為％->+8時(shí)的無(wú)窮??？為什么？

解：因?yàn)閂"〉0,總有/￡(知，+00),使COS%0=1,

從而y=x()cosxo=x0>A/,所以y=cosx在(—oo,+oo)內(nèi)無(wú)界

又因?yàn)閂M〉o,x〉0，總有/e(X,+8),使cos/=0,

從而y=/cosx0=0<M,所以y=/(x)=xcosx,

不是當(dāng)x-?+8時(shí)的無(wú)窮大

1.1

7.證明：函數(shù)y=—sin—在區(qū)間（0』］內(nèi)無(wú)界，但這函數(shù)不是

Xf。十時(shí)的無(wú)窮大

證：

1.1

先證函數(shù)y=_SH1_在區(qū)間（0,1］內(nèi)無(wú)界

因?yàn)椤?在（0,1］中總可找到點(diǎn)如使/（/）>用，例如‘

1n

可取x=______（keN）,則/（x）=2公r+一，當(dāng)女充分大

oKo

2kn+2

2

11

時(shí)，可使/（%）>M，所以y=_sin_在（0J］內(nèi)無(wú)界

再證函數(shù)不是Xf0+時(shí)的無(wú)窮大

因?yàn)閃M>°石>0總可找到點(diǎn)%,使0<%0<§,但/（見(jiàn)）〉",

例如，可取與——(kGN),當(dāng)女充分大時(shí)，0<%0<5

ZKTI

但/(%)=2Z/rsin2%乃=0<M,

11+

所以y=一sin—不是1.o時(shí)的無(wú)窮大

XX

4

3?"生/W_____的圖形漸近線(xiàn)

8.求函數(shù)Jr

z-X

解：

因?yàn)閘im/（x）=o,所以）=0是函數(shù)圖形的水平漸近線(xiàn)

因?yàn)閘im/(x)=oo,lim/(x)=8,所以工=一，5

x—X—

及工=都是函數(shù)圖形的鉛直漸近線(xiàn)

習(xí)題1-5

L計(jì)算下列極限；

(l)limX~+5：⑵limY-3

Xf2x-3z夕+1

x~—2x+1—2x=+x

⑶lim--——;(4),3f+2x

jx-1

/c「(x+h)—-廣(6)lim(2-2+Jj；

(5)lim

1

7?5)hXf8XX

(7)lim,7;(8)lim戶(hù).；

x*2x-x-1x^x-3x+1

⑼limW-6X+8：(io)lim(l+1)(2—L；

-2-700-2

x.4元—Qx+]4]XX

(11)lim(l+_+_+

2242”

1+2+3+…+(〃-1)

(12)lim

RT9

(〃+l)(〃+2)(〃+3)

(13)lim-----------------------

n->oo

13

(14)lim(-)

3

Xfll-x1-X

解：

2

(1)lim丫2slim(x-3)

_______XT73_n

2

x—>2x-3lim(x+l)

X2-30

⑵lim=0

X”x2+l4

if—2x+1].x—1八

(3)hm-----------=hm------=0

2

X-1X-lX―1X+1

2

(4)lim4f-2/+x=lim(4x-2x+l)^￡

2

x-03X+2Xlim(3x+2)2

xfO

(5)lim?+')[X-=lim(2x+h)=2x

/i—>0h/z—>oo

(6)lim(2-2+J_)=lim2-limj-limj_=2

2

Xf8XXX.8Xf8XXf8X2

2lim(l-lj

(7)lim%-1_x-00],2_1

xt82x"-x—\lim(2——__)2

2

Xf8XX

l「im/(1_+A1、

(8)limx+工二xfsJx=0

42

Xf00x—3x+1~~I*\

hm(l——

x->oox

x~—6x+8(x—4)(x