東北三省四市教研聯(lián)合體2024屆高考模擬（一）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1東北三省四市教研聯(lián)合體2024屆高考模擬（一）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D.2.下列各組向量中，可以作為基底是（）．A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榕c不共線，其余選項(xiàng)中、均共線，所以B選項(xiàng)中的兩向量可以作為基底．故選：B.3.已知復(fù)數(shù)滿足，，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，且，由已知得，，得，又，故，，同時平方得，，相加并化簡得，而，.故選：D.4.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全,根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則即.由于在定義域上單調(diào)遞減，.他至少經(jīng)過4小時才能駕駛.故選：D.5.已知函數(shù)，正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.6 B.8 C.12 D.24〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，有，由〖解析〗式可以看出函數(shù)為減函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：C6.為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學(xué)生開展有關(guān)亞冬會知識的競賽活動．已知該班男生35人，女生25人．根據(jù)統(tǒng)計分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為，該班成績的方差為，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該班男生組成績和女生組成績的平均分分別為，，兩個班的總的平均分為，則，故選：D.7.甲、乙、丙三人從事三項(xiàng)工作，乙的年齡比從事工作人的年齡大，丙的年齡與從事工作人的年齡不同，從事工作人的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙的職業(yè)分別是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得丙的年齡與從事工作人的年齡不同，故從事工作的人不是丙，又從事工作人的年齡比甲的年齡小，故從事工作的人不是甲，則推出從事工作的人一定是乙，又從事工作人的年齡比甲的年齡小，故乙的年齡小于甲的年齡，而乙的年齡比從事工作人的年齡大，故從事工作的人是丙，可反推出從事工作的人是甲，顯然甲、乙、丙的職業(yè)分別是.故選：A.8.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯誤，對于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.故選：C.二、多選題9.已知部分圖象如圖所示，則（）A.B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間的值域?yàn)镈.在區(qū)間有3個極值點(diǎn)〖答案〗AD〖解析〗由圖像得，，解得，故，故此時有，將代入函數(shù)〖解析〗式，得，故，解得，而，故，此時，顯然成立，故A正確，易知，，而，，又，故在區(qū)間上并非單調(diào)遞減，故B錯誤，易知，，故在區(qū)間的值域不可能為，故C錯誤，當(dāng)時，，，當(dāng)時，取得極值，可得在區(qū)間有3個極值點(diǎn)，故D正確.故選：AD.10.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是（）A.0<q<1 B.a7a9<1C.Tn的最大值為T7 D.Sn的最大值為S7〖答案〗ABC〖解析〗∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，0<a8<1，∴0<q<1，故A正確；，故B正確；因?yàn)閍7>1，0<a8<1，所以T7是Tn中的最大項(xiàng)，故C正確；因?yàn)閍1>1，0<q<1，所以Sn無最大值，故D錯誤.故選：ABC.11.一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為的扇形，則下列論斷正確的是（）A.圓錐的母線與底面所成角的正弦值為B.圓錐內(nèi)部有一個圓柱，并使圓柱的一個底面落在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)圓柱的體積最大時，圓柱的高為C.圓錐內(nèi)部有一個球，當(dāng)球的半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為D.圓錐內(nèi)部有一個正方體，并使底面落在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長最大時，正方體的表面上與點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合形成一條曲線，則這條曲線長度為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則，即，又由題意得，解得，故，，設(shè)圓錐的母線與底面所成角為，故，故A正確，對于B，設(shè)圓柱的底面半徑為，且，高為，當(dāng)圓柱的體積最大時，圓錐和圓柱一定相接，如圖，由相似性質(zhì)易知，解得，設(shè)圓柱體積為，則圓柱體積為，則，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有最大值，但此時圓柱高為，故B錯誤，對于C，當(dāng)球的半徑最大時，該球一定與圓錐內(nèi)切，截面如圖，設(shè)球的半徑為，且易知，則，得，解得，此時設(shè)球的內(nèi)接正四面體的棱長為，如圖所示，則正四面體中，，可得，在直角三角形中，由勾股定理得，解得，故球的內(nèi)接正四面體的棱長為，C正確，對于D，當(dāng)正方體棱長最大時，正方體內(nèi)接于圓錐，軸截面如圖，設(shè)正方體棱長為，則，，由，得，即，解得，易知球與正方體的交線是六條圓弧，如圖所示，易知，則，，則六條圓弧總長為，則正方體的表面上與點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合形成的曲線長度為，故D正確.故選：ACD三、填空題12.的展開式中的系數(shù)為_____________．〖答案〗5〖解析〗，其中的展開式通項(xiàng)為，，故時，得含的項(xiàng)為；的展開式通項(xiàng)為，，故時，得含的項(xiàng)為.因此，式子的展開式中，含的項(xiàng)為，即系數(shù)為5.故〖答案〗為：5.13.直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則中點(diǎn)到軸距離的最小值是______．〖答案〗2〖解析〗如圖，由拋物線得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過分別作的垂線，交于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)時取等，顯然是梯形的中位線，又由中位線定理知，則，故到軸距離的最小值為.故〖答案〗為：214.有序?qū)崝?shù)組稱為維向量，為該向量范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個數(shù)為，則______；______．（用含的式子表示）〖答案〗40〖解析〗根據(jù)乘法原理和加法原理得到．奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則的個數(shù)為奇數(shù)，即1的個數(shù)為1，3，5，…，，根據(jù)乘法原理和加法原理得到，兩式相減得到.故〖答案〗為：2；.四、解答題15.在中，角所對的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，且.（1）求角的大?。唬?）若，求的面積.解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，故?（2）由題意可知，即，化簡可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若對任意，有恒成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，則，，，所以切線方程為．（2）當(dāng)時，，．令，，故在R上單調(diào)遞減，而，因此0是在R上的唯一零點(diǎn)即：0是在R上的唯一零點(diǎn)當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：x00極大值的單調(diào)遞增區(qū)間為：；遞減區(qū)間為：，的極大值為，無極小值.（3）由題意知，即，即，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，所以17.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)．當(dāng)與軸垂直時，面積為12．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)與軸不垂直時，作線段的中垂線，交軸于點(diǎn)．試判斷是否為定值．若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）雙曲線可化為，連接，而解得故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2），設(shè)直線的方程為，M為AB的中點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線C與直線l，消去可得：因此進(jìn)而可得即AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，線段的中垂線為，則，即，可得為定值1，即是定值，且該值為1.18.正四棱臺的下底面邊長為，，為中點(diǎn)，已知點(diǎn)滿足，其中．（1）求證；（2）已知平面與平面所成角的余弦值為，當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O為原點(diǎn)，以O(shè)M方向?yàn)閥軸，過O點(diǎn)平行于AD向前方向?yàn)閤軸，以過點(diǎn)O垂直平面ABCD向上方向?yàn)閦軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱臺的高度為h，則有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：設(shè)平面ABCD的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則有，即，令，則．又題意可得，可得．因?yàn)?，?jīng)過計算可得，，．將代入，可得平面的法向量．設(shè)直線DP與平面所成角的為θ．19.入冬以來，東北成為全國旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的“頂流”．南方的小土豆們紛紛北上體驗(yàn)東北最美的冬天，這個冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入．東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是該洗浴中心在App平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：，，．（1）因?yàn)閮?yōu)惠券購買火爆，App平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐可以用一張優(yōu)惠券，套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；（3）記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，