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高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市奉賢區(qū)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題一、填空題1.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位),則____________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:.2.不等式的解集為______.〖答案〗〖解析〗由得,解得,故不等式的解集為.故〖答案〗為:.3.拋物線上一點到點的距離最小值為____________.〖答案〗1〖解析〗設拋物線上一點,則點到點的距離為,因,則,故當時,拋物線上任一點到點的距離最小值為1.故〖答案〗為:1.4.已知圓錐的底面半徑為,母線長為,則該圓錐的側面積為____________.〖答案〗〖解析〗因為圓錐的底面半徑為,母線長為,所以圓錐的側面積為,故〖答案〗為:5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布,且,則____________.〖答案〗.〖解析〗因為,所以,因此.故〖答案〗為:.6.已知,且,則____________.〖答案〗〖解析〗已知,由倍角公式得,由,,解得,則.故〖答案〗為:.7.某商品的成本與產(chǎn)量之間滿足關系式,定義平均成本,其中,假設,當產(chǎn)量等于____________時,平均成本最少.〖答案〗〖解析〗由題知,當且僅當,即時取等號,故〖答案〗為:.8.已知向量,,則在方向上的投影向量為____________.〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量為.故〖答案〗為:.9.已知多項式對一切實數(shù)恒成立,則____________.〖答案〗〖解析〗令可得,又展開式的通項為,令可得;令,可得,所以,所以,故〖答案〗為:1.10.學生到工廠勞動實踐,利用打印技術制作模型,如圖所示.該模型為長方體中挖去一個四棱錐,其中為長方體的中心,,,,分別為所在棱的中點,,,打印所用原料密度為.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質量為____________.〖答案〗〖解析〗易知四棱錐的底面積,高為,所以四棱錐的體積為,長方體為,因此該模型的體積為,所以該模型所需原料的質量為.故〖答案〗為:.11.點是棱長為1的正方體棱上一點,則滿足的點的個數(shù)為____________.〖答案〗〖解析〗因為正方體的棱長為1,所以,又,所以點是以為焦距,以為長半軸,以為短半軸的橢球上的一點,且焦點分別為,所以點是橢球與正方體棱的交點,在以為頂點的棱上,所以共有6個,故〖答案〗為:6.12.函數(shù)的圖像記為曲線F,如圖所示.A,B,C是曲線與坐標軸相交的三個點,直線BC與曲線的圖像交于點,若直線的斜率為,直線的斜率為,,則直線的斜率為____________.(用,表示)〖答案〗〖解析〗由題意,,則,,,由得,則,,,,所以,又,所以,故〖答案〗為:.二、填空題13.設某大學女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關關系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心(,)C.若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg〖答案〗D〖解析〗根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關關系,A正確;回歸直線過樣本點的中心(),B正確;該大學某女生身高增加1cm,預測其體重約增加0.85kg,C正確;該大學某女生身高為170cm,預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯誤.故選D.14.已知函數(shù),其中,,其中,則圖象如圖所示的函數(shù)可能是().A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知是偶函數(shù),是奇函數(shù),給出的函數(shù)圖象對應的是奇函數(shù),A.,定義域為R,又,所以是奇函數(shù),符合題意,故正確;B.,,不符合圖象,故錯誤;C.,定義域為R,但,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù),故錯誤;D.,定義域為R,但,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù),故錯誤,故選:A15.有個相同的球,分別標有數(shù)字,,,,,從中有放回地隨機取兩次,每次取個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”,則()A.甲與乙相互獨立 B.乙與丙相互獨立C.甲與丙相互獨立 D.乙與丁相互獨立〖答案〗A〖解析〗由題意得,甲,乙,丙,丁.對于A,甲乙,所以甲乙甲乙,所以甲與乙相互獨立,故A正確;對于B,乙丙,所以乙丙乙丙,所以乙與丙不是相互獨立,故B不正確;對于C,甲丙,所以甲丙甲丙,所以甲與丙不是相互獨立,故C不正確;對于D,乙丁,所以乙丁乙丁,所以乙與丁不是相互獨立故D不正確.故選:A.16.如圖,在等腰梯形中,∥,,,.點是線段上一點,點在線段上,.命題①:若,則隨著的增大而減少.命題②:設,若存在線段把梯形的面積分成上下相等的兩個部分,那么,隨著的增大而減少.則下列選項正確的是()A.命題①不正確,命題②正確 B.命題①,命題②都不正確C.命題①正確,命題②不正確 D.命題①,命題②都正確〖答案〗A〖解析〗命題①錯誤,理由如下:的大小等價于在上的投影,由圖可知,投影是不斷增加的;命題②正確,理由如下:設因為,做,垂足為,所以,所以,,,,又,所以化簡得到,求導可得恒成立,所以隨著的增大而減少,故②正確;故選:A.三、解答題17.已知是公差的等差數(shù)列,其前項和為,是公比為實數(shù)的等比數(shù)列,,.(1)求和的通項公式;(2)設,計算.解:(1)∵,且,∴,∴.∵,且,∴,∴,∴.(2)由題可知,,等比數(shù)列求和,首項為,公比,∴.18.某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):鍛煉人次空氣質量等級1(優(yōu))318252(良)6143(輕度污染)5564(中度污染)630(1)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(2)若某天的空氣質量等級為或2,則稱這天“空氣質量好”;若某天的空氣質量等級為3或4,則稱這天“空氣質量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷:一天中到該公園鍛煉的人次是否與該市當天的空氣質量有關?(規(guī)定顯著性水平)人次≤400人次>400總計空氣質量好空氣質量不好總計附:,.解:(1)由題知,一天中到該公園鍛煉的平均人次約為:,即一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為.(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),計算出,則完成列聯(lián)表為:人次≤400人次>400總計空氣質量好363975空氣質量不好19625總計5545100假設一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量無關.,由可得,原假設不成立,即一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.19.如圖是由兩個三角形組成的圖形,其中,,,.將三角形沿折起,使得平面平面,如圖.設是的中點,是的中點.(1)求直線與平面所成角的大?。唬?)連接,設平面與平面的交線為直線,判別與的位置關系,并說明理由.解:(1)過作于,連接,∵平面平面,且平面平面,,∴平面,∴為直線與平面所成角.∵,不妨設,在中,由正弦定理得.易知,,∴在中,,,∴直線與平面所成角的大小為.(2)∵是的中點,是的中點,∴DO∥PC;又∵,,∴DO∥平面PBC;又∵平面平面,∴∥,∴∥.20.已知曲線,是坐標原點,過點的直線與曲線交于,兩點.(1)當與軸垂直時,求的面積;(2)過圓上任意一點作直線,,分別與曲線切于,兩點,求證:;(3)過點的直線與雙曲線交于,兩點(,不與軸重合).記直線的斜率為,直線斜率為,當時,求證:與都是定值.(1)解:由題可知,直線為,代入橢圓方程,解得,所以.(2)證明:設,當時,,不妨取,,,則,,所以,即成立;當時,設,的斜率分別為,直線,由,因為直線與橢圓相切,所以,即,化簡可得,化為關于的一元二次方程為,所以.因為在圓上,所以,代入上式可得,綜上可得.(3)證明:設、、、,直線、的斜率分別為、,設直線,與橢圓聯(lián)立得,則,,,由得,即,計算分子部分:,所以,設直線,與雙曲線聯(lián)立得,則,,,,所以,計算分子部分,所以,綜上可得、均為定值.21.已知定義域為的函數(shù),其圖象是連續(xù)的曲線,且存在定義域也為的導函數(shù).(1)求函數(shù)在點的切線方程;(2)已知,當與滿足什么條

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