山東省青島市2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.根據(jù)變量和的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸模型，求得殘差圖.對于以下四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差假設(shè)的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為、方差為的隨機變量的觀測值.對于A選項，殘差與有線性關(guān)系，故A錯誤；對于B選項，殘差的方差不是一個常數(shù)，隨著觀測時間變大而變小，故B錯；對于C選項，殘差與有非線性關(guān)系，故C錯；對于D選項，殘差比較均勻地分布在以取值為的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故D正確.故選：D.2.拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗拋物線的標準方程為所以，準線方程為.故選：C3.6個人分4張無座音樂會門票，每人至多1張，票必須分完，那么不同的分法種類為（）A.15 B.84 C.360 D.〖答案〗A〖解析〗6個人分4張無座音樂會門票，每人至多1張，票必須分完，則有2人沒分到票，則共有種不同的分法.故選：A4.據(jù)統(tǒng)計，某工廠所生產(chǎn)的一類新型微電子芯片的厚度X（單位：）服從正態(tài)分布，且.如果芯片的厚度高于，那么就要對該芯片進行復(fù)檢.若該工廠此芯片日產(chǎn)量平均為10000片，那么每天需要進行復(fù)檢的產(chǎn)品大約有（）（附：若X（單位：）服從正態(tài)分布，則，，.）A.228件 B.455件 C.1587件 D.3173件〖答案〗A〖解析〗因為，所以，即與關(guān)于對稱，則，因為，所以，又因為，，所以件，

所以每天需要進行復(fù)檢的產(chǎn)品大約有件，故選：A.5.閱讀不僅可以開闊視野，還可以提升語言表達和寫作能力.某校全體學生參加的期末過程性評價中大約有的學生寫作能力被評為優(yōu)秀等級.經(jīng)調(diào)查知，該校大約有的學生每天閱讀時間超過小時，這些學生中寫作能力被評為優(yōu)秀等級的占.現(xiàn)從每天閱讀時間不超過小時的學生中隨機抽查一名，該生寫作能力被評為優(yōu)秀等級的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)寫作能力被評為優(yōu)秀等級為事件，每天閱讀時間超過小時為事件，則，，；，，即從每天閱讀時間不超過小時的學生中隨機抽查一名，該生寫作能力被評為優(yōu)秀等級的概率為.故選：B.6.的展開式中，第四項和第五項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中有理項的項數(shù)是（）A.5 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗∵的展開式通項為，（，，，…，），∵第四項和第五項的二項式系數(shù)相等，∴，∴，∴，（，，，…，），∴當為整數(shù)，即，，，時，為有理項，∴展開式中有理項的項數(shù)是項.故選：B.7.從裝有個白球，個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球.若每取出個紅球得分，每取出個白球得分.按照規(guī)則從容器中任意抽取個球，所得分數(shù)的期望為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)得分為，根據(jù)題意可以取，，.則，，，則分布列為：432所以得分期望為.故選：.8.設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，P為C上一點，以P為圓心作圓與l切于點Q，與y軸交于M，N兩點，若，則直線PF的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，則拋物線的焦點，準線為，設(shè)點，則圓的半徑為，點到y(tǒng)軸的距離為，可得，因為，即，解得，可得，所以直線PF的斜率.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.以下等式對于任意大于2的正整數(shù)始終成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：，對；B：，對；C：，對；D：，錯.故選：ABC10.在的展開式中，則（）A.第1000項和第1024項的系數(shù)相同 B.第1013項的系數(shù)最大C.所有項的系數(shù)和為 D.被6除的余數(shù)為1〖答案〗BD〖解析〗對于A：展開式的通項為，則第1000項和第1024項的系數(shù)分別為，，由于，則第1000項和第1024項的系數(shù)不相同，故A錯誤；對于B：由通項公式可知，展開式項的系數(shù)為正的有：，其中最大，則第1013項的系數(shù)最大，故B正確；對于C：令，可得，則所有項的系數(shù)和為，故C錯誤；對于D：，其中都是6的倍數(shù)，，則被6除的余數(shù)為1，故D正確；故選：BD11.為激發(fā)學生寫字練字的興趣，培養(yǎng)學生良好的書寫習慣，提高學生規(guī)范整潔書寫漢字的能力，引導(dǎo)學生感悟漢字魅力，弘揚中華文化，某校舉辦漢字書寫大賽.參加大賽的學生需要逐輪晉級最終進入決賽.每輪晉級比賽中，兩位選手需要經(jīng)過多局比賽決出最終勝負.規(guī)則要求晉級比賽雙方其中一方比對方多勝兩局，則比賽結(jié)束，勝局多者晉級；否則比賽繼續(xù)，但最多進行五局，最終以勝局多者晉級.在某輪晉級比賽中，甲乙二人對決.其中每局比賽甲同學勝乙同學的概率為，乙同學勝甲同學的概率為.則（）A.比賽經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率為 B.甲在第四局結(jié)束后即晉級的概率為C.乙在第四局結(jié)束后即晉級的概率為 D.比賽在第五局才結(jié)束的概率為〖答案〗AD〖解析〗對于A，比賽經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率為：，故A正確；對于B，甲在第四局結(jié)束后即晉級，則四局比賽乙勝了一局，且必須為第一或第二局，則甲在第四局結(jié)束后即晉級的概率為，故B不正確；對于C，乙在第四局結(jié)束后即晉級，則四局比賽甲勝了一局，且必須為第一或第二局，則乙在第四局結(jié)束后即晉級的概率為，故C不正確；對于D，比賽經(jīng)過二局就結(jié)束的概率為，比賽經(jīng)過四局就結(jié)束的概率為，比賽在第五局才結(jié)束的概率為：，故D正確.故選：AD.12.在平面上，設(shè)拋物線的焦點為，準線為l，過點F作直線與C交于，兩點，且滿足.設(shè)線段PQ的中點為M，N為l上一點，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為，所以，拋物線方程為，準線方程為：，設(shè)直線方程為（由題意直線斜率存在），聯(lián)立可得，，故A錯誤；又，所以，即，不妨設(shè)，則解得，，則，，所以，故B正確；由中點為M知，，故C錯誤；由拋物線定義，，所以，故D正確.故選：BD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中項的系數(shù)為________.〖答案〗12〖解析〗因為的二項展開式為，所以項為，即展開式中項的系數(shù)為12.故〖答案〗：12.14.隨機變量X服從正態(tài)分布，當，時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.現(xiàn)已知隨機變量Y服從正態(tài)分布.若隨機變量（a，b為正實數(shù)）服從標準正態(tài)分布，則________.〖答案〗〖解析〗隨機變量Y服從正態(tài)分布，所以，因為隨機變量（a，b為正實數(shù)）服從標準正態(tài)分布，所以，所以，.即，解得，則.故〖答案〗為：.15.為督導(dǎo)疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間的安全生產(chǎn)工作，某巡視組派出甲、乙、丙、丁4名工作人員到A，B，C三家企業(yè)進行安全排查，每名工作人員只能到一家企業(yè)工作，每家企業(yè)至少有一名工作人員進行排查，其中甲乙二人不能到同一家企業(yè)，并且由于A企業(yè)規(guī)模不大，派一名工作人員即可，則不同的分派方案共有________種.（用數(shù)字作答）〖答案〗20〖解析〗甲?乙?丙?丁4名工作人員到A，B，C三家企業(yè)，每名工作人員只能到一家企業(yè)工作，若每家企業(yè)至少分派1名工作人員，則先將工作人員分為3組，人員數(shù)量為2,1,1，再將這3組工作人員任意分派到A，B，C三家企業(yè)即可.若A分派1名工作人員，B，C各分派1名或2名工作人員，中去掉甲乙二人到同一家企業(yè)，分配給B或C企業(yè)，最后把兩組人分給剩下兩個企業(yè)即可.則所有不同分派方案共（種）.故選：20.16.在坐標平面內(nèi)，拋物線的準線為，點是上一點，且，垂足為，連接交于點，則直線在軸上的截距為________；若點到的距離為，則________.〖答案〗①②〖解析〗∵拋物線的準線為，∴，，∴拋物線的方程為，∴由題意，即（），∴，又∵，∴直線的方程為，由，解得，∴直線的方程為，（），令，則，即，∴，∴，∴直線與軸交于點，直線在軸上的截距為.∵拋物線的方程為，∴直線與軸交點為拋物線的焦點，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則到直線的距離，解得，由拋物線的對稱性，不妨取，則直線的方程為，由，消去，得，設(shè)，（），，解得，，∴，且由拋物線焦點弦弦長，，∴.故〖答案〗為：，.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點，，中，只有一點不在拋物線上.（1）求W的方程；（2）若直線與W相切，證明：.解：（1）若點A、C在上，則，，解得，此時，點B不在W上；若點A、B在上，則，，無解；若點B、C在上，則，，無解；綜上，W的方程為.（2）由題知，將代入得，所以，即，所以.18.老舊小區(qū)改造一頭連著民生，一頭連著發(fā)展，是百姓看得見、摸得著的貼心工程，包括多層住宅加裝電梯、外墻保溫等工程.為積極推動現(xiàn)有多層住宅加裝電梯工作，促進居民意見統(tǒng)一與達成共識，某市城建局制定了《既有多層住宅加裝電梯不同樓層業(yè)主出資指導(dǎo)區(qū)間方案》（以下簡稱《方案》）并廣泛征求居民意見.工作人員隨機調(diào)研了某小區(qū)多幢五層樓的居民，得到如下數(shù)據(jù)：樓層1樓2樓3樓4樓5樓意見同意不同意同意不同意同意不同意同意不同意同意不同意戶數(shù)812911119128164然后依據(jù)小概率值的獨立性檢驗進行判斷；（1）完成列聯(lián)表，并說明能否據(jù)此推斷同意《方案》與居住樓層高于三層有關(guān)；同意《方案》不同意《方案》合計四層或五層戶數(shù)一、二、三層戶數(shù)合計（2）如果表中的數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷同意《方案》與居住樓層高于三層之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因.附：.0.0500.0100.00138416.63510.828解：（1）列聯(lián)表如下：同意《方案》不同意《方案》合計四層或五層戶數(shù)281240一、二、三層戶數(shù)283260合計5644100零假設(shè)為：同意《方案》與居住樓層高于三層無關(guān)，因此依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即同意《方案》與居住樓層高于三層沒有關(guān)系（2）如果表中的數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，經(jīng)計算得依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷不成立，因此可以認為不成立，即同意《方案》與居住樓層高于三層有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01原因是每個數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.19.外賣不僅方便了民眾的生活，推動了餐飲產(chǎn)業(yè)的線上線下融合，在疫情期間更是發(fā)揮了保民生、保供給、促就業(yè)等方面的積極作用.某外賣平臺為進一步提高服務(wù)水平，監(jiān)管店鋪服務(wù)質(zhì)量，特設(shè)置了顧客點評及打分渠道，對店鋪的商品質(zhì)量及服務(wù)水平進行評價，最高分是分，最低分是分.店鋪的總體評分越高，被平臺優(yōu)先推送的機會就越大，店鋪的每日成功訂單量（即“日單量”）就越高.某班研究性學習小組計劃對該平臺下小微店鋪的總體評分（單位：分）與日單量（單位：件）之間的相關(guān)關(guān)系進行研究，并隨機搜索了某一天部分小微店鋪的總體評分與日單量，數(shù)據(jù)如下表.店鋪123456789101112131415x3.83.9444.14.24.34.44.54.54.64.74.74.84.9y154168179178190201214225236237248261259272284經(jīng)計算得，，，，，，.（1）若用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（回歸系數(shù)精確到）；附：，.（2）該外賣平臺將總體評分高于分的店鋪評定為“精品店鋪”，總體評分高于但不高于分的店鋪評定為“放心店鋪”，其他為“一般店鋪”.平臺每次向顧客推送一家店鋪時，推送“精品店鋪”的概率為，推送“放心店鋪”的概率為，推送“一般店鋪”的概率為.若該外賣平臺向某位顧客連續(xù)推送了三家店鋪，設(shè)推送的“精品店鋪”或“放心店鋪”數(shù)量為隨機變量，求的數(shù)學期望與方差.解：（1）由題意知，，，∴關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.（2）該外賣平臺每次向顧客推送“精品店鋪”或“放心店鋪”的概率為，該外賣平臺向某位顧客連續(xù)推送了三家店鋪，推送的“精品店鋪”或“放心店鋪”數(shù)量為隨機變量，則，，，.方法一：由題意，服從二項分布，即，∴的數(shù)學期望為，的方差為.方法二：由題意，的每個可能取值的概率為：；；；，∴隨機變量X的分布列為∴的數(shù)學期望為，的方差為.20.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對應(yīng)著數(shù)學曲線中的伯努利雙紐線.在平面上，我們把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個焦點.數(shù)學家雅各布?伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究.已知曲線是一條伯努利雙紐線.（1）求曲線C的焦點，的坐標；（2）試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A，B（異于坐標原點O），使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.如果存在，求出A，B坐標；如果不存在，請說明理由.解：（1）方法一：設(shè)焦點，，曲線與x軸正半軸交于點，由題意知，于是，，因此，；方法二：設(shè)焦點，，由題意知，即，整理得，于是，.因此，，；（2）假設(shè)曲線C上存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O，即，由題意知直線OA，OB斜率均存在，不妨設(shè)直線OA的方程為，直線OB的方程為，將直線OA的方程與曲線C聯(lián)立，得，即.解得，同理，因此不可能成立，于假設(shè)不成立，即曲線C上不存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.21.已知為坐標原點，拋物線，點在，但不在軸上，過點且與垂直的直線交拋物線于點，（點在，之間），.（1）求拋物線的方程；（2）連接，分別交拋物線于，，設(shè)直線的斜率為，直線斜率為，求證：為定值.解：（1）因為與軸交于點，，