高考數(shù)學總復習題

高考數(shù)學總復習資料

復習目標：

1.掌握分類討論必須遵循的原則

2.能夠合理，正確地求解有關問題

命題分析：

分類討論是一種重要的邏輯方法，也是一種常用的數(shù)學方法，這可以培養(yǎng)學生思維

的條理性和概括性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學生分析問題，解決問題的能力.

因此分類討論是歷年數(shù)學高考的重點與熱點.而且也是高考的一個難點.這次的一?？荚囍校?/p>

尤其是西城與海淀都設置了解答題來考察學生對分類討論問題的掌握情況.

重點題型分析：

例L解關于X的不等式：》2+“3<5+/?(qwR)

解:原不等式可分解因式為：(x-a)(x--)<0

(下面按兩個根的大小關系分類)

(1)當a>a'na'-a〈O即O〈a〈l時，不等式的解為xe(a2,a).

(2)當a<a'na'-a〉O即a<0或a>l時，不等式的解為:xe(a,a2)

(3)a=a2=>a2-a=0即a=0或a=l時,不等式為x"<0或(xT)二。

不等式的解為XG0.

綜上，當(Xa〈l時，xe(a',a)

當a<0或a>l時，xe(a,a')

當a=0或a=l,時,xe0.

評述:抓住分類的轉折點，此題分解因式后，之所以不能馬上寫出解集，主要是不知兩

根誰大誰小，那么就按兩個根之間的大小關系來分類.

例2.解關于x的不等式ax2+2ax+l>0(aeR)

解:此題應按a是否為0來分類.

(1)當a=0時，不等式為1〉0,解集為R.

(2)aM時分為a>0與a〈0兩類

[a>0[?>0[a>0,

①<=><=><na>l時，方程ax'+2ax+l=0有兩

[/〉0[4tz2-4a>0[a(a-1)>0

根______________

-2a±y/Aa2-4a-a±yla2-a,』a(a-1)

X|,2=----------------=--------------=T±----------

2aaa

則原不等式的解為(-00,-1-"("T))U(-l+,+8).

aa

a>0fa>0[a>0

②<=><=><nO<a<l時，

/I<0[4a2-4a<0[0<a<1

方程ax2+2ax+l=0沒有實根，此時為開口向上的拋物線，則不等式的解為(-8,+8).

a>0fa>0[a>0

③<二><二><a=1時，

/=0[4a2-4a=0[a=0或a=1

方程ax°+2ax+l=0只有一根為x=T,則原不等式的解為(-8,T)U(-1,+oo).

a<0a<0[a<0

=><=<、=>a<0時,

/>04a2-4。>0[a<O^a>1

-2a±y]a(a-l)

2

方程ax+2ax+l=0有兩根,X1,2=-1±

2a-----------a

此時，拋物線的開口向下的拋物線，故原不等式的解為:

(-1+----------1-----------).

aa

a<0a<0[a<0

=>s=<=>〃￡(!)

2

zl<0i4a-4a<0、0<a<l

綜上:

當OWa〈l時，解集為(-00,+oo).

當a>1時，解集為(-00,-1-"(“T))U(-l+業(yè)(“7,+oo).

aa

當a=l時，解集為(-oo,T)U(T,+oo).

當a<0時，解集為(-1+心——--1-^——-).

aa

例3.解關于x的不等式ax2-222x-ax(a￡R)(西城2003'一模理科)

解:原不等式可化為oax2+(a-2)x-2^0,

(l)a=0時，xWT,即x￡(-8,-[].

(2)aM時，不等式即為(ax-2)(x+l)20.

2

①a>0時，不等式化為(x——)(%+1)>0,

a

。>0

2

當<2，即a>0時，不等式解為(-8,-1]UJ,+8).

->-la

a>0

當,2，此時a不存在.

-<-1

4

2

②水0時、不等式化為(％——)(x+l)<0,

a

\a<0

當《2，即-2<a<0時，不等式解為[一2,—1]

-<-la

Itz

a<0

2

當42，即a<-2時，不等式解為[—1,—].

->-la

a

[a<0

當42，即a=-2時，不等式解為x二-L

-=-1

綜上：

a=0時，x￡(-co,-1).

2

a>0時，xG(-oo,-l]U[—,+℃))-

a

-2<a<0時，xG1].

a

2

a<-2時,x￡[—1,—].

a

a=-2時，xW{x|x=T}.

評述:通過上面三個例題的分析與解答，可以概括出分類討論問題的基本原則為:

1"：能不分則不分；

2°:若不分則無法確定任何一個結果；

30:若分的話，則按誰礙事就分誰.

例4.已知函數(shù)f(xhcosl+asinx-a'+Za+S.有最大值2,求實數(shù)a的取值.

a3

:f(x)=l-sin2x+asinx-a:+2a+5=—(sinx--)2——a2+2〃+6.

24

令sinx=t,tG[-1,1].

則/?)=—?一$2一+2a+6(tw[-i,i]).

(1)當3>1即a>2時，t=l,y=-a3+3。+5=2

“ITluA

+工口/曰3+」21_p.3J21

解萬程得：a=-------或a=--------(舍).

22

2

(2)當一時，即一2WaW2時，t=-fvax=--a+2a+6=2,

224

4

解方程為：a=-一或a=4(舍).

3

(3)當@<一1即a<-2時,t=-l時,ymax=-a~+a+5=2

2

-1+V13

即a-a-3=0Va<-2,/.a=7全都舍去.

2

綜上，當”=3+0或q=_/時,能使函數(shù)f(x)的最大值為2.

23

例5.設{aj是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S.是其前n項和，證

.l°g0.5S"+logo.5S〃+2、…

明m：-----------------------g0-5Sc〃+l-

證明：(1)當q=l時，Sn=na]從而

22

s?-S"+2-S,3=nat-(?+2)為一(〃+I)a,=—a；<。

(2)當qWl時，S,=虹二心，從而

i-q

一aj(l一q，+l)2

s〃*s〃+2-s〃+i=9=~a\qn<0，

(If/

由(1)(2)得:SJS"+2<S3

???函數(shù)y=l嘀5為單調遞減函數(shù)?二"gf1+2—

例6.設一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此雙曲線的離心率.

分析：由雙曲線的漸近線方程，不能確定其焦點位置，所以應分兩種情況求解.

解：(1)當雙曲線的焦點在直線y=3時、雙曲線的方程可改為G一廳_.(了/3)二=],

ab

一條漸近線的斜率為2=2,；.b=2.；.6=￡=近五=』1"=有.

aaa5

（2）當雙曲線的焦點在直線x=i時，仿（1）知雙曲線的一條漸近線的斜率為q=2,

b

此時e=好

2

綜上（1）（2）可知，雙曲線的離心率等于行或好.

2

評述:例5,例6,的分類討論是由公式的限制條件與圖形的不確定性所引起的，而例1-4

是對于含有參數(shù)的問題而對參數(shù)的允許值進行的全面討論.

例7.解關于x的不等式542<1.

解:原不等式=5,<<5°

tz(l—X)[八(1—+Cl-2八、/c八

律>---------------------F1<0--------------<0(x—2)[(1—6f)x—(2-〃)]<0

工一2X-2

1-a>01-6F<0

l-a=O

或⑶<

O⑴或⑵?/—、/2-a.八2—〃、

(x-2)(l-2)<0(X-2XX-)<0(x—2)(%—>0

1一。

由(1)a=l時，x-2>0,即x￡(2,+8).

2-a

由⑵/<1時?，一->0,下面分為三種情況.

1-a

a<1，

a<12—a

?\l-a-<即*1時，解為（2,—）.

2

---->a<01一。

[\-a

a<\

a<1

(g)<2-a=>\=>〃=0時，解為0.

----=2a=0

[1-a

a<1

a<12-ci

2-a即0<a<l時，原不等式解為：（——,2）.

-----<2Q〉0\-a

A-ci

2—a

由（3）a>l時，——的符號不確定，也分為3種情況.

1-a

a>1

a>1

①.2-a=>v=>a不存在.

>2,<0

A-a

a>1(.

a>12—ci

?<2-a=>當a>l時,原不等式的解為：(-00,——)U(2,4-00).

----<2a>01-a

A-a

綜上：

a=l時，X￡(2,+8).

2—ct

時，x￡(2,-----)

1-a

a=0時,xe0.

2—a

0<a<l時，x￡(-----,2)

{-a

2—a..

a>1時，xG(—oo,----)U(2,+oo).

1—Cl

評述:對于分類討論的解題程序可大致分為以下幾個步驟：

1°:明確討論的對象，確定對象的全體；

20:確定分類標準，正確分類，不重不漏；

3°:逐步進行討論，獲得結段性結記；

4°:歸納總結，綜合結記.

課后練習：

1.解不等式log,(5——8x+3)>2

2.解不等式Ilog】xl+llog1(3—x)Kl

23

3.已知關于x的不等式的解集為M.

x-a

(1)當a=4時，求集合M:

(2)若3wM,求實數(shù)a的取值范圍.

4.在xOy平面上給定曲線y:2x,設點A坐標為(a,0),aeR,求曲線上點到點A距離的

最小值d,并寫成d=f(a)的函數(shù)表達式.

參考答案:

133

1.(-,-)U(->+oo)

252

2.居

(1)M為(-8,2)U(9,2)

3.

4

(2)ae(-oo,-|)U(9,+oo)

當a>1時

4.d=f(a)

當a<1時

2006年高三數(shù)學第三輪總復習函數(shù)押題針對訓練

復習重點：函數(shù)問題專題，主要幫助學生整理函數(shù)基本知識，解決函數(shù)問題的基本方法

體系，函數(shù)問題中的易錯點，并提高學生靈活解決綜合函數(shù)問題的能力。

復習難點：樹立數(shù)形結合的思想，函數(shù)方程的思想解決有關問題。

主要內容：

(-)基本問題

1.定義域2.對應法則3.值域

4.圖象問題5.單調性6.奇偶性（對稱性）

7.周期性8.反函數(shù)9.函數(shù)值比大小

10.分段函數(shù)11.函數(shù)方程及不等式

（二）基本問題中的易錯點及基本方法

1.集合與映射

＜1＞認清集合中的代表元素

＜2＞有關集合運算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的區(qū)別。還應注意空集的情形,

驗算端點。

2.關于定義域

〈1〉復合函數(shù)的定義域，限制條件要找全。

＜2＞應用問題實際意義。

＜3＞求值域，研究函數(shù)性質（周期性，單調性，奇偶性）時要首先考察定義域。

〈4＞方程，不等式問題先確定定義域。

3.關于對應法則

注：＜1＞分段函數(shù)，不同區(qū)間上對應法則不同

＜2〉聯(lián)系函數(shù)性質求解析式

4.值域問題

基本方法：＜1＞化為基本函數(shù)一一換元（新元范圍）。化為二次函數(shù)，三角函數(shù)，……并

結合函數(shù)單調性，結合函數(shù)圖象，求值域。

Xh

＜2＞均值不等式：一一形如和，積，及/（x）=-+±形式。注意識別及應用條件。

ax

＜3＞幾何背景：一一解析幾何如斜率，曲線間位置關系等等。

易錯點：＜1＞考察定義域

＜2＞均值不等式使用條件

5.函數(shù)的奇偶性，單調性，周期性。

關注問題：＜1＞判定時，先考察定義域。

〈2＞用定義證明單調性時，最好是證哪個區(qū)間上的單調性，在哪個區(qū)間上任取xi及制。

＜3＞求復合函數(shù)單調區(qū)間問題，內、外層函數(shù)單調區(qū)間及定義域，有時需分類討論。

＜4＞由周期性及奇偶性（對稱性）求函數(shù)解析式。

＜5＞“奇偶性”+“關于直線x=k”對稱，求出函數(shù)周期。

6.比大小問題

基本方法：＜1〉粗分。如以“0”，“1”，“T”等為分界點。

＜2＞搭橋〈3＞結合單調性，數(shù)形結合

〈4＞比差、比商〈5＞利用函數(shù)圖象的凸凹性。

7.函數(shù)的圖象

基本函數(shù)圖象

＜2＞圖象變換①平移②對稱（取絕對值）③放縮

易錯點：復合變換時，有兩種變換順序不能交換。如下：

〈1》取絕對值（對稱）與平移

例：由y=?圖象，經過如何變換可得下列函數(shù)圖象？

＜1＞y=yj\x\-l＜2＞y=y]\x-l\

分析：<1>y-Vx—"1>y-Jx-l—步??-?y-J|X|-1.

平移對稱

＜2＞y=?-x拱工.〉y二-*1＞y=x-lI.

對稱

評述：要由y=?得到y(tǒng)=J?匚T只能按上述順序變換，兩順序不能交換。

〈11＞平移與關于y=x對稱變換

例：y=f(x+3)的反函數(shù)與y=f'(x+3)是否相同？

分析：①y=f(x)fJy=f(x+3)-f(x+3)的反函數(shù)。

@y=㈤.＞y=/T(x)"fxt3(x+3).

對稱平移

，兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)(也可以用具體函數(shù)去驗證。)

(三)本周例題：

X

例L判斷函數(shù)/(%)=(1+tgx?次］)?sinX的奇偶性及周期性。

X.71

—W攵兀+一xw2kn+兀

22

分析：＜1＞定義域:=><%(kGZ)

7兀XKTI+—

%w上兀+一I2

2

???f(x)定義域關于原點對稱，如圖:

—

LA/、八1COSX..

又/(x)=(1+tgx---；----)sinx=tgx-2n-71071如X

sinx

/.f(-X)=-f(x),

f(x)周期九的奇函數(shù)。

評述：研究性質時關注定義域。

例2.＜1＞設f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+3)=———,又當xc［-3,-2］時，

fW

f(x)=2x,求f(113.5)的值。

＜2＞已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當xW(0,1)時，f(x)=x+l.求f(x)在(1,2)

上的解析式。

解：/(x+3)=--------

/(x)

…)=-卷=小)'

f(x)周期T=6,

f(113.5)=f(6x19-0.5)=f(-0.5).

當xG(-1,0)時，x+3S(2,3).

xe(2,3)時，f(x)=f(-x)=2x.

f(x+3)=-2(x+3).

11

二/(x)

/(x+3)2(x+3)

1_1

2x(-12+3)5

2

<2>(法1)(從解析式入手)

,:x￡(l,2),則一x￡(-2,T),

???2-xe(0,1),?:T=2.

f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+l=3-x.

/.f(x)=3-x,xG(1,2).

小結：由奇偶性結合周期性，將要求區(qū)間上問題轉化為已知解析式的區(qū)間上。

(法2)(圖象)

f(x)=f(x+2)

如圖：x￡(0,1),f(x)=x+l.

xG(-1,0)ff(x)=-x+l.

xG(1,2)ff(x)=-(x-2)+l=3-x.

注：從圖象入手也可解決，且較直觀。

例3.<1>若xG(l,2)時，不等式(x-l)2(log“x恒成立，求a的取值范圍。

<2>已知二次函數(shù)f(x)=x、ax+5對任意t都有f(t)=f(-4-t),且在閉區(qū)間Z[m,0]上有

最大值5,最小值1,求m的取值范圍。

2

分析：〈1>設yi=(x-1),y2=log?x

xe(1,2),即xe(1,2)時,曲線yi在yz的下方,如圖：

a=2時,xW(1,2)也成立,AaE(1,2].

小結：①數(shù)形結合②變化的觀點

③注意邊界點，a=2,x取不到2,...仍成立。

<2>Vf(t)=f(-4-t),f(-2+t)=f(-2-t)

f(x)圖象關于x=-2對稱，a=4,，f(x)=X2+4X+5.

f(x)=(x+2),+l,動區(qū)間：[m,0],

*/xG[m,0],[f(x)]m?=5,[f(x)]mi?=l,

.*.m6[-4,0].

小結：函數(shù)問題，充分利用數(shù)形結合的思想，并應用運動變化的觀

點研究問題。如二次函數(shù)問題中常見問題，定函數(shù)動區(qū)間及動函數(shù)和定區(qū)間，

但兩類問題若涉及函數(shù)最值，必然要考慮函數(shù)的單調區(qū)間，而二次函數(shù)的單

調性研究關鍵在于其圖象對稱軸的位置。以發(fā)展的眼光看，還可解決一類動

直線定曲線相關問題。

X—5

例4.己知函數(shù)/(x)=log0土上，(">0且4W1).

x+5

⑴判定f(x)在xW(-8,-5)上的單調性，并證明。

(11)設8G)=1+1。甌&-3),若方程f(x)=g(x)有實根，求a的取值范圍。

分析：⑴任取xi<x《-5,

i七一5x,-5區(qū)-5)5+5)

則：/(X,)-/(X2)=loga-i---10ga-^―=log"2

Xj+5x24-5(11+5)(九2-5)

,:(xi-5)(X2+5)-(XI+5)(X2-5)=1O(X1-X2)<O

又(xi-5)(X2+5)>0且(xi+5)(X2-5)>0

0<(?]-5)(尤2+5)<]

區(qū)+5)(X2-5)

/.當a>l時，f(xi)-f(x2)<0,f(x)單調遞增，

當0〈a〈l時，f(xi)-f(X2)>0,；?f(x)單調遞減。

x—5

(H)若f(x)=g(x)有實根，即：log”——-=l+log(x-3)o

x+5a

士^>0

x+5=>x>5.

x-3>0

x—5

???即方程：上」=。(工一3)有大于5的實根。

x+5

,壯%一5(%-5)

(法1)a=-----------------=-----------------------------(.x>5)

(x-3)(x+5)(x-5+2)(x-5+10)

3-V5

x—5_______1_______<1l

(x—5)2+12(x—5)+20(一)+&+】2、2+2病16

16

x—5

(法2)(實根分布)上二二a(x—3)(1)有大于5的實根,

1+5

方程(1)化為：ax2+(2a-l)x-15a+5=0.

a>0,△=64aZ-24a+lN0.

J>5

①有一根大于54=>(|).

[/⑸<0

zl>0L

3-V5

②兩根均大于</(5)>0=>ae(0,——］.

16

1-2a_

------>5

I2a

小結：實根分布即利用二次函數(shù)圖象及不等式組解決問題。用此數(shù)形結合方法解決

問題時，具體步驟為：①二次函數(shù)圖象開口方向。②圖象對稱軸的位置。③圖象與X軸交點。

④端點函數(shù)值的符號。此題(2)中，也可以用韋達定理解決。

小結：

函數(shù)部分是高考考察重點內容，應當對其予以充分的重視，并配備必要例題，理順

基本方法體系。

練習：

已知f(X)是定義在［T,1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若m,n￡［T,1］,m+nWO時，有

>Uo

m+n

<1>用定義證明f(x)在［-1,1］上是增函數(shù)。

<2>若f(x)W/-2at+l對所有aG［-1,1］恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。

參考答案：

(2)11122或t=0.

2006年高三數(shù)學第三輪總復習排列與組合押題針對訓練

授課內容：復習排列與組合

考試內容：兩個原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式。

考試要求：1)掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析和解決一些簡單的問

題。

2)理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式，并能用它們

解決一些簡單的問題。

試題安排：一般情況下，排列組合為一道以選擇或填空題的形式出現(xiàn)的應用題。有時還

另有一道排列、組合與其他內容的綜合題(大都與集合、立體幾何、不等式證明等相綜合)。

重點：兩個原理尤其是乘法原理的應用。

難點：不重不漏。

知識要點及典型例題分析：

1.加法原理和乘法原理

兩個原理是理解排列與組合的概念，推導排列數(shù)及組合數(shù)公式；分析和解決排列與

組合的應用問題的基本原則和依據；完成一件事共有多少種不同方法，這是兩個原理所要回

答的共同問題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類辦法和需要分幾個步驟。

例1.書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。

解：(1)由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應分類，由于有3種書，則

分為3類然后依據加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。

(2)由于從書架上任取數(shù)學書、語文書、英語書各1本，需要分成3個步驟完成,

據乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3X5X6=90(種)。

(3)由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況(數(shù)語各1本，數(shù)英

各1本，語英各1本)而在每一類情況中又需分2個步驟才能完成。故應依據加法與乘法兩

個原理計算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3X5+3X6+5X6=63鐘

例2.已知兩個集合A={1,2,3},B={a,b,c,d},從A到B建立映射，問可建立多少個

不同的映射？

分析：首先應明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對A中的每一個元素，在

B中都有唯一的元素與之對應?！?/p>

因A中有3個元素，則必須將這3個元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，

應分3個步驟，當這三個步驟全進行完，一個映射就被建立了，據乘法原理，共可建立不同

的映射數(shù)目為：5X5X5=53種)。

2.排列數(shù)與組合數(shù)的兩個公式

排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計算；

二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡與證明。

連乘積的形式階乘形式

n!

Pra=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=----:——

n(n-m)!

rm_n(n-l)(n-2)...(n-m+1)_n!

C-n=

m(m-1)....3-2-1

例3.求證:PJ+mP「=PM

證明：左邊二一+m——-——

(/I-m)!(/i-m+l)!

_(n-m+l)n!+mn!

(n-m+1)!

(n+1)!

[(n+l)-m]!

=p2=右邊

等式成立。

評述：這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質。

n!(n+l)=(n+l)!.可使變形過程得以簡化。

例4.解方程=140P；.

解：原方程可化為:

2x+1>4

x>3

o<

xeN

(2x+l)2x(2x-l)(2x-2)=140x(x-l)(x-2)

x>3

Olx￡N

(2x+1)(2%-1)=35(%-2)

x>3

o<xeN解得x=3.

4x2-35x+69=0

評述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號時，要注

意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關系以及它們都屬自然數(shù)的這重

要限定寫在脫掉符號之前。

3.排列與組合的應用題

歷屆高考數(shù)學試題中，排列與組合部分的試題主要是應用問題。一般都附有某些限

制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應用問題的內容和情景是多種多

樣的而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。

一般方法有：直接法和間接法

(1)在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據加法原理，可用分類法；

若問題考慮先后次序，據乘法原理，可用占位法。

(2)間接法一般用于當問題的反面簡單明了，據AU^=I且AC^=0的原理，采

用排除的方法來獲得問題的解決。

特殊方法：

(1)特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。

(2)捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結合粘成小組，組

內外分別排列。

(3)插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實

位，在空位上進行排列。

(4)其它方法。

例5.7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。

(1)甲排中間；(2)甲不排兩端；(3)甲，乙相鄰；

(4)甲在乙的左邊(不要求相鄰)；(5)甲，乙，丙連排；

(6)甲，乙，丙兩兩不相鄰。

解：(1)甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故

共有：IX"=720種不同排法。

(2)甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個位置上任何

一個位置則有8種，其余6人可任意排列有以種，故共有丹?琛=3600種不同排法。

(3)甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個“元素”，連同其余5人共6

個元素任意排列，再由甲、乙組內排列，故共有"?Pz'MOO種不同的排法。

(4)甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列/V中：“甲在乙左邊”

與“甲在乙右邊”的排法是一一對應的，在不要求相鄰時，各占所有排列的一半，故甲在乙

的左邊的不同排法共有g可=2520種。

(5)甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將

甲、乙、丙合為一個“元素”，連同其余4人共5個''元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交

換位置，故共有片.8=720種不同排法。

（6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空

法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個“空再將甲、

乙、丙插入其中的三個“空”，故共有外.片=1440種不同的排法。

例6.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)

的個數(shù)：

（1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)；

（4）不含數(shù)字0,且1,2不相鄰的數(shù)。

解：（1）奇數(shù)：要得到一個5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個位必須是奇數(shù)，從

1,3,5中選出一個數(shù)排列個位的位置上有8種；第二步考慮首位不能是0,從余下的不是

。的4個數(shù)字中任選一個排在首位上有￡種；第三步：從余下的4個數(shù)字中任選3個排在

中間的3個

數(shù)的位置上，由乘法原理共有P；P：印=388（個）。

（2）5的倍數(shù)：按0作不作個位來分類

第一類：0作個位，則有"=120。

第二類：0不作個位即5作個位，則￡q=96。

則共有這樣的數(shù)為："+￡丹=216個）。

（3）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類：

第一類：3xxxx,4xxxx,5xxxx有3gt個；

第二類：21xxx,23xxx,24xxx,25xxx,的48個：

第三類：203xx,204xx,205xx,有38個，因此，比20300大的五位數(shù)共有：

3A4+46+3舄2=474（個）。

（4）不含數(shù)字0且1,2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將3,4,5三個數(shù)字排

成一行；第二步將1和2插入四個“空”中的兩個位置，故共有片?4=72個不含數(shù)字0,

且1和2不相鄰的五位數(shù)。

例7.直線與圓相離，直線上六點Ai,A：i,A,,As,As,圓上四點B”Bs,B“任

兩點連成直線，問所得直線最多幾條？最少幾條？

解：所得直線最多時，即為任意三點都不共線可分為三類：第一類為已知直線上與圓上

各取一點連線的直線條數(shù)為=24；第二類為圓上任取兩點所得的直線條數(shù)為=6；第

三類為已知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為M=C：C：+C：+1=31條）。

所得直線最少時，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字數(shù)較為方便，而重合

的直線即是由圓上取兩點連成的直線，排除重復，便是直線最少條數(shù)：

N2=N1-2C4=31-12=19條）?

2006年高三數(shù)學第三輪總復習三角函數(shù)的定義與三角變換押題針對訓練

內容：三角函數(shù)的定義與三角變換

重點：任意角的三角函數(shù)定義

難點：三角變換公式的應用

內容安排說明及分析：

本部分內容分為兩大塊，一塊是三角的基礎與預備知識，另一塊是三角變換公式及其應

用。把三角變換公式提到三角函數(shù)圖象與性質之前來復習，其目的是突出“工具提前”的原

則。即眾多的三角變換公式是解決三角學中一系列典型問題的工具，也是進一步研究三角函

數(shù)的圖象和性質的重要工具。

由于本部分內容的基礎性與工具性，這是高中數(shù)學的重要內容之一，因此，最近幾年的

高考試題中占有一定的比例，約占13%左右。有試題多為選擇題，有時也有解答題，難度多

為容易題與中等題。

知識要點及典型例題分析：

一、三角函數(shù)的定義

1.角的概念

(1)角的定義及正角，負角與零角

(2)象限角與軸上角的表達

(3)終邊相同的角

(4)角度制

(5)弧度制

2.任意角的三角函數(shù)定義

任意角的6個三角函數(shù)定義的本質是給角這個幾何量以代數(shù)表達。借助直角坐標系這個

工具，把角放進直角坐標系中完成的。由任意角的三角函數(shù)定義直接可以得到：

(1)三角函數(shù)的定義域

(2)三角函數(shù)值在四個象限中的符號

(3)同角三角函數(shù)的關系

(4)單位圓中的三角函數(shù)線：要充分利用三角函數(shù)線在記憶三角函數(shù)性質與公式以及

解決三角函數(shù)問題中的作用。

3.誘導公式

總共9組共36個公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號看象限”，并弄清口決中的字詞

含義，并根據結構總結使用功能。

“奇變”是指所涉及的軸上角為工的奇數(shù)倍時(包括4組：-±a,—±a)函數(shù)名稱

222

變?yōu)樵瓉砗瘮?shù)的余函數(shù)；其主要功能在于：當需要改變函數(shù)名稱時，比如：由于“和差化積”

公式都是同名函數(shù)的和差。使用時，對于不同名的函數(shù)先化為同名函數(shù)，又如：復數(shù)化三角

形式,有時也需要改變函數(shù)名稱，如：sina-icosa=cos(—+a)+isin(—+a)o

22

“偶不變”是指所涉及的軸上角為工的偶數(shù)倍時(包括5組：2kn+a,兀士a,2ka,-a),

2

函數(shù)名稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡及某些證明問題。

二、典型例題分析：

例1.⑴已知《<a*',求a+(J與a邛的范圍。

(2)已知a的終邊在第二象限，確定兀-a所在象限。

■JTTT

解：(1)V--<a<p<y,.,.-7t<a+p<rt,-n<a-p<0.

(2)有兩種思路：其一是先把a的終邊關于x軸對稱放到-a的終邊(在第三象限)，再

將-a的終邊按逆時方向旋轉兀放到兀-a的終邊即-a的終邊的反向延長線，此時兀-a的終邊也

在第二象限。

思路2：是先把a的終邊(第二象限)按順時針方向旋轉兀，得到a+(F)(第四象限)，

再將它關于x軸對稱得到-(aF)F-a的終邊，此時也在第一象限。

例2.若人=僅限=紅，keZ},B={x|x=—+—,keZ),則AB?

424

解：由B中的x=^+^=(2fc+1>可視為-的奇數(shù)倍所構成的集合。

2444

而A中的x="是工的所有奇數(shù)倍，因此AnB。

44

例3.設0〈。<2兀，問50與角。終邊相同，求6。

解：由已知5e=2kn+e,keZ,有*竺，

2

33萬

*/0<0<2K,，k=l時，6=-；k=2時，6=兀；k=3時，Q=—.

_______22

例4.若1二cos[=ct『esc。,求。取值范圍。

V1+COS0

解：先看一看右邊=ctgo-csce=*--!-=X」，這樣就決定了左邊的變形方向。

sin0sin0sin0

/1-cos^_/(I-cos^)21(1-cos^)2

V1+cos^V1-cos20vsin2<9'

..1(1-cos6)2cosO—1.fcos6^-l>0|cos6=l

Vsin20sin。[sin9>0[sin0>0

???不存在這樣的。使所給等式成立。

例5.已知sin(jt-a)-cos(rc+a)=旦

,—<a<7r.

32

求：(1)sina-cosa的值(2)sii?(工+a)+cos“工+a)的值