江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共6頁，包含選擇題（1~12）、填空題（第13題~第16題，共80分）、解答題（第17~22題，共70分）.本次考試時間120分鐘，滿分150分、考試結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、座位號、考試證號用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應(yīng)的位置，并將考試證號用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應(yīng)位置.3.答題時請用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答.在試卷或草稿紙上作答一律無效.4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請加黑加粗，描寫清楚.一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C.（0，1） D.〖答案〗B〖解析〗不等式的解集是集合又因為又，所以滿足函數(shù)中的范圍就是集合所以所以故選：B2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，故實部與虛部的和為，故選：D.3.命題“對任意，”為真命題的一個充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對任意，”為真命題，則對任意，”，當(dāng)，，，則命題“對任意，”為真命題的一個充分不必要條件可以是，故選：D．4.為了遠程性和安全性上與美國波音747競爭，歐洲空中客車公司設(shè)計并制造了，它是一種有四臺發(fā)動機的遠程雙過道寬體客機，取代只有兩臺發(fā)動機的，假設(shè)每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為，且各引擎是否有故障是獨立的，已知飛機至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；飛機需要2個引擎全部正常運行，飛機才能成功飛行.若要使飛機比飛機更安全，則飛機引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若飛機正常飛行，至少3個引擎正常運行，概率，若飛機正常飛行，2個引擎都正常運行，概率，由題意可知，，解得：，則，所以飛機引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是.故選：C5.為了解全市高三學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對某校高三學(xué)生進行了體能抽樣測試，得到學(xué)生的體育成績，其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀，則下列說法正確的是（）附：若，則，A.該校學(xué)生體育成績的方差為10B.該校學(xué)生體育成績的期望為85C.該校學(xué)生體育成績的及格率小于85%D.該校學(xué)生體育成績的優(yōu)秀率大于3%〖答案〗C〖解析〗因為，所以該校學(xué)生體育成績的期望為70，方差為100，所以A,B均不正確；因為60分及以上為及格，所以，C正確；因為90分及以上為優(yōu)秀，所以，D不正確.故選：C.6.“碳中和”是指通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心計劃派4名專家分別到，，三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（）A.72 B.36 C.48 D.18〖答案〗B〖解析〗由題意可知有2名專家去一個地方，其余2地方各分派一名專家，故共有種分派方法.故選：B.7.某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占，“一般的”被保險人占，“冒失的”被保險人占，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是（）A.0.155 B.0.175 C.0.016 D.0.096〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件表示“被保險人是‘謹慎的’”，事件表示“被保險人是‘一般的’”，事件表示“被保險人是‘冒失的’”，則，，.設(shè)事件表示“被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，則，，.由全概率公式，得.故選：B8.在三棱錐中，，，設(shè)側(cè)面與底面的夾角為，若三棱錐的體積為，則當(dāng)該三棱錐外接球表面積取最小值時，（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，所以，所以，所以，所以為的外接圓的直徑，設(shè)的中點為，則為的外接圓的圓心，因為，設(shè)到平面的距離為，則，所以，當(dāng)該三棱錐外接球表面積取最小值時，半徑最小，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，則平面，若點和點在平面的同側(cè)，如圖：則，即，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取等號，在中，，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取等號，若點和點在平面的異側(cè)，則，所以，若與重合時，，不合題意，綜上所述：的最小值為，且當(dāng)時，三點共線，此時平面，取的中點，連，，則，因為平面，平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，所以是側(cè)面與底面的夾角，即，因為，，所以.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列關(guān)于的展開式的命題中，正確的是（）A.當(dāng)時，的展開式共有項B.當(dāng)時，的展開式第項與第項的二項式系數(shù)之比為C.當(dāng)時，的展開式中，各項系數(shù)之和為D.若第項和第項的二項式系數(shù)同時最大，則〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，當(dāng)時，的展開式共有項，A錯；對于B選項，當(dāng)時，的展開式第項與第項的二項式系數(shù)之比，B對；對于C選項，當(dāng)時，，此時，的展開式中，各項系數(shù)之和為，C錯；對于D選項，若第項和第項的二項式系數(shù)同時最大，則函數(shù)的展開式中共項，即，故，D對.故選：BD.10.教育部《關(guān)于進一步加強中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中指出，“各地要加強對學(xué)生體質(zhì)健康重要性的宣傳，讓家長和中小學(xué)生科學(xué)認識體質(zhì)健康的影響因素”.提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，增強體質(zhì)健康管理的意識和能力.某學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率直方圖如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.樣本的眾數(shù)為67.5 B.樣本的80百分位數(shù)為72.5C.樣本的平均值為66 D.該校男生中低于的學(xué)生大約為300人〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由頻率分布直方圖可得樣本的眾數(shù)為，正確；對于B，由于，，故設(shè)樣本的80百分位數(shù)為x，則，正確；對于C，樣本的平均值為，錯誤；對于D，該校男生中低于的學(xué)生大約為（人），正確，故選：ABD11.甲、乙兩個均勻且完全一樣的四面體，每個面都是正三角形，甲四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，乙四個面上分別標(biāo)有數(shù)5，6，7，8，同時拋擲這兩個四面體一次，記事件為“兩個四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A：擲兩個正四面體，一共有種基本事件，事件發(fā)生，則兩個四面體朝下一面的數(shù)字為一奇一偶，有種，所以，因為擲一個四面體朝下一面為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以，，即，故A正確；對于B：，，，所以，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤；故選：ABC12.已知長方體的棱，，點滿足：，、、，下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)，時，到的距離為B.當(dāng)時，點的到平面的距離的最大值為1C.當(dāng)，時，直線與平面所成角正切值的最大值為D.當(dāng)，時，四棱錐外接球的表面積為〖答案〗CD〖解析〗A：，則，即，故在上運動，所以到的距離為，即棱與的距離，錯；B：，則，故在底面上運動，所以，當(dāng)在上時，的到平面的距離最大，而，面，面，則面，所以，由長方體結(jié)構(gòu)特征，最大值問題化為到的距離，，則，錯；C：，則，故在上運動，根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)易知：當(dāng)與重合時，直線與面所成角正切值的最大值為，對；D：，則，故為中點，如下圖，，，所以的底面為矩形，頂點在的投影為底面中心，即的交點，故外接球的球心一定在直線上，令球體半徑為R，所以，，且，可得，則外接球的表面積為，對.故選：CD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過程，請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.展開式中的常數(shù)項為_________．〖答案〗〖解析〗因，其通項公式，由題設(shè)，即，故.故〖答案〗為：.14.甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙兩人位于丙的同側(cè)，則共有______種不同的坐法.〖答案〗16〖解析〗先排甲乙，共有種方法，產(chǎn)生3個空位，要求甲、乙兩人位于丙的同側(cè)，故丙有2種選擇，三人排好后，產(chǎn)生4個空位，故丁有4種選擇，所以共有種不同的做法.故〖答案〗為：16.15.某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應(yīng)數(shù)據(jù)，如表所示.（殘差＝觀測值－預(yù)測值）34562.534根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.據(jù)此計算出在樣本處的殘差為，則表中的值為______.〖答案〗4.5〖解析〗由題意可得時的預(yù)測值為，則有，即，又，故，故〖答案〗為：4.516.已知正六棱柱的底面邊長為，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，由正六邊形的性質(zhì)可得，，設(shè)，其中，所以，，所以，所以的取值范圍.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.2021年12月17日，工信部發(fā)布的“十四五“促進中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立”百十萬千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專精特新”、“小巨人”、“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細化、特色化，新穎化優(yōu)勢的中小企業(yè).下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份(年)20172018201920202021年份代碼(x)12345新增企業(yè)數(shù)量：(y)817292442（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；（2）若在此地進行考察，考察企業(yè)中有4個為“專精特新”企業(yè)，3個為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個企業(yè)中隨機抽取3個，用X表示抽取的3個為“專精特新”全業(yè)個數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望．參考公式：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計公式分別為，解：（1）,，，，所以，，所以．2023年，即當(dāng)時，由線性回歸方程可得，所以估計2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量為54家．（2）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，因為，，，，所以X的分布列為X0123P所以．18.新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外的所有其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo)．某車企隨機調(diào)查了今年3月份購買本車企生產(chǎn)的汽車的100位車主，經(jīng)統(tǒng)計其購車種類與性別情況如下表：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，是否可以認為購車種類與性別有關(guān)；（2）用樣本估計總體，用本車企售出汽車樣本的頻率代替售出汽車的概率，從該車企今年3月份售出的汽車中，隨機抽取3輛汽車，設(shè)被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油汽車的輛數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）設(shè)零假設(shè)為：購車種類與性別無關(guān)，根據(jù)數(shù)表可得，所以零假設(shè)是錯的，即在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，可以認為購車種類與性別有關(guān).（2）隨機抽取1輛汽車屬于傳統(tǒng)燃油汽車的概率為，被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油汽車的輛數(shù)為X，X的可能值為：0，1，2，3，依題意，，，，，，所以X的分布列為：X0123PX的數(shù)學(xué)期望.19.如圖多面體中，四邊形是菱形，平面，.（1）證明：平面；（2）在棱上有一點（不包括端點），使得平面與平面夾角余弦值為，求點到平面的距離.解：（1）取的中點，連接，因為，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為是菱形，所以，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面平面，所以平面；（2）連接交于，取中點平面平面，且，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點使得平面與平面的夾角余弦值為，則設(shè)，所以設(shè)平面的一個法向量為，則即，令，得設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，得，.，解得或，，又，此時，點到平面的距離．20.如圖1，在矩形ABCD中，，E是CD的中點，將沿AE折起至的位置，使得平面平面ABCE，如圖2．（1）證明：平面平面PBE．（2）M為CE的中點，求直線BM與平面PAM所成角的正弦值．解：（1）在矩形ABCD中，，E是CD的中點，,,所以，所以，在折疊后的圖形中，也有，因為平面平面ABCE，平面平面ABCE，平面ABCE且，所以平面，因為平面，所以，因為，且，所以