專(zhuān)題07 解答中檔題：實(shí)際問(wèn)題與解三角形（原卷版）

專(zhuān)題07解答中檔題：實(shí)際問(wèn)題與解三角形1．（2023?上海）“中國(guó)石化”推出促銷(xiāo)活動(dòng)，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價(jià)降低0.30元．假設(shè)這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．（1）他實(shí)際花了多少錢(qián)購(gòu)買(mǎi)會(huì)員卡？（2）減價(jià)后每升油的單價(jià)為元升，原價(jià)為元升，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不用寫(xiě)出定義域）．（3）油的原價(jià)是7.30元升，求優(yōu)惠后油的單價(jià)比原價(jià)便宜多少元？2．（2022?上海）我們經(jīng)常會(huì)采用不同方法對(duì)某物體進(jìn)行測(cè)量，請(qǐng)測(cè)量下列燈桿的長(zhǎng)．（1）如圖（1）所示，將一個(gè)測(cè)角儀放置在距離燈桿底部米的點(diǎn)處，測(cè)角儀高為米，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，求燈桿的高度．（用含，，的代數(shù)式表示）（2）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖（2）所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿放在燈桿前，測(cè)得其影長(zhǎng)為1米，再將木桿沿著方向移動(dòng)1.8米至的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)為3米，求燈桿的高度．3．（2021?上海）現(xiàn)在手機(jī)非常流行，某公司第一季度總共生產(chǎn)80萬(wàn)部手機(jī)，三個(gè)月生產(chǎn)情況如圖．（1）求三月份生產(chǎn)了多少部手機(jī)？（2）手機(jī)速度很快，比下載速度每秒多，下載一部的電影，比要快190秒，求手機(jī)的下載速度．4．（2020?上海）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)期間，前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元，8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率．5．（2019?上海）圖1是某小型汽車(chē)的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車(chē)的后備箱，在打開(kāi)后備箱的過(guò)程中，箱蓋可以繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，箱蓋落在的位置（如圖2所示）．已知厘米，厘米，厘米．（1）求點(diǎn)到的距離；（2）求、兩點(diǎn)的距離．6．（2023?徐匯區(qū)二模）小明家的花灑的實(shí)景圖及其側(cè)面示意圖分別如圖1、圖2所示，花灑安裝在離地面高度160厘米的處，花灑的長(zhǎng)度為20厘米．（1）已知花灑與墻面所成的角，求當(dāng)花灑噴射出的水流與花灑成的角時(shí)，水流噴射到地面的位置點(diǎn)與墻面的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）（2）某店鋪代理銷(xiāo)售這種花灑，上個(gè)月的銷(xiāo)售額為2400元，這個(gè)月由于店鋪舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，每個(gè)花灑的價(jià)格比上個(gè)月便宜20元，因此比上個(gè)月多賣(mài)出8個(gè)的同時(shí)銷(xiāo)售額也上漲了400元，求這個(gè)此款花灑的原價(jià)是多少元？7．（2023?楊浦區(qū)二模）如圖，某水渠的橫斷面是以為直徑的半圓，其中水面截線，小明在處測(cè)得點(diǎn)處小樹(shù)的頂端的仰角為，已知小樹(shù)的高為1.75米．（1）求直徑的長(zhǎng)；（2）如果要使最大水深為2.8米，那么此時(shí)水面的寬度約為多少米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，8．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，是一個(gè)放置于水平桌面的平板支架的示意圖，底座的高為，寬為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連桿、的長(zhǎng)度分別為和，，且連桿、與始終在同一平面內(nèi)．（1）求點(diǎn)到水平桌面的距離；（2）產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)提示，若點(diǎn)與的水平距離超過(guò)的長(zhǎng)度，則該支架會(huì)傾倒．現(xiàn)將調(diào)節(jié)為，此時(shí)支架會(huì)傾倒嗎？（參考數(shù)據(jù)：，，，9．（2023?楊浦區(qū)一模）如圖，某條道路上通行車(chē)輛限速為60千米小時(shí)，在離道路50米的點(diǎn)處建一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，道路的段為監(jiān)測(cè)區(qū)．在中，已知，，車(chē)輛通過(guò)段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)時(shí)，可認(rèn)定為超速？（精確到0.1秒）（參考數(shù)據(jù)：10．（2023?黃浦區(qū)二模）小麗與媽媽去商場(chǎng)購(gòu)物，商場(chǎng)正在進(jìn)行打折促銷(xiāo)，規(guī)則如下：優(yōu)惠活動(dòng)一：任選兩件商品，第二件半價(jià)（兩件商品價(jià)格不同時(shí)，低價(jià)商品享受折扣）；優(yōu)惠活動(dòng)二：所有商品打八折．（兩種優(yōu)惠活動(dòng)不能同享）（1）如果小麗的媽媽看中一件價(jià)格600元的衣服和一雙500元的鞋子，那么她選擇哪個(gè)優(yōu)惠活動(dòng)會(huì)更劃算？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；（2）如果小麗的媽媽想將之前看中的鞋子換成一條褲子，當(dāng)褲子價(jià)格（褲子價(jià)格低于衣服價(jià)格）低于多少元時(shí)，小麗會(huì)推薦媽媽選擇優(yōu)惠活動(dòng)二？為什么？11．（2023?虹口區(qū)一模）如圖1是鋼琴緩降器，圖2和圖3是鋼琴緩降器兩個(gè)位置的示意圖．是緩降器的底板，壓柄可以繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，液壓伸縮連接桿的端點(diǎn)、分別固定在壓柄與底板上已知．（1）如圖2，當(dāng)壓柄與底座垂直時(shí)，約為，求的長(zhǎng)；（2）現(xiàn)將壓柄從圖2的位置旋轉(zhuǎn)到與底座成角（即，如圖3所示，求此時(shí)液壓伸縮連接桿的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：，，；，，12．（2023?嘉定區(qū)二模）、兩城間的鐵路路程為1800千米．為了縮短從城到城的行駛時(shí)間，列車(chē)實(shí)施提速，提速后速度比提速前速度每小時(shí)增加20千米．（1）如果列車(chē)提速前速度是每小時(shí)80千米，提速后從城到城的行駛時(shí)間減少小時(shí)，求的值；（2）如果提速后從城到城的行駛時(shí)間減少3小時(shí)，又這條鐵路規(guī)定：列車(chē)安全行駛速度不超過(guò)每小時(shí)140千米．問(wèn)列車(chē)提速后速度是否符合規(guī)定？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線射到水池的水面點(diǎn)后折射光線射到池底點(diǎn)處，入射角，折射角；入射光線射到水池的水面點(diǎn)后折射光線射到池底點(diǎn)處，入射角，折射角．，、為法線．入射光線、和折射光線、及法線、都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離為6米．（1）求的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）如果米，求水池的深．（參考數(shù)據(jù)：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取14．（2023?閔行區(qū)二模）如圖，在修建公路時(shí)，需要挖掘一段隧道，已知點(diǎn)、、、在同一直線上，，，米；（1）求隧道兩端、之間的距離（精確到個(gè)位）；（參考數(shù)據(jù)：，，．（2）原計(jì)劃單向開(kāi)挖，但為了加快施工進(jìn)度，從、兩端同時(shí)相向開(kāi)挖，這樣每天的工作效率提高了，結(jié)果提前2天完工．問(wèn)原計(jì)劃單向開(kāi)挖每天挖多少米？15．（2023?寶山區(qū)一模）如圖，某小區(qū)車(chē)庫(kù)頂部是居民健身平臺(tái)，在平臺(tái)上垂直安裝了太陽(yáng)能燈．已知平臺(tái)斜坡的坡度，坡長(zhǎng)為6米．在坡底處測(cè)得燈的頂端的仰角為，在坡頂處測(cè)得燈的頂端的仰角為，求燈的頂端與地面的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）16．（2023?靜安區(qū)二模）已知小明家、街心公園、超市依次在同一直線上，小明家與街心公園相距900米，小明家與超市相距1200米，小明和媽媽從家里出發(fā)，勻速步行了20分鐘到達(dá)街心公園；兩人在公園停留20分鐘后，媽媽按原來(lái)相同的速度勻速步行返回家，小明則勻速步行5分鐘到達(dá)超市購(gòu)買(mǎi)文具用品，停留10分鐘后，勻速騎自行車(chē)返回家，發(fā)現(xiàn)媽媽比他早到家10分鐘，如圖反映了這個(gè)過(guò)程中小明離開(kāi)家的距離（米與離開(kāi)家的時(shí)間（分鐘）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（1）小明從家到街心公園的速度為（米分）；（2）小明從街心公園到超市的速度為（米分）；（3）小明從超市騎車(chē)返回家時(shí)，求他離開(kāi)家的距離（米與離開(kāi)家的時(shí)間（分鐘）的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的取值范圍．17．（2023?崇明區(qū)二模）在疫情防控常態(tài)化的背景下，某學(xué)校為了定期做好專(zhuān)用教室的消毒工作，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種類(lèi)型的消毒劑，預(yù)計(jì)購(gòu)進(jìn)乙種類(lèi)型消毒劑的數(shù)量（瓶與甲種類(lèi)型消毒劑的數(shù)量（瓶之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式（不必寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（2）該學(xué)校用2100元選購(gòu)了甲種類(lèi)型的消毒劑，用2400元選購(gòu)了乙種類(lèi)型的消毒劑，甲種消毒劑的單價(jià)比乙種消毒劑的單價(jià)貴30元，求選購(gòu)的甲、乙消毒劑的數(shù)量．18．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）某校開(kāi)展數(shù)學(xué)周系列活動(dòng)，舉辦了“測(cè)量”為主題的實(shí)踐活動(dòng)．小杰所在小組準(zhǔn)備借助無(wú)人機(jī)來(lái)測(cè)量小區(qū)內(nèi)的一座大樓高度．如圖所示：無(wú)人機(jī)從地面點(diǎn)處沿著與地面垂直的方向上升，至點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得大樓底部的俯角為，測(cè)得大樓頂部的仰角為．無(wú)人機(jī)保持航向不變繼續(xù)上升50米到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)測(cè)得大樓頂部的俯角為．已知、兩點(diǎn)在同一水平線上，根據(jù)以上信息，請(qǐng)幫小杰小組計(jì)算大樓的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）19．（2023?楊浦區(qū)三模）某商店購(gòu)進(jìn)了一種生活用品，進(jìn)價(jià)為每件8元，銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量（件與每件售價(jià)（元之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中，且為整數(shù)），部分對(duì)應(yīng)值如表：每件售價(jià)（元91113每天的銷(xiāo)售量（件1059585（1）求與的函數(shù)解析式；（2）如果該商店打算銷(xiāo)售這種生活用品每天獲得425元的利潤(rùn)，那么每件生活用品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？20．（2023?金山區(qū)一模）如圖，小睿為測(cè)量公園的一涼亭的高度，他先在水平地面點(diǎn)處用高的測(cè)角儀測(cè)得頂部的仰角為，然后沿方向向前走到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處用高的測(cè)角儀測(cè)得頂部的仰角為．求涼亭的高度，，．結(jié)果精確到．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，21．（2023?松江區(qū)一模）小明想利用測(cè)角儀測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度．如圖，他先在點(diǎn)處放置一個(gè)高為1.6米的測(cè)角儀（圖中，測(cè)得旗桿頂部的仰角為，再沿的方向后退3.5米到點(diǎn)處，用同一個(gè)測(cè)角儀（圖中，又測(cè)得旗桿頂部的仰角為．試求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，22．（2023?虹口區(qū)二模）某商店以20元千克的單價(jià)進(jìn)貨了一批商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的銷(xiāo)售量（千克）與銷(xiāo)售單價(jià)（元千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中線段所示．（1）求與的函數(shù)表達(dá)式；（2）要使每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到800元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？23．（2023?青浦區(qū)一模）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在實(shí)踐活動(dòng)課中測(cè)量路燈的高度．如圖，在處測(cè)得路燈頂端的仰角為，再沿方向前行13米到達(dá)點(diǎn)處，在處測(cè)得路燈頂端的仰角為，求路燈頂端到地面的距離（點(diǎn)、、在一直線上）的長(zhǎng)．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，24．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）為了測(cè)量某建筑物的高度，從與建筑物底端在同一水平線的點(diǎn)出發(fā)，沿著坡比為的斜坡行走一段路程至坡頂處，此時(shí)測(cè)得建筑物頂端的仰角為，再?gòu)奶幯厮椒较蚶^續(xù)行走100米后至點(diǎn)處，此時(shí)測(cè)得建筑物頂端的仰角為，建筑物底端的俯角為，如圖，已知點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，求建筑物的高度與的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：25．（2023?寶山區(qū)二模）“小房子”是一種常見(jiàn)的牛奶包裝盒（如圖，圖2是其一個(gè)側(cè)面的示意圖，由“盒身”矩形和“房頂”等腰三角形組成．已知厘米，厘米，厘米．（1）求“房頂”點(diǎn)到盒底邊的距離；（2）現(xiàn)設(shè)計(jì)了牛奶盒的一個(gè)新造型，和原來(lái)相比較，折線段的長(zhǎng)度（即線段與的和）及矩形的面積均不改變，且，，求新造型“盒身”的高度（即線段的長(zhǎng)）．26．（2023?奉賢區(qū)一模）九（1）班同學(xué)在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”的知識(shí)后，開(kāi)展了“測(cè)量學(xué)校教學(xué)大樓高度”的活動(dòng)中，在這個(gè)活動(dòng)中他們?cè)O(shè)計(jì)了以下兩種測(cè)量的方案：課題測(cè)量教學(xué)大樓的高度方案方案一方案二測(cè)量示意圖測(cè)得數(shù)據(jù)甲樓和乙樓之間的距離米，乙樓頂端測(cè)得甲樓頂端的仰角，測(cè)得甲樓底端的俯角甲樓和乙樓之間的距離米，甲樓頂端測(cè)得乙樓頂端的俯角，測(cè)得乙樓底端的俯角，參考數(shù)據(jù)，，，，，，，，請(qǐng)你選擇其中一種方案，求甲樓和乙樓的高度．（結(jié)果精確到1米）

27．（2023?崇明區(qū)一模）如圖，一根燈桿上有一盞路燈，路燈離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方點(diǎn)15.5米處有一坡度為的斜坡．如果高為3米的標(biāo)尺豎立在地面上，垂足為，它的影子的長(zhǎng)度為4米．（1）當(dāng)影子全在水平地面上（圖．求標(biāo)尺與路燈間的距離；（2）當(dāng)影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（圖，求此時(shí)標(biāo)尺與路燈間的距離為多少米？28．（2023?普陀區(qū)二模）購(gòu)物節(jié)期間，、兩家網(wǎng)店分別推出了促銷(xiāo)活動(dòng)，店活動(dòng)：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)的商品總金額在200元及以內(nèi)，不享受折扣，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)的商品總金額超過(guò)200元，超過(guò)200元的金額打折，店購(gòu)物的實(shí)付總金額（元與商品總金額（元之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；店活動(dòng)：所有商品直接打七折．（1）當(dāng)?shù)曩?gòu)買(mǎi)的商品總金額超過(guò)200元時(shí)，求出與之間的函數(shù)解析式；（2）店推出的促銷(xiāo)活動(dòng)中：；（3）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)某種型號(hào)的優(yōu)盤(pán)，采購(gòu)員發(fā)現(xiàn)店的單價(jià)要比店的單價(jià)貴1元，如果購(gòu)買(mǎi)相同數(shù)量的優(yōu)盤(pán)，在店的實(shí)付總金額是800元，而在店的實(shí)付總金額是819元請(qǐng)求出店這種型號(hào)優(yōu)盤(pán)的單價(jià)．29．（2023?奉賢區(qū)二模）圖是某地下商業(yè)街的入口的玻璃頂，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，它的示意圖．經(jīng)過(guò)測(cè)量，支架的立柱與地面垂直，米，點(diǎn)、、在同一水平線上，斜桿與水平線的夾角，支撐桿，垂足為，該支架的邊與的夾角，又測(cè)得米．（1）求該支架的邊的長(zhǎng)；（2）求支架的邊的頂端到地面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，30．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）有一把長(zhǎng)為6米的梯子，將它的上端靠著墻面，下端放在地面上，梯子與地面所成的角記為，地面與墻面互相垂直（如圖1所示）．一般滿足時(shí)，人才能安全地使用這架梯子．（1）當(dāng)梯子底端距離墻面2.5米時(shí)，求的度數(shù)（結(jié)果取整數(shù)），此時(shí)人是否能安全地使用這架梯子？（2）當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端離開(kāi)地面最高時(shí)，梯子開(kāi)始下滑，如果梯子頂端沿著墻面下滑1.5米到墻面上的點(diǎn)處停止，梯子底端也隨之向后平移到地面上的點(diǎn)處（如圖2所示），此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？請(qǐng)說(shuō)明理由．31．（2023?浦東新區(qū)模擬）今年本市蜜桔大豐收，某水果商銷(xiāo)售一種蜜桔，成本價(jià)為10元千克，已知銷(xiāo)售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)不高于18元千克，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量（千克）與銷(xiāo)售價(jià)（元千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（1）求