黑龍江省牡丹江市重點中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

牡丹江市重點中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8個小題每小題5分共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求的）1．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．2．已知純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．03．m，n為不重合的直線，，，為互不相同的平面，下列說法錯誤的是（）A．若，則經(jīng)過m，n的平面存在且唯一B．若，，，則若，，，則D．若，，，，則4．回旋鏢（Boomerang）曾是澳大利亞土著人的傳統(tǒng)狩獵工具，今在澳大利亞回旋鏢是相當受歡迎的運動項目．四葉回旋鏢可看作是由如圖所示的四個相同的直角梯形圍成，其中，若點滿足，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．5．已知，，則（）A．0和 B． C． D．和06．已知，，9是與的等比中項，則的最小值為（）A． B． C．7 D．7．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．8．如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，過點，E，F(xiàn)的平面記為，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①點到平面的距離與點到平面的距離之比為②平面截直四棱柱所得截面的面積為③平面將直四棱柱分割成上、下兩部分的體積之比為47：25④平面截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形A．0 B．1 C．2 D．3二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點，下列四個推斷中正確的是（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面平面10．已知，，若與共線，則下列說法錯誤的是（）A．將的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象；B．函數(shù)的最小正周期為；C．直線是的一條對稱軸D．函數(shù)在上單調(diào)遞減11．設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，．則下列說法正確的是（）A． B．當時，的取值范圍為C．為奇函數(shù) D．方程僅有3個不同實數(shù)解12．已知為所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13．已知，為單位向量，，則______．14．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是______．15．如圖截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體．如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體．則該截角四面體的表面積是______．16．對任意的，不等式（其中是自然對數(shù)的底）恒成立，則的最大值為______．四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17（10分）已知a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對邊，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①；②；③18．（12分）如圖，長方體的底面是邊長為4的正方形，高為2，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，，的中點．（1）求三棱錐C—EFG的體積；（2）求證：平面平面．19．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，且，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求，20．（12分）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是AB，，AD的中點．（1）證明：平面；（2）棱CD上是否存在點T，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6：5驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．（1）撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。?2．（12分）已知，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若有兩個不同的極值點，．（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）．

牡丹江市重點中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)答案題號123456789101112答案CBDCBBBDACACDBCABC13．14．15．16．17．解：由①②③：由正弦定理及可得，即，即，由于，所以即，而，所以，由，可得，所以．由①③②：由正弦定理及可得，即，即，由于，所以即，而，所以，由可得，則，所以．由②③①：由可得，由可得，即，所以，又，，所以，即，所以，所以，即．18．解：（1）由于四棱柱為長方體，所以平面ABCD，∵∴．（2）連接BD，，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD中點，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，又平面，平面，∴平面；同理可得：平面，又，，平面，∴平面平面．19．解：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴①，又∵，，成等比數(shù)列，∴，得②，由①②得，，∴，；（2），∴，又，∴．20．解：（1）連接，，．因為E，G分別是，的中點，所以．由于是正方體，所以，且所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）假設(shè)在棱上取點，使得平面，延長，交于，連交于．因為，F(xiàn)為中點，所以為中點．因為，所以，且．若平面，平面，平面平面，則，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于為的四等分點，所以也為四等分點．故，即時平面．21．（1）解：依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，將在前三次撲出點球的個數(shù)可能的取值為0，1，2，3，，，，的分布列為：0123期望另解：依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)可能的取值為0，1，2，3，易知，，．的分布列為：0123期望（2）解：①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列．②由①可知，，，故22．（1）當時，，則，故當時，，當時，故的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）（i）因為，令，問題可轉(zhuǎn)化函數(shù)有個不同的零點、，又，令，故函數(shù)在上遞