考研數(shù)學(xué)三(矩陣的特征值和特征向量)歷年真題試卷匯編1題后含

考研數(shù)學(xué)三（矩陣的特征值和特征向量）歷年真題試卷匯編1(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．[2002年]設(shè)A是n階實對稱矩陣，P是n階可逆矩陣，已知n維列向量α是A的屬于特征值λ的特征向量，則矩陣(P-1AP)T屬于特征值λ的特征向量是()．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正確答案：B解析：解一由題設(shè)有Aα=λα，且AT=A，令B=(P-1AP)T，則B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，A=(PT)-1BPT，故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．兩邊左乘PT，得到B(PTα)=λPTα．又PTα≠0．事實上，如PTα=0，則由P為可逆矩陣知，PT也為可逆矩陣，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即α=0．這與α≠0矛盾，故PTα為矩陣B=(P-1AP)T的屬于特征值λ的特征向量．僅(B)入選．解二用定義(P-1AP)TX=λX判別．當(dāng)X=PTα?xí)r，計算(P-1AP)T(PTα)時看其是否為P-1Tα的λ倍．事實上，有(P-1AP)T(PTα)=PTAT(P-1)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PT(Aα)=λPTα．又PTT≠0．因而PTT是(PTAP)-1的屬于特征值λ的特征向量．解三為檢驗選項中4個向量哪個是特征向量，只需檢驗?zāi)膫€向量是齊次方程組[(P-1AP)T－λE]X=0的非零解向量．事實上，令X=PTT，有[(P-1AP)T－λE](PTα)=[PTA(PT)-1PTα－λPTα]=PTAα－λPTα=λPTα－λPTα=0．易驗證(A)、(C)、(D)中向量均不滿足上述方程．又PTα≠0．僅(B)入選．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量2．[2016年]設(shè)A，B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結(jié)論錯誤的是()．A．AT與BT相似B．A－1與B－1相似C．A+AT與B+BT相似D．A+A－1與B+B－1相似正確答案：C解析：因A～B，故存在可逆矩陣P使得B=P－1AP．①在式①兩邊取轉(zhuǎn)置，得到BT=(P－1AP)T=PTAT(P－1)T=[(PT)－1]－1AT[(PT)－1]故AT與BT相似．選項(A)正確．在式①兩邊求逆運(yùn)算得到B－1=(P－1AP)－1=P－1A－1(P－1)－1=P－1A－1P．②故A與A－1相似．選項(B)正確．由式①+式②得到B+B－1=P－1AP+P－1A－1P=P－1(A+A－1)P，故A+A－1～B+B－1．選項(D)正確．僅(C)入選．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量3．[2018年]下列矩陣中，與矩陣相似的是()．A．B．C．D．正確答案：A解析：記矩陣[*]則[*]所以矩陣M的特征值為λ1=λ2=λ3=1，且秩(λE－M)=秩(E－M)=2．設(shè)選項(A)、(B)、(C)、(D)的矩陣分別記為A、B、C、D，容易計算出其特征值均為1，且秩(AE－A)=秩(E－A)=2，秩(E－B)=秩(E－C)=秩(E－D)=1，若兩矩陣相似，其對應(yīng)的特征值矩陣也相似，故秩相等．所以可以判斷選項(A)正確．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量4．[2017年]已知矩陣則()．A．A與C相似，B與C相似B．A與C相似，B與C不相似C．A與C不相似，B與C相似D．A與C不相似，B與C不相似正確答案：B解析：顯然A，B，C的特征值都為λ1=λ2=2，λ3=1．由得秩(2E－A)=1，則A可以相似對角化，故A與C相似．由得秩(2E－B)=2，則B不可相似對角化，故B與C不相似．綜上，僅(B)入選．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量5．[2013年]矩陣相似的充分必要條件為()．A．a(chǎn)=0，b=2B．a(chǎn)=0，b為任意常數(shù)C．a(chǎn)=2，b=0D．a(chǎn)=2，b為任意常數(shù)正確答案：B解析：令則因λ=2為B的特征值，故λ=2也必為A的特征值，則|2E—A|=2[22－(b+2)．2+2b一2a2]=2(－2a2)=0，故a=0．由λ=b為B的特征值知，λ=b也必為A的特征值，則|bE－A|=b[b2－(b+2)·b+2b]=b·0=0，即易可為任意常數(shù)．僅(B)入選．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量6．[2010年]設(shè)A為四階實對稱矩陣，且A2+A=O，若A的秩為3，則A相似于()．正確答案：D解析：設(shè)λ為A的特征值，則由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0．于是A的特征值為－1或0．又因A為實對稱矩陣，故A必與對角矩陣A相似．因A的秩為3，由命題2．5．4．1(2)知，A的非零特征值個數(shù)為3，故對角矩陣A的秩也為3，于是A=diag(－1，－1，－1，0)．僅(D)入選．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量填空題7．[2018年]設(shè)A為三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關(guān)的向量組，若Aα1=α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=一α2+α3，則A的實特征值為__________．正確答案：2解析：由題設(shè)得因為[α1，α2，α,3]可逆，所以矩陣A與矩陣相似，故特征值相同，而所以A的實特征值為2．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量8．[2015年]設(shè)三階矩陣A的特征值為2，－2，1，B=A2－A+E，其中E為三階單位矩陣，則行列式|B|=__________．正確答案：21解析：因A的特征值為2，－2，1，而B=f(A)=AT－A+E，故B的特征值分別為f(2)=2T－2+1=3，f(－2)=(－2)T－(－2)+1=7，f(1)=1T－1+1=1，故|B|=f(2)·f(1)·f(－2)=3×1×7=21．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量9．[2009年]設(shè)α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩陣αβT相似于則k=_________．正確答案：2解析：解一因αβT相似于而利用相似矩陣的性質(zhì)即命題2．5．3．3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0，即k=2．解二設(shè)A=αβT，λ為A的特征值，而故A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A，所以λ2=(1+k)λ，即λ[λ－(1+k)]=0，從而λ=0或λ=1+k．又A相似于對角矩陣由命題2．5．3．3(3)知，相似矩陣有相同的特征值，故A的特征值0，0，3，于是應(yīng)有1+k=3，即k=2．注：命題2．5．3．3設(shè)矩陣A=[aij]n×n與B=[bij]n×n相似，則(3)|λE－A|=|λE—B|，從而A與B有相同的特征值；(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn，即tr(A)=tr(B)．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．[2006年]設(shè)三階實對稱矩陣A的各行元素之和為3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齊次線性方程組AX=0的解．求A的特征值和特征向量．正確答案：由命題2．5．1．3知，三階矩陣A有一個特征值3，且α3=[1，1，1]T為A的屬于特征值3的特征向量．或由知，3是A的一個特征值，α3=[1，1，1]T為A的屬于特征值3的特征向量，則A的屬于特征值3的所有特征向量為c1α2，c1為不等于0的任意常數(shù)．又由命題2．5．1．10知，α1，α2是A的屬于特征值0的特征向量，或由Aα1=0α1，Aα2=0α2也可看出這一點(diǎn)，所以A的特征值為3，0，0，且屬于λ=0的特征向量為k1α1+k2α2=k1[－1，2，－1]T+k2[0，－1，1]T(k1，k2為不全為0的常數(shù))．注：命題2．5．1．1λ0是矩陣A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)|λ0E－A|=0．對于數(shù)字型矩陣，常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ．為求特征值λi所對應(yīng)的所有特征向量，只需解方程組(λiE－A)X=0．命題2．5．1．10設(shè)α≠0為An×n=0的解，則α為A的屬于特征值0的特征向量．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量[2007年]設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=[1，－1，1]T是A的屬于λ1的一個特征向量．記B=A5－4A3+E，其中E為三階單位矩陣．11．驗證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；正確答案：令f(x)=x5－4x3+1，則B=f(A)=A5－4A3+E．因A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=－2，故B=f(A)的三個特征值分別為μ1=f(λ1)=f(1)=－2，μ2=f(λ2)=f(2)=1，μ3=f(λ3)=f(－2)=1．由Aα1=λ1α1=α1，得到A5α1=A4Aα1=A4α1=…=Aα1=α1，A3α1=A2Aα1=A2α1=AAα1=Aα1=α1，故Bα1=(A5－4A3+E)α1=A5α1－4A3α1+α1=α1－4α1+α1=－2α1，即B的屬于特征值μ1=f(λ1)=f(1)=－2的一個特征向量為α1(與A的屬于特征值λ1=1的特征向量α1相同)，所以B的屬于特征值μ1=一2的全部特征向量為k1α1，其中k1是不等于0的任意常數(shù)．一般地，矩陣A的屬于特征值λi的特征向量與矩陣B=f(A)的屬于特征值f(λi)的特征向量相同，故為了求B的特征向量，只需求出A的特征向量．設(shè)A的屬于λ2的特征向量為α2=[x1，x2，x3]T，則因λ1≠λ2，故α2與α1正交，則有由即得A的屬于λ2=1的特征向量α2=[1，1，0]T，α3=[－1，0，13T，故B的屬于特征值μ2=f(λ2)=f(2)=1的線性無關(guān)的特征向量為α2=[－1，1，0]T，α3=[－1，0，1]T，所以B的屬于特征值μ2=1的全部特征向量為k2α2+k3α3，其中k2，k3是不全為0的任意常數(shù)．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量12．求矩陣B．正確答案：解一令則P-1BP=diag(一2，1，1)．于是解二將α2，α3正交化，得到再將α1，β2，β3單位化，得到令Q=[η1，η2，η3]，則Q為正交矩陣，其正交變換X=QY可將Q實對稱矩陣B對角化，即Q-1BQ=QTBQ=A=diag(一2，1，1)，亦即解二比解一雖然多了正交化，但單位化的步驟免去了求逆矩陣的計算(因Q-1=QT)．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量[2011年]設(shè)A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，且13．求A的所有特征值與特征向量；正確答案：因A的秩為2，A又為實對稱矩陣，故A可相似對角化，且其非零特征值即其相似對角矩陣上的非零主對角元只有兩個，因而0為A的一個特征值．由題設(shè)可得故λ1=－1是A的一個特征值，且屬于λ1=－1的特征向量為k1[1，0，－1]T，其中k1為任意非零常數(shù)；且λ2=1也是A的一個特征值，且屬于λ2=1的所有特征向量為k2[1，0，1]T，其中k2為任意非零常數(shù)．設(shè)[x1，x2，x3]T為A的屬于特征值0的特征向量，由于A為實對稱矩陣，則于是屬于0的特征向量為k3[0，1，0]T，其中k3為任意非零常數(shù)．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量14．求矩陣A．正確答案：解一因A為實對稱矩陣，故A必可相似對角化．令則P-1AP=diag(－1，1，0)．因而解二由于α1，α2，α3正交，將其單位化可得正交矩陣則QTAQ=diag(－1，1，0)，故解三設(shè)由得到a－c=－1，a+c=1，b－e=0，b+e=0，c－f=1，c+f=1．解得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0，即又由秩(A)=2得d=0，故涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量15．[2014年]證明n階矩陣相似．正確答案：記因A為實對稱矩陣，必可對角化．由|λE－A|=λn－nλn-1=λn－1(λ－n)=0可知A的特征值為n，0，0，…，0(n－1個。特征值)，故A～diag(n，0，0，…，0)=A．又由|λE－B|=(λ－n)2n－1=0得到B的n個特征值為n，0，0，…，0(n－1個0特征值)．當(dāng)λ=0時，秩(0E－B)=秩(B)=1，則n－秩(0E-B)=n－1，即齊次方程組(OE-B)X=0有n－1個線性無關(guān)的解，亦即λ=0時，B有n－1個線性無關(guān)的特征向量．又λ=n時，秩(nE－B)=n－1，則n－秩(nE－B)=n－(n－1)=1，即齊次線性方程組(nE－B)X=0有一個線性無關(guān)的解，亦即B的屬于特征值λ=n的線性無關(guān)的特征向量只有一個，從而B有n個線性無關(guān)的特征向量，于是B必與對角矩陣相似，且B～Λ=diag(n，0，0，…，0)，由相似的傳遞性：A～Λ～B得到A～B．或由A～Λ存在可逆矩陣P1使P1－1AP1=Λ，由B～Λ存在可逆矩陣P2-1BP2=Λ，于是由P1－1AP1=P2－1BP2，得到P2P1－1AP1P2－1=(P1P2－1)－1AP1P2－1=B．令P=P1P2－1，則P可逆，且使P－1AP=B(此法常稱為用合成的方法求可逆矩陣P)，因而A～B．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量[2015年]設(shè)矩陣相似于矩陣16．求a，b的值；正確答案：因A與B相似，故tr(A)=tr(B)，即0+3+a=1+b+1，亦即3+a=2+b．①解式①、式②得到a=4，b=5涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量17．求可逆矩陣P，使P－1AP為對角矩陣．正確答案：由得到B的特征值為λ1=λ2=1，λ3=5．因A與B相似，故A的特征值也為λ1=λ2=1，λ3=5．下求A的屬于特征值的特征向量．將λ1=λ2=1代入(λE—A)X=0得(E—A)X=0．由及基礎(chǔ)解系的簡便求法即得A的屬于λ1=λ2=1的線性無關(guān)的特征向量：α1=[2，1，0]T，α2=[－3，0，1]T．解(λ3E－A)X=0即解(5E－A)X=0，由及基礎(chǔ)解系的簡便求法得到A的屬于特征值λ3=5的特征向量：α3=[－1，－1，1]T．易驗證α1，α2，α3線性無關(guān)，由命題2．5．3．2(2)可知A與對角矩陣相似，令P=[α1，α2，α3]，則易驗證有涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量18．[2010年]設(shè)存在正交矩陣Q使QTAQ為對角矩陣．若Q的第1列為求a，Q．正確答案：因Q的第1列為故A的特征值λ1所對應(yīng)的特征向量為[1，2，1]T，于是有由此可求得a=－1，λ1=2．下面求A的特征值．由可得到故A的特征值為λ1=2，λ2=－4，λ3=5．已求得屬于λ1=2的特征向量為α1=[1，2，1]T．易求得A的屬于特征值λ2=－4的特征向量為α2=[－1，0，1]T，屬于λ3=5的特征向量為α3=[1，－1，1]T．由于A為實對稱矩陣，對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，只需單位化：令Q=[η1，η2，η3]，則Q為正交矩陣，且使QTAQ=diag(2，－4，5)．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量[2004年]設(shè)n階矩陣19．求A的特征值和特征向量；正確答案：解一根據(jù)A的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：主對角線上的元素全為a=1，非主對角線上的元素全為b，由命題2．5．1．7即得到A的特征值為λ1=1+(n－1)b，λ2=λ3=…=λn=1－b．解二令f(x)=x+1－b，則f(B)=B+(1－b)E．如能求出B的特征值，則f(B)=B+(1－b)E的特征值即可求出．事實上，因秩(B)=1，由命題2．5．1．5即知B的特征值為λ1=b+b+…+b=nb，λ2=λ3=…=λn=0，故f(B)即A=B+(1－b)E的特征值為f(λ1)=nb+1－b=(n－1)b+1，f(λ2)=f(λ3)=…f(λn)=0+(1－b)=1－b．下面求A的特征向量，首先求屬于特征值λ1=1+(n－1)b的A的特征向量．由命題2．5．1．4即知α1=[1，1，…，1]T為屬于特征值λ1=1+(n一1)b的A的特征向量，所以A的屬于λ1的全部特征向量為kα1(k為非零的任意常數(shù))．再求A的屬于特征值λ2=λ3=…=λn=1-b的特征向量．為此求(λ2E—A)X=0的基礎(chǔ)解系．對λ2E一A以初等行變換，得到因而所求的基礎(chǔ)解系為α2=[－1，1，0，…，0]T，α3=[－1，0，1，0，…，0]T，…，αn=[－1，0，…，0，1]T．故A的屬于λ2的所有特征向量為k2α2+k3α3+…+knαn(k2，k3，…，kn是不全為0的常數(shù))．注：命題2．5．1．4設(shè)n階矩陣A的各行元素之和為a，則a為A的一個特征值，且A的屬于特征值a的一個特征向量為[1，1，…，1]T．命題2．5．1．5設(shè)n階矩陣A=[aij]，若秩(A)=1，則A有n一1個零特征值λ1=λ2=…=λn-1=0，另一個特征值為λn=a11+a22+…+ann=tr(A)(稱為A的跡)．命題2．5．1．7設(shè)n階矩陣A的主對角線上元素全為a，非主對角線上元素全為b，則由|A|=[a+(n－1)b](a－n)n-1知，A的n個特征值為λ1=a+(n－1)b，λ2=λ3=…=λn=a－b．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量20．求可逆矩陣P，使P－1AP為對角矩陣．正確答案：當(dāng)b=0時，A的特征值為λ1=λ2=…=λn=1，任意非零列向量均為特征向量．因為這時A=E，對任意α≠0有Aα=Eα=α=1·α．①當(dāng)b≠0時，A有n個線性無關(guān)的特征向量α1，α2，…，αn，令P=[α1，α2，…，αn]，則P-1ΛP=A=diag(1+(n－1)b，1－b，…，1－b)．②當(dāng)b=0時，因A=E，則對任意可逆矩陣P，均有P－1AP=E．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量[2001年]設(shè)矩陣已知線性方程組AX=β有解但不唯一．試求：21．a(chǎn)的值；正確答案：解一對增廣矩陣作初等行交換化為行階梯形矩陣，即①當(dāng)a≠1且a≠－2時，秩(A)=秩=3，方程組有唯一解；②當(dāng)a=1時，秩(A)=1，秩=2，方程組無解；③當(dāng)a=－2時，秩(A)=秩=2＜3，方程組有無窮多解，故a=－2即為所求．解二因線性方程組AX=β有解且不唯一，故秩(A)=秩(A)＜3，故當(dāng)a=1時，秩(A)=1，秩=2，方程組無解；當(dāng)a=－2時，|A|=0且秩(A)=秩=2＜3，此時AX=β有解且不唯一，故所求的a=－2．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量22．正交矩陣Q，使QTAQ為對角矩陣．正確答案：由知，A的特征值為λ1=0，λ2=3，λ3=－3．對于λ1=0，解方程組(0E－A)X=0，即AX=0．由得對應(yīng)的特征向量為α1=[1，1，1]T，單位化得對于λ2=3，解方程組(3E－A)X=0，由得對應(yīng)的特征向量為α2=[1，0，－1]T，單位化得對應(yīng)的單位特征向量為對于λ3=－3，解方程組(－3E－A)X=0，由得對應(yīng)的特征向量為α3=[1，－2，1]T，單位化得對應(yīng)的單位特征向量為因為當(dāng)a=一2時，A的特征值都是單重特征值，故α1，α2，α3必兩兩正交．因而所求的正交矩陣為涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量[2006年]設(shè)三階實對稱矩陣A的各行元素之和都為3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齊次線性方程組AX=0的解．23．求A的特征值和特征向量；正確答案：由命題2．5．1．3知，三階矩陣A有一個特征值3，且α3=[1，1，1]T為A的屬于特征值3的特征向量．或由知，3是A的一個特征值，α3=[1，1，1]T為A的屬于特征值3的特征向量，則A的屬于特征值3的所有特征向量為c1α2，c1為不等于0的任意常數(shù)．又由命題2．5．1．10知，α1，α2是A的屬于特征值0的特征向量，或由Aα1=0α1，Aα2=0α2也可看出這一點(diǎn)，所以A的特征值為3，0，0，且屬于λ=0的特征向量為k1α1+k2α2=k1[－1，2，－1]T+k2[0，－1，1]T(k1，k2為不全為0的常數(shù))．注：命題2．5．1．1λ0是矩陣A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)|λ0E一A|=0．對于數(shù)字型矩陣，常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ．為求特征值λi所對應(yīng)的所有特征向量，只需解方程組(λiE－A)X=0．命題2．5．1．10設(shè)α≠0為An×n=0的解，則α為A的屬于特征值0的特征向量．涉及知識點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量24．求正交矩陣Q和對角矩陣Λ，使得QTAQ=Λ；正確答案：解一將α1，α2正交化．令ξ1=α1=[－1，2，－1]T，則再分別將ξ1，ξ2，α3單位化，得到其中Q為正交矩陣，且QTAQ=Λ．解二下面不用正交化，湊出正交化的三個特征向量．由于A只有一個重特征值λ1=λ2=0，所要求的A的3個兩兩正交的特征向量只需利用α1與α2的線性組合，找出一個與α1且同時與α3正交的特征向量即可，令ξ2=α1+2α2=[－1，2，－1]T+2[0，－1，1]T=[－1，0，1]T．顯然，ξ2與α1=ξ1正交，同時也與α3正交，再將它們單位化，即令Q=[η1，η2，η3]，則Q為正交矩陣，且有QTAQ=diag(0，0，3)．解三設(shè)A的屬于特征值λ1=λ2=0的特征向量β=[x1，x2，x3]T，則β與α3正交，即x1+x2+x3=0．求解此齊次方程即得屬于λ1=λ2的兩個線性無關(guān)的特征向量為β1=[－1，1，0]T，β2=[1，1，－2]T．顯然β1與β2正交，β1，β2與