四川省雅安市雅安中學等校聯(lián)考高三下學期開學考試數(shù)學（理）試題

2024屆高三數(shù)學試題（理科）考生注意：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2．請將各題答案填寫在答題卡上.3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，即可由集合的交運算求解.【詳解】由，可得，故，故選：A2.已知復數(shù)為純虛數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則化簡復數(shù)，即可根據(jù)純虛數(shù)的特征求解.【詳解】，故且，故，故選:C3.已知非零向量，滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運算律，代入計算，結(jié)合平面向量的夾角計算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以．設(shè)與的夾角為，則．故選：B4.已知是三條不重合的直線，是三個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則且C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面以及面面平行的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可判斷D.【詳解】對于A，若，則或，A錯誤；對于B，若，則當且時，才有且，B錯誤；對于C，若，當時，推不出，C錯誤；對于D，如圖，設(shè)，在內(nèi)取點P，，作，垂足為，因為，則，而，則，又，故，D正確，故選：D5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項.詳解】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域為，關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項，因為，觀察選項可知，選A.故選：A6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，，，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖可知，輸出的值為最小值，故判斷的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】執(zhí)行程序框圖可知，第一次判斷輸出中較小的數(shù)記為a，再進行第二次判斷，將a與c進行比較，記較小的數(shù)為a，最終輸出.故輸出的值為的最小值.因為，，，所以輸出的值為．故選：D7.已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合共有（）A.12個 B.14個 C.16個 D.18個【答案】C【解析】【分析】分類討論即可求解.【詳解】，由于中所有元素之和為奇數(shù)，且非空集合，當中只有一個元素時，則或或，當中有2個元素時，則中的元素必為一偶一奇，故有個滿足條件的，當中有3個元素時，則中的元素必為2偶一奇或者三個元素均為奇數(shù)，故有4個滿足條件的，當中有4個元素時，則中的元素必為一偶3奇，故有2個滿足條件的，當中有5個元素時，則滿足條件，故共有，故選：C8.已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C.在內(nèi)有零點 D.若在內(nèi)有零點，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且，，所以，，根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)在內(nèi)有零點，故C正確；又因為，所以，故B正確；又因為，則可能大于，故A不正確；若函數(shù)在內(nèi)有零點，則，故D正確.故選：A.9.當兩個變量呈非線性相關(guān)時，有些可以通過適當?shù)霓D(zhuǎn)換進行線性相關(guān)化，比如反比例關(guān)系，可以設(shè)一個新的變量，這樣與之間就是線性關(guān)系．下列表格中的數(shù)據(jù)可以用非線性方程進行擬合，1234562.53.64.45.46.67.5用線性回歸的相關(guān)知識，可求得的值約為（）A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68【答案】B【解析】【分析】設(shè)后，得到與之間的關(guān)系表格，計算出的值，利用在線性回歸方程上進行計算即可.【詳解】設(shè)，則，則1491625362.53.64.4546.67.5則，，則．故選：B.10.若函數(shù)在上恰有兩個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換先化簡函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可.【詳解】，令，得,由，,得．因為恰有兩解，所以．故選：C11.我們把形如和的兩個雙曲線叫做共軛雙曲線．設(shè)共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由，可設(shè)，結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)的最值即可得答案.【詳解】由題意可知則．由，可設(shè)，則，其中，當，即時，取得最大值，此時．故選：A.12.當時，恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡得到在上恒成立，令，求得，得到在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，得到，即可求解.【詳解】由題意，當時，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知實數(shù)，滿足約束條件，則其表示的封閉區(qū)域的面積為______．【答案】2【解析】【分析】利用線性規(guī)劃作出約束條件所表示的封閉區(qū)域，從而得解.【詳解】根據(jù)約束條件作出的平面區(qū)域圖如圖所示，易得，，，則，故封閉區(qū)域的面積為2.故答案為：2.14.已知拋物線的焦點為，是上一點，且，則______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式計算即可.【詳解】由題可知．故答案為：615.一個封閉的玻璃圓錐容器內(nèi)裝有部分水（如圖1），此時水面與線段交于點，將其倒置后（如圖2），水面與線段還是交于點，則______．【答案】##【解析】【分析】由已知可得前后兩次水面的交點相同可得圓錐的體積是圓錐體積的一半，再由圓錐的體積公式計算可求.【詳解】由題意知，在圖1中，圓錐的體積是圓錐體積的一半，分別設(shè)圓，圓的半徑為，，則．故答案為：16.在中，，延長CB至點，使得，若，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得各個角的表達，即可利用正弦定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，則，故，，，由于，所以，由于，所以，故，得，又，，故，故，由正弦定理得，令，均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故，因此.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當時，用替換，然后代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯位相減法代入計算，即可得到結(jié)果.小問1詳解】當時，．當時，由，得，則，則，因也符合上式，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，則，則，兩式相減得，則．18.為了防止注冊賬號被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號登錄前，要先輸入一個驗證碼.當連續(xù)3次輸入錯誤驗證碼時，該用戶賬號將被凍結(jié)，需本人持有效證件進行解凍.已知該系統(tǒng)登入設(shè)置的每個驗證碼由有序數(shù)字串a(chǎn)bcd組成，其中，某人非法登錄一個賬號，任選一組驗證碼輸入，直到輸入正確的驗證碼或賬號被凍結(jié)．（1）求這個人第一次輸入的驗證碼怡有兩位正確的概率；（2）設(shè)這個人輸入驗證碼的次數(shù)為X，求X的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）確定每位驗證碼輸入正確的概率均為，結(jié)合獨立重復試驗的乘法公式，即可求得答案；（2）確定X的可能的取值，求出每個對應的概率，即可得分布列，由期望公式即可求得數(shù)學期望.【小問1詳解】由題意可知每位驗證碼輸入正確的概率均為，則這個人第一次輸入的驗證碼怡有兩位正確的概率為；【小問2詳解】由題意知X的可能取值為，則，，，故X的分布列為：X123P故.19.如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形.（1）證明：.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明平面，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可證明；（2）利用垂直關(guān)系構(gòu)造二面角的平面角，再根據(jù)三角形的邊長，即可求解.【小問1詳解】連結(jié)，因為底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形，所以四邊形是邊長為2的菱形，則，且四邊形和也是邊長為2的正方形，所以，且，，平面，所以平面，平面所以，且，且平面，所以平面，平面,所以；【小問2詳解】由（1）可知，平面，且，所以平面，且平面，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面平面，且平面平面，因為，所以，所以為等邊三角形，取的中點，連結(jié)，則，平面所以平面，再取的中點，連結(jié),則，因為平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，，，，所以，所以二面角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長為．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點，是橢圓的左頂點，是橢圓的上頂點，直線與軸相交于點，直線與軸相交于點．記的面積為，的面積為．證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計算，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出點的坐標，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計算，即可證明.【小問1詳解】由題可知，，解得，故橢圓的方程為．【小問2詳解】證明：設(shè)，則直線的方程為，令，得．直線的方程為，令，得．，，．由，得，則．故為定值．21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個不相等的根，且的導函數(shù)為，證明：．【答案】21.詳解見解析；22.證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)分類討論含參的函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由（1）知，，令，利用導數(shù)可得在上單調(diào)遞增，得，進而，結(jié)合基本不等式即可證明.【小問1詳解】，則，當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為方程有兩個不等的根，且，由（1）知，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以，又，所以.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略:形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．［選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與相交于，兩點．（1）求曲線的普通方程；（2）設(shè)，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）把平方后相加即可；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，化簡后，利用韋達