天津市部分區(qū)2024屆高三質(zhì)量調(diào)查（二）數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市部分區(qū)2024屆高三質(zhì)量調(diào)查（二）數(shù)學(xué)試卷參考公式：·如果事件，互斥，那么．·如果事件，相互獨(dú)立，那么．·棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面面積，表示棱柱的高．·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高．一、選擇題1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋裕?，故選：A2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；因?yàn)?，則可知，所以；故“”是“”的必要不充分條件，故B項(xiàng)正確.故選：B.3.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，所以.故選：B.4.在數(shù)列中，若（），則的值為（）A.1 B.3 C.9 D.27〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.5.函數(shù)的圖象如圖所示，則的〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖象知，該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，對(duì)于A，，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，故選：C.6.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，且與拋物線（）的焦點(diǎn)重合，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，又因?yàn)?，則點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.7.某校舉辦了數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，把1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的為（）A.的值為0.015 B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為87 D.估計(jì)成績(jī)低于80分的有350人〖答案〗C〖解析〗易知，解得，所以A錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間，用區(qū)間中點(diǎn)表示眾數(shù)即85，所以B錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，前三組頻率之和為，故第60百分位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，所以C正確；成績(jī)低于80分的頻率為，所以估計(jì)總體有，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.在各棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中，上下底面的中心分別為，，三個(gè)側(cè)面的中心分別為，，，若在該三棱柱中挖去兩個(gè)三棱錐和，則剩余部分的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示：因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面中心分別為，所以三棱錐和三棱錐的底面面積為，高為正三棱柱的高的一半，故挖去的幾何體的體積為，三棱柱的體積為，故剩余幾何體的體積為.故選：A.9.已知函數(shù)，關(guān)于有下面四個(gè)說(shuō)法：的圖象可由函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到；在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，?對(duì)于，函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，所以正確；對(duì)于，，則，先減后增，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，，所以的取值范圍為，所以正確；對(duì)于，由，則，則當(dāng)時(shí)，，所以在上有個(gè)零點(diǎn)，所以錯(cuò)誤.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題10.已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.11.的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.(用數(shù)字作答)〖答案〗〖解析〗由題意二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.12.過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且與拋物線相切，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，由，消去得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，解得，即直線方程為：，化為一般式為，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑，則圓心到直線距離為，所以.故〖答案〗為：.13.盒子里有大小和形狀完全相同的4個(gè)黑球和6個(gè)紅球，每次從中隨機(jī)取一個(gè)球，取后不放回．在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是______；若連續(xù)取2次球，設(shè)隨機(jī)變量表示取到的黑球個(gè)數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)第一次取到黑球?yàn)槭录?，第二次取到黑球?yàn)槭录?，則，，所以；由題意可得的取值為，，所以，故〖答案〗為：；.14.在中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．設(shè)，，則可用，表示為_(kāi)_________，若，,則面積的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由點(diǎn)是的中點(diǎn)，則；設(shè)，，則，，，，所以，得,,所以，即，因?yàn)?，所以，，即，即，?dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.故〖答案〗為：；.15.已知函數(shù)若，，且，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，可得，易知在R上單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，大致圖象如圖所示：所以函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，且，使得成立，滿足題意;當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的開(kāi)口下，對(duì)稱軸，①當(dāng)，即時(shí)，易知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，大致圖象如圖所示：由此可知，，且，使得成立，滿足題意;②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)的大致圖象如圖所示：易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以不存在，且，使得成立;綜上，的取值范圍為：，故〖答案〗為：.三、解答題16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由余弦定理得，所以．（2）由正弦定理得，即，解得（3）在中，，所以因?yàn)椋詾殇J角，，所以，17.如圖，平面，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設(shè)是棱上的點(diǎn)，若與所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)．（1）證明：因?yàn)槠矫?，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由已知可得，，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，所以，所以，所以.（2）解：，，設(shè)平面的法向量，則，即，令得，所以．平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角的余弦值為．（3）解：設(shè)且（），，則，，，所以，所以，，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），因?yàn)?，所以?8.設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，且，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且滿足，若三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是三角形的面積的倍，求直線的方程．解：（1）依題意，，，令橢圓半焦距為c，由，得，，所以橢圓的方程為.（2）顯然直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，，由消去得：，則，解得，，又，由（1）知，，，由，得，即，解得，所以直線的方程.19.已知是等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（）．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)數(shù)列滿足（），證明：．（1）解：設(shè)的公差為，由題意，，，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）解：；（3）證明：，所以，設(shè)，則，，所以，因?yàn)?，所以，所以?0.已知函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線的斜率為2，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．（1）解：由，可知，因?yàn)樵谔幍那芯€斜率為2，所以，所以，．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，要證，即證，兩