江西省撫州市樂安縣2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省撫州市樂安縣2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設是可導函數(shù)，且，則（）A. B.-1 C.0 D.-2〖答案〗B〖解析〗因為所以，故選：B.2.根據(jù)教育部的規(guī)定，從2021年9月1日以來，全國各地的中小學都開展了課后延時服務．各個學校都及時安排老師參加課后延時服務工作，學校要求張老師在每個星期的周一至周五要有三天參加課后延時服務．若張老師周五一定參加課后延時服務，則他周四也參加課后延時服務的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設事件A為張老師“周五參加課后延時服務”，事件B為張老師“周四參加課后延時服務”，則，，故．故選:A．3.在等差數(shù)列中，已知，則（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗D〖解析〗由得，所以，所以.故選：D4.數(shù)列，滿足，，則的前10項和為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為數(shù)列，滿足，，所以，所以，的前10項和為：，故選：B.5.利用獨立性檢驗的方法調(diào)查大學生的性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機詢問名不同的大學生是否愛好某項運動，利用列聯(lián)表，由計算可得.0100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”B.有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”C.在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D.在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”〖答案〗B〖解析〗由于對照表中數(shù)據(jù)得出有0.005的幾率說明這兩個變量之間的關系是不可信的，即有1?0.005=99.5%的把握說明兩個變量之間有關系故選：B6.已知等差數(shù)列中，為其前項和，，，則（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗設等差數(shù)列公差為，則，解得：；當時，，；當時，，.綜上所述：或.故選：C.7.已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當且僅當是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個，則n的值有1，3，7，15，31五個，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為5.故選：B8.設函數(shù).若不等式對恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式對恒成立，即為，即對恒成立，設，由，可得在上遞增，且，當時，；，，作出的圖象，再設，可得表示過，斜率為的一條射線（不含端點），要求的最大值，且滿足不等式恒成立，可得的最大值，由于點在軸上移動，只需找到合適的，且切于點，如圖所示：此時，即的最大值為.故選：D二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列四個數(shù)列中的遞增數(shù)列是（）A.1，，，，…B.，，，…C.，，，，…D.1，，，…，〖答案〗CD〖解析〗對于A，數(shù)列1，，，，…為遞減數(shù)列，故不符合題意；對于B，數(shù)列，，，…為周期數(shù)列，且，故不符合題意；對于C，數(shù)列，，，，…為遞增數(shù)列，故符合題意；對于D，數(shù)列1，，，…，為遞增數(shù)列，故符合題意.故選：CD.10.設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上為凸函數(shù)．則下列函數(shù)中，為區(qū)間上的凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).對于B選項，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).對于C選項，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).對于D選項，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).故選:BD..11.已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，滿足，（為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則（）A. B.C.在處取得極小值 D.無極大值〖答案〗BCD〖解析〗設，則，可設，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A錯誤；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得極小值，無極大值，B、C、D均正確故選：BCD.12.阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學之神”的稱號．拋物線上任意兩點A、B處的切線交于點P，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線C：的焦點為F，過A、B兩點的直線的方程為，關于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.點P的坐標為 D.〖答案〗ABD〖解析〗設，，聯(lián)立，可得，解得或，不妨設，，則，，故，，，A項正確；又因為，所以，故直線PA的斜率為，直線PA的方程為，即，同理可得直線PB的方程為，，所以，B項正確；聯(lián)立，可得，故點P的坐標為，C項錯誤；易知點F的坐標為，，，所以，D項正確．故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知的展開式中各項系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項為___________.〖答案〗〖解析〗因為的展開式中各項系數(shù)和為，所以，即．所以的常數(shù)項為．故〖答案〗：8014.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn﹣1是an和Sn的等比中項，設，則數(shù)列{bn}的前100項和為_____.〖答案〗〖解析〗依題意，當時，，解得，當時，，解得，當時，，解得，以此類推，猜想，.下用數(shù)學歸納法證明：當時，成立.假設當時，當時，，，，，，，，所以假設成立.所以對任意，，.（證畢）所以，所以數(shù)列的前項和為.故〖答案〗為：15.設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗，，令，得，而因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗，〖解析〗因為，設，定義域，，所以為奇函數(shù)，，所以單調(diào)遞增，不等式，即為，即，所以，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是，．故〖答案〗為：，．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知點P在圓上，點，．（1）求點P到直線AB距離的最大值；（2）當∠PBA最小時，求線段PB的長．解：（1）直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，故圓與直線相離，點到直線距離的最大值為；（2）當直線與圓相切時，最小，由勾股定理可得，此時線段的長為18.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線的方程.（2）若直線為曲線的切線，且經(jīng)過坐標原點，求直線的方程及切點坐標.解：（1）.所以在點處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設切點為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過點，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點坐標為.19.如圖，已知三棱柱中，，四邊形是菱形.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.解：（1）由四邊形是平行四邊形，，得四邊形是矩形，則由，，，、面，得面，又面，則由四邊形是菱形，得由，，，、面，得面（2）由（1）可知，面，又面，得面面由四邊形是菱形，，得是正三角形.取、的中點分別為、，連，，則，.由面面，面面，面，得面以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示則，，面的一個法向量為設面一個法向量為由，令，得設二面角的大小為，則又，則故二面角的正弦值為.20.已知拋物線C：的焦點F到準線l的距離為2，圓：（1）若第一象限的點P，Q是拋物線C與圓的交點，求證：點F到直線PQ的距離大于1；（2）已知直線l：與拋物線交于M，N兩點，，若點N，G關于x軸對稱，且M，A，G三點始終共線，求t的值.解：（1）由拋物線的方程可得焦點，準線方程為：，所以焦點到準線的距離，所以拋物線的方程為：，即，P，Q在第一象限，聯(lián)立，解得，，所以直線PQ的方程：，即，所以焦點F到直線PQ的距離，即證得點F到直線PQ的距離大于1；（2）設，，由題意，直線l的方程為，，聯(lián)立，整理可得，可得，，，要使M，G，A三點共線，則，即恒成立，即，整理可得，整理可得，而，所以，所以21.已知，是方程兩個根，數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，且.（1）求，的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由題可知，，是方程兩個根，且數(shù)列是遞增的等差數(shù)列即，則，公差d=6所以等差數(shù)列的通項公式為在數(shù)列中，當時，當時，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故其通項公式為（2）由（1）可知則又兩式相減得故22.函數(shù)（，）．（1）當時，求證：函數(shù)有兩個零點；（