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二重積分的換元二重積分的計算1定理1設(shè)有界閉區(qū)域R是由兩條光滑曲線以及直線x=a與x=b所圍成。在R可積，且定積分存在，也存在，且則累次積分若函數(shù)2若有界閉區(qū)域R是型區(qū)域,函數(shù)存在，且在R可積，存在，則累次積分且，定積分3如何利用累次積分求二重積分(以型為例)化為先對，后對的累次積分.首先將R投影到Ｘ軸，得到閉區(qū)間，在區(qū)間上任取一點，關(guān)于積分，在R內(nèi)的積分限由到．然后關(guān)于從

到積分．4例計算二重積分其中D是由直線和雙曲線所圍成，D既是x型區(qū)域又是y型區(qū)域．5例將二重積分化為按不同次序的累次積分，其中R是由上半圓周拋物線和直線所圍成．6五、二重積分的換元定理2若函數(shù)在有界閉區(qū)域R連續(xù)，函數(shù)組將平面上區(qū)域一對一地變換為xy平面上區(qū)域R。且函數(shù)組在上對與對存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有則7證明用任意分法T將區(qū)域R分成n個小區(qū)域：設(shè)其面積分別是在R’上有對應(yīng)的分法T’,它將R’對應(yīng)分成n個小區(qū)域設(shè)其面積分別是有8在對應(yīng)唯一一點而函數(shù)組在R上存在反函數(shù)組此函數(shù)組在R上9一致連續(xù)，當(dāng)時，兩邊取極限（），有10例1計算曲線所圍成區(qū)域R的面積．例2計算兩條拋物線與和兩條直線與所圍成區(qū)域的面積與11例3解1213極坐標(biāo)變換面積微元極坐標(biāo)將圓域變換為矩形域.14注:當(dāng)即極坐標(biāo)變換將軸上的線段變換為平面上的原點．討論閉區(qū)域15在區(qū)域和內(nèi)用換元法,有再兩邊對取極限.16例4計算以圓域為底，上的曲面是的曲頂柱體的體積．例5計算球體被圓柱面所截得的那部分立體的體積例6計算雙紐線所圍區(qū)域的面積.17

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