湖南省岳陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共12小題，60分.）1.已知且，若集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，，且，當(dāng)時，作出函數(shù)與的大致圖象，則，即，所以，即；當(dāng)時，設(shè)，若，，則恒成立，，滿足，于是當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即不等式對成立，，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，于是得，即，變形得，解得，從而得當(dāng)時，恒成立，，滿足；綜上，實數(shù)a的取值范圍是或.故選：B.2.已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數(shù)最多為（）A.11 B.10 C.9 D.8〖答案〗B〖解析〗對于條件①，②，必有，若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個元素，又，，則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個數(shù)最多不能超過10個，故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個元素，例如.故選：B.3.用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗因，，所以或，由，得，關(guān)于x的方程，當(dāng)時，即時，易知，符合題意；當(dāng)時，即或時，易知0，-a不是方程的根，故，不符合題意；當(dāng)時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意，所以，故.故選：B.4.若1∈{x，x2}，則x=（）A.1 B. C.0或1 D.0或1或〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，若1∈{x，x2}，則必有x=1或x2=1，進而分類討論：①、當(dāng)x=1時，x2=1，不符合集合中元素的互異性，舍去，②、當(dāng)x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），當(dāng)x=-1時，x2=1，符合題意，綜合可得，x=-1.故選：B．5.已知集合.對于，，定義A與B之間的距離為.若集合M滿足：，且任意兩元素間的距離均為2，則集合M中元素個數(shù)的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.8〖答案〗A〖解析〗由題中條件可得：R3中含有8個元素，可將其看成正方體的8個頂點，已知集合M中的元素所對應(yīng)的點應(yīng)該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點，所以或，故集合M中元素個數(shù)最大值為4.故選：6.若X是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）；（2）對于X的任意子集，當(dāng)且時，有；（3）對于X的任意子集.當(dāng)且時，有，則稱M是集合X的一個“M——集合類”.例如：M＝{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合的一個“M——集合類”.已知，則所有含的“M——集合類”的個數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗D〖解析〗依題意知，中至少含有這幾個元素：，{b，c}，{a，b，c}，將它看成一個整體；剩余的{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}；①{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加0個的集合為{，{b，c}，{a，b，c}}，1種，②{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加1個的集合為{，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，{、，{b，c}，{a，b，c}}，{、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共3種，③{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加2個的集合共3種，即、{c}；{c}、{a，c}；、{a，b}3種添加方式，④{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加3個的集合共4種，即{a}、、{a，b}；{a}、{c}、{a，c}；、{c}、{a，b}；、{c}、{a，c}，4種添加方式，⑤{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加4個的集合共0種，⑥{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}添加5個的集合共1種，綜上含的“M——集合類”的個數(shù)為12種.故選：D.7.設(shè)所示有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相同的集合有（）A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③〖答案〗D〖解析〗對于①：集合，則，解得，即，是一一對于，所以與集合相同，對于②：集合，則，也是一一對應(yīng)，所以與集合相同，對于③：集合，，一一對應(yīng)，所以與集合相同，對于④：，但方程無解，則，與不相同．故選：D.8.設(shè)集合，，下列說法正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于集合，因為與互為反函數(shù)，所以，互相關(guān)于對稱，而，所以，只需要即可，因為，所以，，得，設(shè)，得，所以，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減，所以，，得到，所以，；對于集合，化簡得，設(shè)，，因為，可設(shè)，，單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)時，，，，單調(diào)遞減，利用洛必達法則，時，，所以，，所以，；由于，，所以，D正確.故選：D.9.已知集合，，則滿足的集合的個數(shù)為（）A.4 B.8 C.7 D.16〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，，又，所以，只需討論元素是否為集合的元素研究集合的個數(shù)，即可得結(jié)果，所以集合的個數(shù)為.故選：B.10.集合，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗已知，則，因為，所以當(dāng)恒成立，即恒成立，即.這一函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以.故選：B.11.設(shè)集合中至少兩個元素，且滿足：①對任意，若，則，②對任意，若，則，下列說法正確的是（）A.若有2個元素，則有3個元素B.若有2個元素，則有4個元素C.存在3個元素集合，滿足有5個元素D.存在3個元素的集合，滿足有4個元素〖答案〗A〖解析〗若有2個元素，不妨設(shè)，以為中至少有兩個元素，不妨設(shè)，由②知，因此集合中的兩個元素必為相反數(shù)，故可設(shè)，由①得，由于集合中至少兩個元素，故至少還有另外一個元素，當(dāng)集合有個元素時，由②得：，則或，當(dāng)集合有多于個元素時，不妨設(shè)，其中，由于，所以，若，則，但此時，即集合中至少有這三個元素，若，則集合中至少有這三個元素，這都與集合中只有2個運算矛盾，綜上，，故A正確；當(dāng)集合有個元素，不妨設(shè)，其中，則，所以，集合中至少兩個不同正數(shù)，兩個不同負(fù)數(shù)，即集合中至少個元素，與矛盾，排除C，D.故選：A.12.如果集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，令，則，所以，由于，故.故選：A.二、填空題（共3小題，20分.）13.設(shè)集合，滿足下列性質(zhì)的集合稱為“翔集合”：集合至少含有兩個元素，且集合內(nèi)任意兩個元素之差的絕對值大于2.則A的子集中有___________個“翔集合”.〖答案〗49〖解析〗設(shè)集合中滿足題設(shè)性質(zhì)的子集個數(shù)為，則，當(dāng)時，可將滿足題設(shè)性質(zhì)的子集分為如下兩類：一類是含有n的子集，去掉n后剩下小于的單元子集或者是滿足題設(shè)性質(zhì)的子集，前者有個，后者有個；另一類是不含有n的子集，此時恰好是滿足題設(shè)性質(zhì)的子集，有個，于是，.又，所以.故〖答案〗為：49.14.已知集合，，存在正數(shù)，使得對任意，都有，則的值是____________〖答案〗1或〖解析〗，則只需考慮下列三種情況：①當(dāng)時，，，又，，且，可得：，；②當(dāng)即時，與①構(gòu)造方程相同，即，不合題意，舍去；③當(dāng)即時，可得：且，，綜上所述：或.故〖答案〗為：1或.15.設(shè)集合A是由1，k2為元素構(gòu)成的集合，則實數(shù)k的取值范圍是________．〖答案〗k≠±1〖解析〗∵1∈A，k2∈A，結(jié)合集合中元素的互異性可知k2≠1，解得k≠±1.故〖答案〗為：k≠±1.三、解答題（共6小題，70分.）16.集合A中的元素個數(shù)記為，若且，則稱M為集合A的二元子集．已知集合．若對集合A的任意m個不同的二元子集，均存在集合B同時滿足：①；②；③，則稱集合A具有性質(zhì)．（1）當(dāng)時，若集合A具有性質(zhì)，請直接寫出集合A的所有二元子集以及m的一個取值；（2）當(dāng)時，判斷集合A是否具有性質(zhì)？并說明理由；（3）若集合A具有性質(zhì)，求n的最小值．解：（1）當(dāng)時，，則集合A的所有二元子集為，滿足題意得集合可以是：，此時，或者也可以是，此時.（2）集合A不具有性質(zhì)，理由如下：假設(shè)存在集合，即對任意的，，，則取，此時由于，由抽屜原理可知，必有，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，所以集合A不具有性質(zhì).（3）首先證明，反證法：假設(shè)，由集合具有性質(zhì)，則存在集合，對于任意，，，則任取，，此時由于，由抽屜原理可知，必有，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，因此，然后證明：，當(dāng)時，，由抽屜原理可知，存在，不妨設(shè)為，取，設(shè)，此時，且，故符合題意，綜上所述，.17.已知是非空數(shù)集，如果對任意，都有，則稱是封閉集.（1）判斷集合是否為封閉集，并說明理由；（2）判斷以下兩個命題的真假，并說明理由；命題：若非空集合是封閉集，則也是封閉集；命題：若非空集合是封閉集，且，則也是封閉集；（3）若非空集合是封閉集合，且為全體實數(shù)集，求證：不是封閉集.解：（1）對于集合因為，所以是封閉集；對于集合，因為，所以集合不是封閉集.（2）對命題：令，則集合是封閉集，但不是封閉集，故錯誤；對于命題：設(shè)，則有，又因為集合是封閉集，所以，同理可得，所以，所以是封閉集，故正確.（3）證明：因為非空集合是封閉集合，且所以，假設(shè)是封閉集，由(2)的命題可知：若非空集合是封閉集，且，則也是封閉集，又因為，所以不是封閉集，得證.18.已知n為不小于3的正整數(shù)，記對于中的兩個元素，，定義為，，…，中的最小值.（1）當(dāng)時，，，，求的值；（2）若，為中的兩個元素，且，求實數(shù)b的所有可能取值構(gòu)成的集合.（3）若，且對于任意的，均有，求L的最小值.解：（1），，，，=.（2）若，，，，或.，解得或，即實數(shù)b所有可能取值構(gòu)成的集合.（3）若，且對于任意的，均有，當(dāng)時，，所以，若存在，使得，則，矛盾，所以L的最小值.19.對非空數(shù)集定義與的和集．對任意有限集A，記為集合A中元素的個數(shù)．（1）若集合，，寫出集合與；（2）若集合滿足，且，求．解：（1）因為，，所以，.（2）因為，所以，所以集合中至少包含個元素，所以，又由題意，所以，又為整數(shù)，所以.20.設(shè)集合，集合，若，求集合.解：由于，所以，所以，則，則，所以.21.對正整數(shù)，記，.（1）用列舉法表示集合；（2）求集合中元素的個數(shù)；（3）若的子集中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱為“稀疏集”.證明：存在使得能分成兩個不相交的稀疏集的并集，且的最大值為14.解：（1）依題意，，則.（2）顯然每一個k值，m值可取1，2，3，4，5，6，7七個不同數(shù)，即可得7個的值，當(dāng)時，中m=1，m=2，m=3所對應(yīng)的3個元素為1，2，3，另四個元素為4，5，6，7，當(dāng)時，中m=2，m=4，m=6所對應(yīng)的3個元素1，2，3為重復(fù)元素，另四個元素為分?jǐn)?shù)，當(dāng)時，均為無理數(shù)，沒有相同數(shù)，因此，由計算可得個數(shù)，其中計算得到的數(shù)1，2，3各重復(fù)1次，則中元素的個數(shù)為，所以集合中元素的個數(shù)是46.(3)假設(shè)當(dāng)時，能分成兩個不相交的稀疏集的并，設(shè)，為不相交的稀疏集，使，不妨設(shè)，顯然