人教A版2019高中數(shù)學選修1 1 空間向量與立體幾何 B卷

人教A版2019高中數(shù)學選修1專題1空間向量與立體幾何B卷

1.已知向量a=(1,2,2),fa=(-2,1,1).則向量b在向量a上的投影向量為()

2_4_4\244,

A.，，B.

9~9~979/9.

￡1n2

C.3f3,3)D.

2.如圖,已知空間四邊形04BC,其對角線為OB,AC,M,N分別是04,CB的中點，點G在

線段MN上，且MG=3GN,則下列說法正確的是()

A.0G=-0A+-0B+-0CB.0G=-0A+-0B+-0C

633633

C.0G=-0A+-0B+-0CD.OG=-0A+-0B+-0C

844888

3.已知平面a={P|元?的=0},其中點P()(l,2,3),法向量記=(1,1,1),則下列各點中不在平面a

內(nèi)的是()

A.(3,2,1)B.(-2,5,4)

C.(-3,4,5)D.(2,-4,8)

4.在正三棱柱4BC-&B1G中，側(cè)棱長為V2,底面三角形的邊長為1,則Bg與側(cè)面ACC^

所成角的大小為()

45°C.60°D.90°

5.在棱長為1的正方體力BCD—4B1GD1中，已知點P是正方形AA^D內(nèi)部（不含邊界）的

一個動點，若直線AP與平面AA^B所成角的正弦值和異面直線AP與DC1所成角的余弦值

相等，則線段DP長度的最小值是（）

V62>/2V64

A.C.D.

2333

6.如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，鼻?=1,2,…,8）是上底面上

其余的八個點，則荏?通（2=1,2,…,8）的不同值的個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.8

7.如圖所示，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動點M在線段

PQ上，E,F分別為AB,BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為0,則cos。的最

2

A.B.C.-D.-

555

8.在棱長為2的正方體ABCD-A^C^中，E,F分別為棱AAr,BB1的中點，G為棱

上的一點，且41G=4(0<4<2),則點G到平面D]EF的距離為()

V3

CD.

-I3

9.已知點P是4ABe所在的平面外一點，若AB=(-2,1,4).AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),則

()

A.APJ.ABB.AP1BP

C.園=V53D.AP//BC

10.已知單位向量I,j,k兩兩的夾角均為。且。力“，若空間向量a滿足a=xi+

yj+zk(x,y,zGR),則有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)稱為向量a在“仿射"坐標系Oxyz(0為坐標原

點)下的"仿射"坐標，記作a=(x,y,z)0,則下列命題是真命題的有()

A.己知a=(1,3,-2)0,b=(4,0,2)0,則ab=0

B.己知a=(x,y,0)pb=(0,0,z)p其中x,y,z>0,則當且僅當x=y時，向量后,族的

夾角取得最小值

C.己知a.=(x1,y1,z1)0,I=(應,乃*2)。，則a+K=(%i+x2,yr+y2,

D.己知OA=(1,0,0)pOB=(0,1,0)pOC=(0,0,1)p則三棱錐0-ABC的表面積S=&

11.如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABC。-4181cl2，其中，以頂點A為端點的三條棱的

長度都相等，且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是()

B.ACl-（AB-AD）=O

C.向量瓦與甌的夾角是60°

D.BD］與AC所成角的余弦值為彳

22.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E是DDX的中點，則（）

A.直線8傳〃平面4BD

B.BrC±BD1

C.三棱錐G-BiCE的體積為|

D.異面直線BiC與BD所成角的大小為60°

13.已知空間中三點A(-2,0,2),6(-1,1,2),C(一3,0,4),設a=AB,b=AC.若kd+b與ka—

2b互相垂直，則實數(shù)k=

14.如圖所示，P,Q分別是四面體04BC的棱。4,BC的中點，M是PQ靠近P的三等分點,

且OM=xOA+yOB+zOC,則x+y+z=_.

o

15.如圖所示，在直平行六面體ABCD-中，BD1DC,BD=DC=1,點E在AAt上,

且AE=\AA1=^,則點B到平面EDC］的距離為___.

16.如圖，在三棱柱ABC-中，AB,AC,AAr兩兩互相垂直，AA^=2AB=2AC,M,N

是線段BBi，CCi上的點，平面AMN與平面ABC所成（銳）二面角為三，當最小時，

Z.AMB=

17.已知向量d=(1,—3,2),b=(-2,1,1),點力(-3,-1,4),8(-2,-2,2).

(1)求\2a+b\；

(2)在直線AB上，是否存在一點E,使得OE1b?(0為原點)

18.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD1底面ABC。，PAAB=

2,BC=?4BD—E在PC上.

(1)求證：平面PDA_L平面PDB；

(2)當E是PC的中點時，求異面直線AP與BE所成角的余弦值.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AD=PA=PB=2>/2,PA1PB,

平面PAB1平面4BCD.

(1)證明：平面P4D_L平面P8C；

(2)若M為PC中點，求平面AMD與平面BMD的夾角的余弦值.

20.在圖1中，2ABe和ZMCD都是直角三角形，AB=BC=?^CAD=30°,^ACD=

90°.將hABC沿AC折起，使得AB1BD,如圖2.

圖2

(1)證明：平面ABCJ.平面4CD；

(2)若E,F分別為AD,CD的中點，求二面角B-EF-A的大小.

21.在四棱錐P-ABCD中，平面ABCDJ■平面PCD,底面ABCD為直角梯形，AB//CD,AD1DC,

且4B=1,AD=DC=DP=2,Z.PDC=120°.

C

A

(1)求證：？W_L平面PC。；

(2)線段BC上(不含端點)是否存在點F,使得平面PDF_L平面P4C?如果存在，求裝的

DC

值；如果不存在，說明理由.

22.如圖甲所示，B0是梯形ABCD的高，/.BAD=45°,OB=BC=1,OD=30A,將梯形ABCD

沿OB折起得到如圖乙所示的四棱錐P-OBCD,使得PC=V3.

圖甲圖乙

(1)在棱PD上是否存在一點F,使得CF〃平面POB?若存在，請求出PF的值；若不存在,

請說明理由；

⑵點E是線段AB上一動點,當直線CE與DP所成的角最小時，求平面EBC與平面

ECD的夾角的余弦值.

答案

1.【答案】B

【解析】因為a=(1,2,2),b=(-2,1,1).

所以ab=lx(-2)+2x14-2x1=2,

所以向量b在向量a上的投影為獸=2=j

|a|V22+22+l23

所以向量b在向量a上的投影向量為弓穩(wěn)=3畢=(黑，*

3|a|33\999/

故選B.

【知識點】空間向量的數(shù)量積運算

2.【答案】D

OG=0M+MG

=~0M+-MN

4

=OM+^(MO+OC+CN)

【解析】=；而+3沆+：而

=-0M+-0C+-X-CB

4442

=-0M+-0C+-(OB-0C)

=-OA+-OB+-0C.

888

故選D.

【知識點】空間向量基本定理

3.【答案】B

【解析】對于A,庭=(2,0,—2),n-PoP=lx2+lxO+lx(-2)=0,故選項A中的點在平

面a內(nèi)；

對于B,PQP=(—3,3,1),n-P^P=lx(-3)+1x3+1x1=1*0,故選項B中的點不在平面

a內(nèi)；

對于C,即=(—4,2,2),n-P^P=lx(-4)+1x24-1x2=0,故選項C中的點在平面a內(nèi)；

對于D,可=(1,一6,5),n-Po^=lxl+lx(-6)+1x5=0,故選項D中的點在平面a內(nèi).

［知識點】利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

4.【答案】A

【解析】以C為原點，CA所在直線為x軸，在平面ABC中過C且與AC垂直的直線為y

軸，CG所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則Bg,y,0),前(0,0,或)，則酩=(—；,一苧，旬,

易知平面4CG4的一個法向量為n=(0,1,0),

設BC、與側(cè)面ACC^所成角的大小為0,

則sin?=萼*=*='

所以e=30°,

所以BC1與側(cè)面4CC14所成角的大小為30。,

故選A.

【知識點】線面角、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

5.【答案】C

【解析】以D為坐標原點，DC,DA,DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標系，如圖，

可設P(0,y,z),0<y<1,0<z<l,易知4(0,1,0),(1,0,1).D(0,0,0).

AP=(0,y-l,z),西=(1,0,1),DA=(0,1,0),DP=(0,y,z),

設直線AP與平面AA^B所成角為9,異面直線AP與DCi所成角為a,

易知平面AA.B.B的一個法向量為成DA=(0,1,0),

所以sin9=|cos(AP,DA)|=//了、,，

Vz2+(y-i)2

由sinO=cosa,cosa=|cos(4P,DC；)|=_..Z=,

V2-y/z2+z(y-l)2

可得z=V2(l—y),0<y<1,

則|DP1=y/y24-z2=yjy24-2(1-y)2=|(y-§+1,

當y=|時，線段DP長度最小，為y.

【知識點】線面角、異面直線所成的角、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

6.【答案】A

【解析】由題圖知，AB與上底面垂直，因此AB1BPi(i=1,2,-,8),AB-APi=

|希||亞|COSNB4R=\AB\'\AB\=l(i=1,2,-,8).

【知識點】平面向量的數(shù)量積與垂直

7.【答案】B

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，

設AB=1,則M(O,y,l),0<y<l,

易知萬=(1金,0),麗96(0,既,

所以

cos。=|cos(AF,EM)|

_I/兩I

一\AF\-\EM\

E+切

.2(i-?■y■)■...

2,

\[5-yj4y+5

r2(l-y)12=]8y+l,

lV4y2+5J4y2+5’

令8y+l=t,1WtW9,則筆=—'?；，當且僅當t=l時取等號,

4yz+5t+y-25

所以2(—y)_

加以府育一三1”2+5S-Vs'

所以COS0=X4=P當且僅當y=0時取最大值，

丁?，4y2+5x/5V55/

故選B.

【知識點】異面直線所成的角、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

8.【答案】A

【解析】以D為原點，DA,DC,DD.所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系

D—xyz.

則G(2",2),Di(0,0,2),E(2,0,l),尸(2,2,1),

所以D^E=(2,0,-1).*=(22-1),GE=(0,-A,-l),

設平面DiEF的法向量為n=(x,y,z),則一n

(乙人?4y/u,

令％=1,則y=0,z=2,所以平面DiEF的一個法向量為元=(1,0,2).

所以點G到平面DiEF的距離為|需|=|詈|=等

【知識點】點面距離(線面距離、點線距離、面面距離)、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

9.【答案】A：C

【解析】因為AP-AB=0,所以AP1AB,故A正確；

BP=AP-AB=(3,-3,-3),7??喬=3+6-3=6彳0,故B不正確；

BC=AC-AB=(6,1-4),[BC\=^62+I2+(-4)2=V53,故C正確；

AP=(1,-2,1),BC=(6,1,—4),1:(—2):16:1:(—4),故D不正確.

【知識點】空間向量的數(shù)量積運算

10.【答案】B；C

【解析】由定義可得

a-b=(1,3,-2)0-(4,0,2)0

=(i+3j-2fc)(4i+2fc)

=4+12t-fc-4

=12cos仇

因為0<e<n,且。力]所以a-b^O,故A錯誤；

如圖所示，

設布=族，OA=a,則點A在平面xOy上，點B在z軸上，由圖易知當x=y時，乙AOB

取得最小值，即向量&與5的夾角取得最小值，故B正確；

根據(jù)"仿射"坐標的定義可得

a+b=(x1(y1(Zi)0+(x2,y2,z2)0

=-+yj+Z㈤+(x2l+yj+Z2初

=(X1+X2)i+(71+y2)j+(Z1+z2)fc

=(%1+x2,yi+y2>zi+Z2)仇

故c正確；

由己知可得三棱錐O-ABC為正四面體，棱長為1,其表面積S=4xlxl2x^=V3,故D

錯誤.故選BC.

【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標運算

11.【答案】A：B

【解析】設以頂點A為端點的三條棱的長度為1,

因為它們彼此的夾角是60°,

所以AA^-AB=AA^-AD=AD-AB=lxlxcos600=

/>>>、2..>2>->?>>>>>>

22

(A4+AB+AD)=A&+AB+AD+2AA1-AB+2AB-AD+2AAi?AD

=l+l+l+3x2xi

2

=6.

2AC2=2(AB+AD)2

=2(AB2+AD2+2AB-AD)

=2^1+l+2x—

=2x3

=6,

所以A正確.

AC^-(AB-AD)=(麗+AB+ADy(AB-AD)

=AA^-AB-AA^-AD+AB2-AB-AD+AD-AB-AD2

=o,

所以B正確.

瓦？=砧，顯然為等邊三角形，則4441。=60°,

所以向量砧與京的夾角是120。，即向量瓦差與根的夾角是120°,所以C不正確.

因為西=而+再一荏，AC=AB+AD,

所以

忸。1|=^AD+AA1-AB)

=JAD2+踞2+荏2+2AD■詞-2標?AB-2AD-AB

=V2,

\AC\=J(AB+AD)=AB2+AD2-21B-AD=V3,

西.正=(而+京-確.(而+而)=1,

所以cos(西，硝=薪禽=熹=今所以D不正確?

故選AB.

【知識點】空間向量的模、夾角與距離求解問題

12.【答案】A：B；D

【解析】如圖，建立空間直角坐標系，

4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),2(0,0,1),Bj(1,0,1).^(1,1,1),。式0,1,1),E(0,1,0,

則B^C=(0,1,-1),BD1=(-1,1,1)-BD=(-1,1,0),'BA[=(-1,0,1)，

設平面AXBD的法向量為記=(x,y,z),

則1元.西=0，即廣久+z=0,

-3前=。，即iT+y=°，

令x=l,貝！|y=l,z=1,所以五=(1,1,1),

則n-^C=0xl+lxl+lx(-1)=0,即S1瓦？，又直線&CC平面&B0,所以直線

BiC〃平面&BD,故A正確.

B^C-BD\=-lxO+lxl+lx(-1)=0,即布_L西，所以BXC1BDX,故B正確.

KTI-BJCE=^BJ-CJCE=gBiJ?SAQCE=-XlX-XlXl=-,故C錯誤.

BTCBD=-1X0+1X1+0X(-1)=1,||=V2,|BD|=V2,

設異面直線B[C與BD所成角的大小為e,其中則cose=黑黑=；,又。e

\ZJ\o^C\\DD\Z

(0用，所以0=或故D正確.

故選ABD.

【知識點】利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

13.【答案】—|或2

【解析】因為a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),

所以ka+b=(fc-l,fc,2),ka-2b=(fc+2,/c,-4),

又(fca+b)1(fca-2b),

所以(k—1)(卜+2)+卜2-8=0,解得k=-|或k=2.

【知識點】空間向量的數(shù)量積運算

14.【答案】|

【解析】因為P,Q分別是四面體04BC的棱。4BC的中點，M是PQ靠近P的三等分點,

所以

OM=OP+PM

=河+^(PA+AB+BQ)

=^OA+^OA+OB-OA+

=^OA+^OA+OB-OA+^(OC-OB)]

=1OA+1OB+1OC.

所以x+y+z=|+i+|=|.

【知識點】空間向量基本定理

15.【答案】苧

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,

則0(0,0,0),4(1,一1,0),8(1,0,0),

C(0,l,0),Ci(0,1,2),F(l,-l,i).

所以的=(0,1,2),DE=(l,-l，I)1=(1,0,0).

設平面EDCi的法向量為n=(x,y,z),

元=%-y+；z=0,

則

?n=y+2z=0,

令z=1,則％=—I，y=-2,

所以n=(-|,-2,l).

所以點8到平面EDC1的距離八嚅=1=4

X

【知識點】點面距離(線面距離、點線距離、面面距離)、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

16.【答案】2

6

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，

可設BM=a,CN=b,AB=1,則AAr=2AB=2,AC=1,

所以4(0,0,0),B(1,0,0),M(l,0,a),N(0,l,b),

則AM=(1,0,a),AN=(0,1,fe).

設平面AMN的法向量為沅=(久,y,z),

則僚累：則上沈眸z=1，解得MN

所以in=(-a,-b,1),

易知平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1).

因為平面AMN與平面ABC所成(銳)二面角為p

71

所由以853=而I沆?宿而=而1許,

化簡可得a2+b2=3,

當BrM最小，即a最大時，b=0,a=V3,

此時tan乙4MB=需=喜=圣又Z.AMBe[o,*

【知識點】二面角、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題

17.【答案】

(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

故\2a+b\=V°2+(-5)2+52=5V2.

(2)存在.設

OE=OA+AE

=0A+tAB

=(-3,—1,4)+t(l,—1,—2)

=(—3+—1—t,4—2t),

若岳JL六則屈i=0,

所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,

解得t=I，

因此存在點E,使得OElb,此時點E的坐標為

【知識點】空間向量的坐標運算

18.【答案】

(1)因為底面ABCD是平行四邊形，

所以AD=BC=1,

又BD=小,AB=2,

所以AD2+BD2=AB2,

所以AD1BD,

因為PDJ.平面ABCD,BDu平面48CD,

所以PD±BD,

又PDu平面PDA,4Du平面PZM,PDCAD=D,

所以BD1平面PD4,

又BDu平面PD8,

所以平面PDA1平面PD8.

(2)以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D(0,0,0),4(1,0,0),5(0,V3,0),C(-l,V3,0),P(0,0,甸.

因為E是PC的中點，

所以己(-消汽)，

則=(-1AV3),=

設直線AP與BE所成的角為a,

則cosa=|cos(衲碉|=翳翻=緣

【知識點】平面與平面垂直關系的判定、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題、異面直線所成的

角

19.【答案】

(1)因為平面PA8JL平面4BCD,平面248C平面4BCD=4B,且矩形ABCD中，AD1.AB,

所以AD1平面尸4B.

又PBu平面R4B,

所以AD1PB,

又PA1PB,ADQPA^A,4。u平面PAD,PAu平面尸4。，

所以PBJL平面PAD.

又PBu平面PBC,

所以平面24。1平面PBC.

(2)由(1)知AD1平面PAB,取AB中點。，連接P0,則POLAB.

以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

則P(2,0,0),>1(0,-2,0),8(0,2,0),。(0,-2,2?,M(1,1,V2),

則DA=(0,0,-2V2),DM=(1,3,-V2),DB=(0,4,-272).

設平面AMD的法向量為n=(x,y,z),

則E更=。，即

(n-DM=0,U+3y-V2z=0,

令y=-1,則x=3,z=0,

所以n=(3,-l,0),

同理可得，平面BMD的一個法向量為m=(-1,1,72),

所以cos(范力=繇=急=一手,

所以平面AMD與平面BMD的夾角的余弦值為等.

【知識點】利用向量的坐標運算解決立體幾何問題、二面角、平面與平面垂直關系的判定

20.【答案】

(1)因為4B1B0,4B_LBC且=

所以4B1平面BCD,

又CDu平面BCD,

所以AB1CD,

又CD1AC且=

所以CD1平面4BC,

又CDu平面4CD,

所以平面ABCJ.平面4CD.

(2)取AC的中點0,連接0B,則BO1.AC.

又平面4BC平面4CD,平面48CC平面4CD=4C,80u平面4BC,

所以BO1平面4CD,

連接0E,貝ljOE//CD,

所以OELAC.

以。為坐標原點，OE,OC,0B的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標系，

則0(000),B(0,0,g)，E(l,0,0),F(l,V3,0),

所以抽=(0,0,⑸，BE=(1,0,-V3),EF=(0,V3,0),

顯然OB是平面AEF的一個法向量.

設平面BEF的法向量為n=(x,y,z),

則[五￥=。，

[n-EF=0,

即-V3z=0,

易知y=o.令z=1,可得X=V3,

所以記=(V3,0,1),

所以cos體㈤=繇=￡/

所以二面角B-EF-A的大小為60°.

【知識點】平面與平面垂直關系的判定、利用向量的坐標運算解決立體幾何問題、二面角

21.【答案】

(1)因為平面ABC。1平面PCO,平面ABC。n平面PC。=CD,AD1DC,ADu平面力8C。,

所以AD1平面PCD.

(2)以D為原點，DA,DC所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,-l,V3),C(0,2,0),4(2,0,0),5(2,1,0),

PF=(2,2,-V3),BC=(-2,1,0),

PA=(2,1,-V3),PC=(0,3,-V3),PD=(0,1,-V3).

設更=九則而*=ABC,1e(0,1),

而=而+前=而+ABC=(2-22,2+A,-V3),

設平面PAC的法向量為沅=

令Zi=V3,則yi=1,=1,

所以m=(l,l,V3),

設平面PDF的法向量為元=(%2，y2，Z2)，

則gg?元=0,即(y2-