概率論與統(tǒng)計(第三版)復旦大學版第五章課后習題答案

概率論與統(tǒng)計(第三版)復旦大學版第五章課后習題答案PAGEPAGE6習題五1.一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為X.估計P{10<X<18}.【解】設表每次擲的點數(shù)，則從而又X1,X2,X3,X4獨立同分布.從而所以2.假設一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%，問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn獨立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.3.某車間有同型號機床200臺，每部機床開動的概率為0.7，假定各機床開動與否互不影響，開動時每部機床消耗電能15個單位.問至少供應多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應的電能量，應先確定此車間同時開動的機床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機床中同時開動的機床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機床數(shù)目，則X~B（200，0.7）,查表知,m=151.所以供電能151×15=2265（單位）.4.一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk（k=1，2，…，20），設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求P{V＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20由中心極限定理知，隨機變量于是即有P{V>105}≈0.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設100根中有X根短于3m，則X~B（100，0.2）從而6.某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1)X~B(100,0.8)，(2)X~B(100,0.7)，7.用拉普拉斯中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故8.設有30個電子器件.它們的使用壽命T1，…，T30服從參數(shù)λ=0.1[單位：]的指數(shù)分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推.令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率.【解】故9.上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306個工作日，每個工作日為8小時）.【解】設至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元.10.對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長數(shù)相與獨立，且服從同一分布.（1）求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率？（2）求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率.【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)記第i個學生來參加會議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心極限定理得于是(2)以Y記有一名家長來參加會議的學生數(shù).則Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得11.設男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數(shù)，則X~B（10000，0.515）要求女孩個數(shù)不少于男孩個數(shù)的概率，即求P{X≤5000}.由中心極限定理有12.設有1000個人獨立行動，每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計，在一次行動中：（1）至少有多少個人能夠進入？（2）至多有多少人能夠進入？【解】用Xi表第i個人能夠按時進入掩蔽體（i=1,2,…,1000）.令Sn=X1+X2+…+X1000.(1)設至少有m人能夠進入掩蔽體，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件由中心極限定理知：從而故所以m=900-15.65=884.35≈884人(2)設至多有M人能進入掩蔽體，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.13.在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公由中心極限定理，得16.一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設Xi（i=1,2,…,n）是裝運i箱的重量（單位：千克），n為所求的箱數(shù)，由條件知，可把X1，X2，…，Xn視為獨立同分布的隨機變量