福建省福州市鼓樓區(qū)勵(lì)志中學(xué)2018-2019學(xué)年九年級(jí)(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷-含解析

2018-2019學(xué)年九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝40°，則∠OCB等于（）A．60° B．50° C．40° D．30°3．對于函數(shù)y＝﹣2（x﹣m）2的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸是x＝m C．最大值為0 D．與y軸不相交4．⊙O的半徑為5，圓心O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P的⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．點(diǎn)P在⊙O上或⊙O外5．函數(shù)y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）A． B． C． D．6．如圖所示，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝15，則△PCD的周長為（）A．15 B．12 C．20 D．307．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)．P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）A． B．1 C．2 D．28．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連結(jié)BM，則BM的長是（）A．4 B． C． D．9．如圖所示，已知A點(diǎn)從（1，0）點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后，以O(shè)、A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使B．C點(diǎn)都在第一象限內(nèi)，且AO＝AC，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OC所在的直線相切，則t＝（）A．2﹣1 B．2+1 C．5 D．710．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在拋物線y＝x2上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＞2二、填空題（每小題4分，共24分）11．已知點(diǎn)A（2m，﹣3）與B（6，1﹣n）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m+n＝．12．若正六邊形的邊長為2，則此正六邊形的邊心距為．13．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．14．某藥品原價(jià)每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號(hào)召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，則該藥品平均每次降價(jià)的百分率是．15．如圖，用3個(gè)邊長為1的正方形組成一個(gè)對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為．16．如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為一邊在△ABC同側(cè)作正方形ABEF．點(diǎn)O為AE與BF的交點(diǎn)，連接CO，若CA＝2，，那么四邊形ABOC的面積為．

三、解答題（每小題6分，共86分）17．請選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2﹣2x﹣2＝018．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的長．19．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．20．已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5．（1）k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？（2）k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．21．某網(wǎng)店銷售某款童裝，每件售價(jià)60元，每星期可賣300件，為了促銷，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售．市場調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣30件．已知該款童裝每件成本價(jià)40元，設(shè)該款童裝每件售價(jià)x元，每星期的銷售量為y件．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元？22．如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CF與OB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F，A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)H，且HF與AB的延長線交于點(diǎn)D．（1）求證：DF＝DE；（2）若tan∠OCE＝，⊙O的半徑為4，求AH的長．23．定義感知：我們把頂點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，且交于y軸上同一點(diǎn)的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，如圖所示的拋物線y1＝x2+2x+2與y2＝x2﹣2x+2是一對“孿生拋物線”．初步運(yùn)用：（1）判斷下列論斷是否正確？正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的則打“×”；①“孿生拋物線”的兩對稱軸一定關(guān)于y軸對稱．（）②“孿生拋物線”的開口方向不一定相同．（）（2）填空：拋物線y＝2x2﹣4x﹣1的“孿生拋物線”解析式為．延伸拓展：在平面直角坐標(biāo)系中，記“孿生拋物線”的兩頂點(diǎn)分別為M，M′，且MM′＝4，“孿生拋物線”與y軸的交點(diǎn)A（0，1）到線段MM′的距離為2個(gè)單位長度，試求該“孿生拋物線”的解析式．24．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，連接A1B交B1C于點(diǎn)D．①△BCB1的形狀是；A1B與B1C的位置關(guān)系是；B1D與CD的數(shù)量關(guān)系是；②直接寫出A1B的長是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長線上時(shí)．①求證：BB1∥CA1；②求△AB1C的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E是BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F1，請直接寫出線段EF1長度的最大值與最小值的差．25．已知，點(diǎn)M為二次函數(shù)y＝（x﹣b）2+4b+1圖象的頂點(diǎn)，直線y＝mx+5分別交x軸正半軸、y軸于點(diǎn)A、B（1）判斷頂點(diǎn)M是否在直線y＝4x+1上，并說明理由．（2）如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根據(jù)圖象，寫出x的取值范圍．（3）如圖2，點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M在△AOB內(nèi)，若點(diǎn)C（，y1），D（4，y2）都在二次函數(shù)圖象上，試比較y1與y2的大?。畢⒖即鸢概c試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；D、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝40°，則∠OCB等于（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】由⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝40°，然后由圓周角定理，即可求得∠BOC的度數(shù)，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠OCB的度數(shù)．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝＝50°．故選：B．3．對于函數(shù)y＝﹣2（x﹣m）2的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸是x＝m C．最大值為0 D．與y軸不相交【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可一一判斷．【解答】解：對于函數(shù)y＝﹣2（x﹣m）2的圖象，∵a＝﹣2＜0，∴開口向下，對稱軸x＝m，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），函數(shù)有最大值0，故A、B、C正確，故選：D．4．⊙O的半徑為5，圓心O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P的⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．點(diǎn)P在⊙O上或⊙O外【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系：“點(diǎn)到圓心的距離為d，則當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)”來求解．【解答】解：∵圓心O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），∴OP＝＝＜5，因而點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．故選：A．5．函數(shù)y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)a、b的符號(hào)，針對二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，開口方向，分類討論，逐一排除．【解答】解：當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正確；由B、C中二次函數(shù)的圖象可知，對稱軸x＝﹣＞0，且a＞0，則b＜0，但B中，一次函數(shù)a＞0，b＞0，排除B．故選：C．6．如圖所示，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝15，則△PCD的周長為（）A．15 B．12 C．20 D．30【分析】直接利用切線長定理得出AC＝EC，BD＝DE，AP＝BP，進(jìn)而求出答案．【解答】解：∵P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，∴AC＝EC，BD＝DE，AP＝BP，∵PA＝15，∴△PCD的周長為：PA+PB＝30．故選：D．7．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)．P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）A． B．1 C．2 D．2【分析】作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B′，連接OA、OB、OB′、AB′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題可得AB′與MN的交點(diǎn)即為PA+PB的最小時(shí)的點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根據(jù)對稱性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，從而判斷出△AOB′是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB′＝OA，即為PA+PB的最小值．【解答】解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B′，連接OA、OB、OB′、AB′，則AB′與MN的交點(diǎn)即為PA+PB的最小時(shí)的點(diǎn)，PA+PB的最小值＝AB′，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，∵點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°，由對稱性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝OA＝×1＝，即PA+PB的最小值＝．故選：A．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連結(jié)BM，則BM的長是（）A．4 B． C． D．【分析】如圖，連接AM，由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM為等邊三角形根據(jù)AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM?sin60°＝，最終得到答案BM＝BO+OM＝1+．【解答】解：如圖，連接AM，由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM為等邊三角形，∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴AC＝2＝CM＝2，∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝1，OM＝CM?sin60°＝，∴BM＝BO+OM＝1+，故選：B．9．如圖所示，已知A點(diǎn)從（1，0）點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后，以O(shè)、A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使B．C點(diǎn)都在第一象限內(nèi)，且AO＝AC，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OC所在的直線相切，則t＝（）A．2﹣1 B．2+1 C．5 D．7【分析】先根據(jù)已知條件，求出經(jīng)過t秒后，OC的長，當(dāng)⊙P與OA，即與x軸相切時(shí)，如圖所示，則切點(diǎn)為O，此時(shí)PC＝OP，過P作PE⊥OC，利用垂徑定理和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)即可求出t的值．【解答】解：∵已知A點(diǎn)從（1，0）點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，∴經(jīng)過t秒后，∴OA＝1+t，∵四邊形OABC是菱形，∴OC＝1+t，∵⊙P恰好與OC所在的直線相切，∴PC⊥OC，∵AO＝AC＝OC，∴∠AOC＝60°，∠COP＝30°，在Rt△OPC中，OC＝OP?cos30°＝×＝6，∴1+t＝6，∴t＝5．故選：C．10．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在拋物線y＝x2上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＞2【分析】由拋物線表達(dá)式和三角形性質(zhì)求出A、B、C各點(diǎn)坐標(biāo)，就可以求出h或h的范圍．【解答】解：由題A，B，C均在拋物線y＝x2上，并且斜邊AB平行于x軸，知A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，記斜邊AB交y軸于點(diǎn)D，可設(shè)A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）則因斜邊上的高為h，故：h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性質(zhì)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，∴得CD＝∴＝方程兩邊平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2即h＝（﹣h）2因h＞0，得h＝1，是個(gè)定值．故選：B．二．填空題（共6小題）11．已知點(diǎn)A（2m，﹣3）與B（6，1﹣n）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m+n＝﹣5．【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是互為相反數(shù)”列方程求出m、n的值，然后相加計(jì)算即可得解．【解答】解：∵點(diǎn)A（2m，﹣3）與B（6，1﹣n）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴2m＝﹣6，1﹣n＝3，解得m＝﹣3，n＝﹣2，所以，m+n＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．故答案為：﹣5．12．若正六邊形的邊長為2，則此正六邊形的邊心距為．【分析】連接OA、OB，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠AOB，得出等邊三角形OAB，求出OA、AM的長，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六邊形ABCDEF，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠AOF，∴∠AOB＝×360°＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∵OM⊥AB，∴AM＝BM＝1，在△OAM中，由勾股定理得：OM＝＝．故答案為：．13．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是a＞﹣1且a≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a≠0且△＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得a≠0且△＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，解得a＞﹣1且a≠0．故答案為a＞﹣1且a≠0．14．某藥品原價(jià)每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號(hào)召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，則該藥品平均每次降價(jià)的百分率是20%．【分析】設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格＝降價(jià)前的價(jià)格（1﹣降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是25（1﹣x），第二次后的價(jià)格是25（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解．【解答】解：設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，由題意可知經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，故25（1﹣x）2＝16，解得x＝0.2或1.8（不合題意，舍去），故該藥品平均每次降價(jià)的百分率為20%．15．如圖，用3個(gè)邊長為1的正方形組成一個(gè)對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接OC，OD，延長BO交上面的正方形與點(diǎn)A，設(shè)定圓心與上面正方形的距離為x，再根據(jù)勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：連接OC，OD，延長BO交上面的正方形與點(diǎn)A，設(shè)定圓心與上面正方形的距離為x，則BO＝1﹣x，BC＝1，AD＝0.5，AO＝1+x，故BC2+BO2＝AD2+AO2，即1+（1﹣x）2＝（1+x）2+0.52，（兩邊都是圓半徑的平方）解得，x＝，所以能將其完全覆蓋的圓的最小半徑R2＝1+（1﹣x）2，解得R＝．故答案為：．16．如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為一邊在△ABC同側(cè)作正方形ABEF．點(diǎn)O為AE與BF的交點(diǎn)，連接CO，若CA＝2，，那么四邊形ABOC的面積為3+8．【分析】在BC上取一點(diǎn)D，使BD＝AC＝2，連接OD，可證得△BOD≌△AOC，從而得到OD＝OC＝，再可證△COD是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出CD，也就求得BC的長，再求出△ABC，△BCO的面積即可．【解答】解：如圖，在BC上截取BD＝AC，連接OD，作OK⊥BC于K．∵∠CAO＝90°﹣∠AHC，∠OBD＝90°﹣∠OHB，∠OHB＝∠AHC，∴∠CAO＝∠DBO，∵四邊形ABEF是正方形，∴OA＝OB，在△BOD和△AOC中，，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴OD＝OC＝2，∠BOD＝∠AOC，∵∠BOD+∠DOH＝90°，∴∠DOH+∠COA＝90°，即：∠COD＝90°，∴△COD是等腰直角三角形，∴CD＝2（勾股定理），OK＝∴BC＝2+2．∴S四邊形ACOB＝×AC×BC+×BC×OK＝×2×（2+2）+×（2+2）×＝3+8故答案為：3+8．三．解答題（共9小題）17．請選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2﹣2x﹣2＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x＝2，∴（x﹣1）2＝3，∴x＝1±；18．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得；（2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．【解答】解：（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．19．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】作出AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，再利用切線的判定方法求出∠ODB＝90°進(jìn)而得出BC為⊙O的切線．【解答】解：作圖正確（需保留線段AD中垂線的痕跡）．直線BC與⊙O相切．理由如下：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC．∴∠ODA＝∠DAC．∴OD∥AC．∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC．∴BC為⊙O的切線．20．已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5．（1）k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？（2）k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)題意得出AB、AC的長，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB＝AC，②AB＝BC，③BC＝AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值．【解答】解：（1）∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BC＝5，∴AB2+AC2＝25，∵AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴AB+AC＝2k+3，AB?AC＝k2+3k+2，∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB?AC，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，解得k＝2或﹣5（不合題意舍去）；（2）∵△ABC是等腰三角形；∴當(dāng)AB＝AC時(shí)，△＝b2﹣4ac＝0，∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0解得k不存在；當(dāng)AB＝BC時(shí)，即AB＝5，∴5+AC＝2k+3，5AC＝k2+3k+2，解得k＝3或4，∴AC＝4或6∴△ABC的周長為14或16．21．某網(wǎng)店銷售某款童裝，每件售價(jià)60元，每星期可賣300件，為了促銷，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售．市場調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣30件．已知該款童裝每件成本價(jià)40元，設(shè)該款童裝每件售價(jià)x元，每星期的銷售量為y件．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元？【分析】（1）根據(jù)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論；（2））設(shè)每星期利潤為y元，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得：y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100；（2）設(shè)每星期利潤為W元，根據(jù)題意可得：W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）＝﹣30（x﹣55）2+6750．則x＝55時(shí)，W最大值＝6750．故每件售價(jià)定為55元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤6750元．22．如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CF與OB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F，A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)H，且HF與AB的延長線交于點(diǎn)D．（1）求證：DF＝DE；（2）若tan∠OCE＝，⊙O的半徑為4，求AH的長．【分析】（1）連結(jié)OF，如圖，由切線性質(zhì)得∠1+∠2＝90°，再由OC⊥AB得∠C+∠4＝90°，然后利用等量代換得到∠1＝∠3，則根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）在Rt△OEC中利用正切定義求出OE＝OC＝2，設(shè)DF＝x，則DE＝x，根據(jù)勾股定理得到x2+42＝（x+2）2，解得x＝3，再利用切線長定理和切線性質(zhì)得到HF＝HA，DA⊥AH，設(shè)AH＝t，則HF＝t，則根據(jù)勾股定理得到t2+92＝（t+3）2，然后解方程即可．【解答】（1）證明：連結(jié)OF，如圖，∵DH為切線，∴OF⊥DH，∴∠1+∠2＝90°，∵OC⊥AB，∴∠C+∠4＝90°，∵OF＝OC，∴∠2＝∠C，而∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∴DE＝DF；（2）解：在Rt△OEC中，∵tan∠OCE＝，∴OE＝OC＝2，設(shè)DF＝x，則DE＝x，在Rt△OFD中，x2+42＝（x+2）2，解得x＝3，∴DF＝3，DO＝5，∵HF和HA為切線，∴HF＝HA，DA⊥AH，設(shè)AH＝t，則HF＝t，在Rt△DAH中，t2+92＝（t+3）2，解得t＝12，即AH的長為12．23．定義感知：我們把頂點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，且交于y軸上同一點(diǎn)的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，如圖所示的拋物線y1＝x2+2x+2與y2＝x2﹣2x+2是一對“孿生拋物線”．初步運(yùn)用：（1）判斷下列論斷是否正確？正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的則打“×”；①“孿生拋物線”的兩對稱軸一定關(guān)于y軸對稱．（√）②“孿生拋物線”的開口方向不一定相同．（×）（2）填空：拋物線y＝2x2﹣4x﹣1的“孿生拋物線”解析式為y＝2x2+4x﹣1．延伸拓展：在平面直角坐標(biāo)系中，記“孿生拋物線”的兩頂點(diǎn)分別為M，M′，且MM′＝4，“孿生拋物線”與y軸的交點(diǎn)A（0，1）到線段MM′的距離為2個(gè)單位長度，試求該“孿生拋物線”的解析式．【分析】初步運(yùn)用：（1）①根據(jù)“孿生拋物線”的定義即可求解；②由“孿生拋物線”的意義判斷即可；（2）由“孿生拋物線”的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，所以把解析式化成頂點(diǎn)式，求出其“孿生拋物線”；延伸拓展：由于MM′＝4，“孿生拋物線”與y軸的交點(diǎn)A（0，1）到線段MM′的距離為2個(gè)單位長度，可得M（2，﹣1），M′（﹣2，﹣1），或M（2，3），M′（﹣2，3），其“共點(diǎn)”A與M，M′，O三點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)面積為12的菱形，且MM′＝4，①開口向上時(shí)，求出M（﹣2，3），M′（2，3），設(shè)出“孿生拋物線”把共點(diǎn)A（0，1）代入即可求解．【解答】解：初步運(yùn)用：（1）①∵把頂點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，且交于y軸上同一點(diǎn)的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，∴“孿生拋物線”的兩對稱軸一定關(guān)于y軸對稱；②“孿生拋物線”的開口方向一定相同，原來的說法是錯(cuò)誤的．（2）∵拋物線y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴它的“孿生拋物線”為y＝2（x+1）2﹣3＝2x2+4x﹣1，延伸拓展：∵M(jìn)M′＝4，∴M（2，y），M′（﹣2，y），∵“孿生拋物線”與y軸的交點(diǎn)A（0，1）到線段MM′的距離為2個(gè)單位長度，∴M（2，﹣1），M′（﹣2，﹣1），或M（2，3），M′（﹣2，3），∴由此可設(shè)“孿生拋物線”的解析式為：y＝a（x+2）2﹣1與y＝a（x﹣2）2﹣1，∵點(diǎn)A（0，1）在“孿生拋物線”的圖象上，∴1＝a×（±2）2﹣1，∴a＝，∴“孿生拋物線”的解析式為：y＝（x+2）2﹣1與y＝（x﹣2）2﹣1；可設(shè)“孿生拋物線”的解析式為：y＝a（x+2）2+3與y＝a（x﹣2）2+3，∵點(diǎn)A（0，1）在“孿生拋物線”的圖象上，∴1＝a×（±2）2+3，∴a＝﹣，∴“孿生拋物線”的解析式為：y＝﹣（x+2）2+3與y＝﹣（x﹣2）2+3．故答案為：√；×；y＝2x2+4x﹣1．24．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，連接A1B交B1C于點(diǎn)D．①△BCB1的形狀是等邊三角形；A1B與B1C的位置關(guān)系是A1B⊥B1C；B1D與CD的數(shù)量關(guān)系是B1D＝CD；②直接寫出A1B的長是4+3；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長線上時(shí)．①求證：BB1∥CA1；②求△AB1C的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E是BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F1，請直接寫出線段EF1長度的最大值與最小值的差．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段的垂直平分線的判定即可解決問題．②求出BD、A1D即可解決問題；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明；②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答；（3）過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，和以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，得出最大和最小值解答即可；【解答】解：（1）①如圖1中，∵CB＝CB1，∠BCB1＝60°，∴△BCB1是等邊三角形，∴BC＝BB1，∵A1C＝A1B1，∴A1B垂直平分線段CB1，∴CD＝DB1，故答案