基本不等式（第2課時(shí)）講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

基本不等式（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)能利用基本不等式求最值【知識(shí)點(diǎn)框架】一、利用基本不等式求最值(1)已知都是正數(shù),則:①如果積是定值,那么當(dāng)時(shí),和x+y有最小值；②如果和是定值,那么當(dāng)時(shí)，積xy有最大值.(可簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大).(2)利用此公式求最值，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①各項(xiàng)均為正數(shù)；②其和或積為常數(shù)；③等號(hào)必須成立.即“一正，二定，三相等”.思考：兩個(gè)正數(shù)的積為定值，它們的和一定有最小值嗎?【例題練習(xí)】題型一：含一個(gè)變量的代數(shù)式的最值例1.(1)對(duì)于代數(shù)式；①當(dāng)時(shí)，求其最小值；②當(dāng)時(shí)，求其最大值.(2)已知,求的最小值.(3)已知,求的最大值.(4)已知,求的最大值.(5)已知,求的最小值.總結(jié)：利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件.解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知條件和欲求的式子，運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件，具體可以歸納為：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；二不定，應(yīng)湊出定和或定積；三不等，一般需用其他方法，如嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性.練習(xí)：1.設(shè),則的最大值是()B.C.2.設(shè),求的最小值.3.設(shè),求的最大值.題型二：含兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值例2(1)已知,且,求的最大值.(2)已知,且,求的最小值.(3)若正數(shù)滿足,則的最小值是()A.B.C.5

總結(jié)：(1)拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：①拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形.②代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)。③拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提。(2)常數(shù)代換法求最值的方法步驟：常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題.應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).②把確定的定值(常數(shù))變形為1.③把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.④利用基本不等式求解最值.(3)對(duì)含有多個(gè)變量的條件最值問題.若無法直接利用基本不等式求解，可嘗試減少變量的個(gè)數(shù)，即用其中一個(gè)變量表示另一個(gè)，再代入代數(shù)式中轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的最值問題.練習(xí)：1.已知,且.求的最大值.2.已知均為正數(shù),且,則的最小值為.3.若是正數(shù),則的最小值是（）A.3

B.

D.4.已知,則的最小值為.【課后鞏固】,則函數(shù)（）A.有最大值4

C.有最大值—2

,且,則的最大值為（）.A.80

C.81

在處取得最小值，則等于（）

B.72

C.4

,且,則的最大值為（）A.16

B.25

C.9

,則的最小值是（）A.

C.【課外拓展】基本不等式的變形技巧技巧一：裂項(xiàng)例1.設(shè),求的最小值.【分析】先盡可能地讓分子的變量項(xiàng)和分母相同(常用于分子所含變量因子的次數(shù)比分母所含變量因子的次數(shù)大或相等)，然后裂項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求和的最值，進(jìn)而湊定積(即使得含變量的因子x+1的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào)).技巧二：添項(xiàng)例2.求函數(shù)的最小值.【分析】當(dāng)求和的最小值時(shí)，盡可能湊定積，本題需添6，再減6.技巧三：放入根號(hào)內(nèi)或兩邊平方例