第02講 垂徑定理-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試（滬教版）（解析版）

第02講垂徑定理目錄考點(diǎn)一：垂徑定理考點(diǎn)二：垂徑定理的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】一．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【考點(diǎn)剖析】一．垂徑定理（共16小題）1．（2021春?徐匯區(qū)月考）過(guò)⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為6cm，最短的弦長(zhǎng)為4cm，則OM的長(zhǎng)為cm．【分析】圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦為直徑，最短的弦是過(guò)點(diǎn)M且與這條直徑垂直的弦，由勾股定理和垂徑定理求解即可．【解答】解：如圖，∵AB＝6cm，CD＝4cm，∴由垂徑定理OC＝3cm，CM＝2cm，∴由勾股定理得OM＝＝＝cm，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了垂徑定理和勾股定理．解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行計(jì)算．2．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）在半徑為13cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長(zhǎng)為24cm，另一條弦長(zhǎng)為10cm，則這兩條弦之間的距離為17或7cm．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【解答】解：有兩種情況：①如圖，當(dāng)AB和CD在O的兩旁時(shí)，過(guò)O作MN⊥AB于M，交CD于N，連接OB，OD，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂徑定理得：BM＝AB＝12，DN＝CD＝5，∵OB＝OD＝10，由勾股定理得：OM＝＝5，同理ON＝12，∴MN＝5+12＝17，②當(dāng)AB和CD在O的同旁時(shí)，MN＝12﹣5＝7．故答案為：17或7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行計(jì)算．3．（2022?楊浦區(qū)三模）已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半徑長(zhǎng)為5，AB長(zhǎng)為4，那么圓心O到弦AB的距離是．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，由垂徑定理可得出AD的長(zhǎng)，在Rt△OAD中，利用勾股定理及可求出OD的長(zhǎng)．【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵AB＝4，∴AD＝AB＝×4＝2，在Rt△OBD中，∵OA＝5，AD＝2，∴OD＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022春?徐匯區(qū)期中）已知正三角形ABC的弦心距為a，那么△ABC的周長(zhǎng)是6a.（用含a的式子表示）．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用30°角的正切得到BD，由垂徑定理得到BC，進(jìn)而可得周長(zhǎng)．【解答】解：如圖，由題意得，OD＝a，∠OBD＝30°，∴tan30°＝，∴BD＝＝a，由垂徑定理得，BC＝2BD＝2a，∴△ABC的周長(zhǎng)是6a，故答案為：6a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正三角形的性質(zhì)、邊心距、半徑、周長(zhǎng)和面積的計(jì)算；熟練掌握正三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，它所對(duì)應(yīng)的弦心距為4，那么半徑OA＝．【分析】作出圖形，先求出弦的一半的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：作OC⊥AB，垂足為C，∴OC＝4，AC＝AB＝4，根據(jù)勾股定理可得：OA＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理求AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)D．如果CD＝4，AB＝16，那么OC＝10．【分析】根據(jù)垂徑定理可得AD＝AB＝8，∠ADO＝90°，設(shè)CO＝x，則AO＝x，DO＝x﹣4，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可．【解答】解：∵半徑OC垂直于弦AB，∴AD＝AB＝8，∠ADO＝90°，設(shè)CO＝x，則AO＝x，DO＝x﹣4，x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴CO＝10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三條邊所截得弦長(zhǎng)相等，則∠BOC＝（）A．110° B．115° C．120° D．125°【分析】過(guò)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF、OB、OC，根據(jù)垂徑定理和已知求出DM＝KQ＝FN，根據(jù)勾股定理求出OM＝ON＝OQ，可得點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心即可解決問題．【解答】解：過(guò)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF、OB、OC，設(shè)AB，AC，BC與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，H，G．由垂徑定理得：DM＝DE，KQ＝KH，F(xiàn)N＝FG，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN，∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，即O到三角形ABC三邊的距離相等，∴O是△ABC的內(nèi)心，∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠BOC＝115°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的內(nèi)心的判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半徑為2．【分析】先證明△AFO和△BCE是等邊三角形，設(shè)DE＝x，根據(jù)CD＝5列方程，求出x得到AD＝，從而得解．【解答】解：如圖，記DC與⊙O交于點(diǎn)F，連接AF、OF、OB，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AB于點(diǎn)T，連接OE，OT．∵D為半徑OA的中點(diǎn)，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等邊三角形，∴CE＝CB＝BE，設(shè)DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD＝，∴AO＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CBE是等邊三角形．9．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)P是y軸正半軸上一點(diǎn)，以P為圓心的圓與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，9）．【分析】首先連接AP，然后設(shè)⊙P的半徑為x，由勾股定理可求得半徑的長(zhǎng)，繼而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：連接AP，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1），∴OA＝3，OC＝1，設(shè)⊙P的半徑為x，則OP＝PC﹣OC＝x﹣1，在Rt△AOP中，OA2+OP2＝AP2，即32+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝5，∴PD＝5，OP＝x﹣1＝4，∴OD＝OP+PD＝9，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，9）．故答案為：（0，9）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．10．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝．【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑，OF⊥CD，和垂徑定理可得CF＝DF，再根據(jù)30度角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，和勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理可知：CF＝DF，∵∠CEA＝30°，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2，EF＝，∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，∴CD＝2DF＝10﹣2．故答案為：10﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．11．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，弦AC與半徑OB互相平分，那么∠AOC度數(shù)為120度．【分析】首先根據(jù)垂徑定理得到OA＝AB，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求出∠AOC的度數(shù)．【解答】解：∵弦AC與半徑OB互相平分，∴OA＝AB，∵OA＝OC，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，故答案為120．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△OAB是等邊三角形，此題難度不大．12．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，圓O經(jīng)過(guò)平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D，且圓心O在平行四邊形ABCD的外部，tan∠DAB＝，D為弧AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為5，求平行四邊形的面積．【分析】連接OD，交AB于點(diǎn)E，連接OA，由D為弧AB的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，E為AB的中點(diǎn)，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE＝2DE，設(shè)DE＝x，則有AE＝2x，由半徑為5，得到OA＝OD＝5，由OD﹣DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與DE的長(zhǎng)，利用平行四邊形的面積公式即可求出面積．【解答】解：連接OD，交AB于點(diǎn)E，連接OA，如圖所示，∵D為的中點(diǎn)，∴OD⊥AB，∴E為AB的中點(diǎn)，即AE＝BE，在Rt△ADE中，tan∠DAB＝＝，設(shè)DE＝x，OA＝OD＝5，則AE＝2x，OE＝OD﹣DE＝5﹣x，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，即25＝4x2+（5﹣x）2，解得：x＝0（舍去）或x＝2，∴AE＝4，DE＝2，∴AB＝2AE＝8，則S平行四邊形ABCD＝AB?DE＝8×2＝16．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．13．（2020?普陀區(qū)二模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交邊DC于E、F兩點(diǎn)，AD＝1，BC＝5，設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r．（1）聯(lián)結(jié)OF，當(dāng)OF∥BC時(shí)，求⊙O的半徑長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為點(diǎn)H，設(shè)OH＝y(tǒng)，試用r的代數(shù)式表示y；（3）設(shè)點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OG、OD，△ODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出r的值；如不能，試說(shuō)明理由．【分析】（1）證OF為梯形ABCD的中位線，得出r＝OF＝（AD+BC）＝3即可；（2）連接OD、OC，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，則CM＝BC﹣BM＝4，由勾股定理得出DC＝2，由四邊形ABCD的面積＝△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，進(jìn)而得出答案；（3）證OG是梯形ABCD的中位線，得出OG∥AD，OG＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得OD＝，分三種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，∴OF為梯形ABCD的中位線，∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，即⊙O的半徑長(zhǎng)為3；（2）連接OD、OC，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，如圖1所示：則BM＝AD＝1，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DC＝＝＝2，∵四邊形ABCD的面積＝△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，整理得：y＝；（3）△ODG能成為等腰三角形，理由如下：∵點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，OA＝OB，∴OG是梯形ABCD的中位線，∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得：OD＝＝，分三種情況：①DG＝DO時(shí)，則＝，無(wú)解；②OD＝OG時(shí)，如圖2所示：＝3，解得：r＝2；③GD＝GO時(shí)，作OH⊥CD于H，如圖3所示：∠GOD＝∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO＝∠GOD，∴∠ADO＝∠GDO，在△ADO和△HDO中，，∴△ADO≌△HDO（AAS），∴OA＝OH，則此時(shí)圓O和CD相切，不合題意；綜上所述，△ODG能成為等腰三角形，r＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．14．（2021?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圓O的半徑長(zhǎng)．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OD，根據(jù)垂徑定理解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OD，∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，在Rt△OEM中，∵OE＝4，∴，，∵，∴，∵OM過(guò)圓心，OM⊥CD，∴CD＝2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的長(zhǎng)為，⊙O的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理和直角三角形．有關(guān)弦、半徑、弦心距的問題常常利用它們構(gòu)造的直角三角形來(lái)研究，所以連半徑、作弦心距是圓中的一種常見輔助線添法．15．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB＝CD，已知CE＝2，ED＝6，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【分析】過(guò)點(diǎn)O分別作AB、CD的垂線OM、ON，則四邊形OMEN是正方形，利用垂徑定理即可求得OM，AM的長(zhǎng)度，然后在直角△AOM中利用勾股定理即可求得OA的長(zhǎng)度．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O分別作AB、CD的垂線OM、ON，則四邊形OMEN是矩形，連接OA．∵AB＝CD，AB⊥CD，∴OM＝ON，∴矩形OMEN是正方形．∵CE＝2，ED＝6，∴CD＝2+6＝8，∵ON⊥CD∴CN＝CD＝4，∴EN＝OM＝2，同理：AM＝4．在直角△AMO中，OA＝＝＝2．∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，利用垂徑定理可以把求弦長(zhǎng)以及半徑的計(jì)算轉(zhuǎn)化成求直角三角形的邊長(zhǎng)的計(jì)算．16．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長(zhǎng)線上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點(diǎn)M、N．（1）求線段OD的長(zhǎng)；（2）若tan∠C＝，求弦MN的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出OD的長(zhǎng)；（2）過(guò)O作OE⊥CD，連接OM，由垂徑定理可知ME＝MN，再根據(jù)tan∠C＝可求出OE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出ME的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案．【解答】解：（1）∵CD∥AB，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴＝，即＝，又OA＝3，AC＝2，∴OB＝3，∴＝，∴OD＝5；（2）過(guò)O作OE⊥CD，連接OM，則ME＝MN，∵tan∠C＝，即＝，∴設(shè)OE＝x，則CE＝2x，在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，即52＝x2+（2x）2，解得x＝，在Rt△OME中，OM2＝OE2+ME2，即32＝（）2+ME2，解得ME＝2．∴MN＝4，答：弦MN的長(zhǎng)為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．二．垂徑定理的應(yīng)用（共5小題）17．（2019秋?青浦區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)弓形橋洞截面示意圖如圖所示，弦AB是水底，弦CD表示水面，EF過(guò)圓心O且EF⊥AB，EF＝AB＝24米，CD∥AB．（1）當(dāng)水深GF為19米時(shí)，求此時(shí)水面CD的寬；（2）若水面下降，當(dāng)水面CD的寬為12米時(shí)，求此時(shí)水深．【分析】（1）連接OA、OC，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出各條線段的長(zhǎng)；（2）若水面下降，當(dāng)水面CD的寬為12米時(shí)，CG＝6米，分兩種情況討論，當(dāng)CD在O點(diǎn)上方時(shí)，水深GF＝9+3＝12米，當(dāng)CD在O點(diǎn)下方時(shí)，水深GF＝9﹣3＝6米．【解答】解：（1）如圖，連接OA、OC，∵EF⊥AB，EF過(guò)圓心O，∴AB＝24，∴AF＝AB＝12，設(shè)圓O的半徑為r，則OF＝24﹣r，在Rt△AOF中，OF2+AF2＝OA2，∴122+（24﹣r）2＝r2，解得r＝15，∵∵GF＝19，∴OF＝9，OG＝10，∵CD∥AB，∴∠CGO＝∠BFO＝90°，∴CG＝＝＝5，∴CD＝2CG＝10，∴當(dāng)水深GF為19米時(shí)，求此時(shí)水面CD的寬為10米．（2）若水面下降，當(dāng)水面CD的寬為12米時(shí)，CG＝6米，∴OG＝＝＝3米，∵OF＝9米，∴當(dāng)CD在O點(diǎn)上方時(shí)，水深GF＝9+3＝12米，當(dāng)CD在O點(diǎn)下方時(shí)，水深GF＝9﹣3＝6米，答：若水面下降，當(dāng)水面CD的寬為12米時(shí)，此時(shí)水深為12米或6米．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，靈活運(yùn)用垂徑定理求相關(guān)線段長(zhǎng)．18．（2022春?松江區(qū)校級(jí)期中）鏟車輪胎在建筑工地的泥地上留下圓弧形凹坑如圖所示，量得凹坑跨度AB為80cm，凹坑最大深度CD為20cm，由此可算得鏟車輪胎半徑為50cm．【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理可知．【解答】解：將圓弧補(bǔ)全，如左圖．根據(jù)垂徑定理，BD＝AB＝×80＝40cm設(shè)半徑為R，則OD＝（R﹣20）cm，根據(jù)勾股定理得：（R﹣20）2+402＝R2，解得R＝50cm．鏟車輪胎半徑為50cm．【點(diǎn)評(píng)】解答此題要先補(bǔ)全圖形，根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答．19．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個(gè)花壇的面積為400π.（結(jié)果保留π）【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出OB2，再根據(jù)圓面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD過(guò)圓心，AB是弦，∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案為：400π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算公式是正確解答的前提．20．（2019?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）有一塊正方形田地，中間有一圓池，池與田間間隙有13.75畝，方田四邊到圓的最近距離都是20步，求邊長(zhǎng)，直徑，（240步2＝1畝，π＝3）【分析】根據(jù)水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，即方田面積減去水池面積為13.75畝，方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長(zhǎng)為40步+m．從而建立關(guān)系求解即可．【解答】解：由題意，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長(zhǎng)為40步+m．方田面積減去水池面積為13.75畝，∴（40+m）2﹣（）2?π＝13.75×240．解得：m＝20．即圓池直徑20步那么：方田邊長(zhǎng)為40步+20步＝60步．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)題意的理解和關(guān)系式的建立．讀懂題意是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．21．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測(cè)算小橋所在圓的半徑的活動(dòng)．小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米，HF的長(zhǎng)為1米，測(cè)得拱高（弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長(zhǎng)）為2米，求小橋所在圓的半徑．【分析】根據(jù)已知得出旗桿高度，進(jìn)而得出GM＝MH，再利用勾股定理求出半徑即可．【解答】解：∵小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，∴8米高旗桿DE的影子為：12m，∵測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米，HF的長(zhǎng)為1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如圖，設(shè)小橋的圓心為O，連接OM、OG．設(shè)小橋所在圓的半徑為r，∵M(jìn)N＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2＝OM2+42，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小橋所在圓的半徑為5m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出關(guān)于r的等式是解題關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.下列命題中不正確的是（）A．平分弦的半徑垂直于弦； B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心；C．垂直與弦的直徑垂直平分這條弦對(duì)應(yīng)的??； D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦．【答案】A【解析】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心，所以B選項(xiàng)為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧，所以C選項(xiàng)為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦，所以D選項(xiàng)為真命題．故選：A．2.如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在的圓的圓心為圖中的()A．M B．P C．Q D．R【答案】C【解析】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過(guò)Q，所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選C．3.往水平放置的半徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度，則水的最大深度為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)C交⊙O于D，∵OC⊥AB，由垂徑定理可知，∴AC=CB=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理可知：∴，∴，故選：B．4．（2020·上海市民辦文綺中學(xué)九年級(jí)期中）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，錯(cuò)誤是（）A．等圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等B．過(guò)圓心且平分弦的直線一定垂直于這條弦C．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線D．相交兩圓的圓心距一定垂直平分兩圓的公共弦【答案】B【分析】利用圓心角定理以及切線的判定以及相交兩圓的性質(zhì)、垂徑定理的推論分別分析，舉出反例即可．【詳解】A選項(xiàng)，等圓或同圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等，故：正確；B選項(xiàng)，垂徑定理中需要注意的是，被平分的弦不能是直徑，因?yàn)槿绻谕粋€(gè)圓中，直徑是互相平分且可以不垂直的，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故：正確；D選項(xiàng)，相交兩圓的圓心距一定垂直平分兩圓的公共弦，故：正確．故：選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓心角定理以及切線的判定以及相交兩圓的性質(zhì)、垂徑定理的推論等知識(shí)，正確掌握相關(guān)判定定理是解題關(guān)鍵．二、填空題5.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝______．【答案】【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理可知：CF＝DF，∵∠CEA＝30°，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2，EF＝，∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，∴CD＝2DF＝10﹣2．故答案為：10﹣2．6．（2021·上海金山·一模）如圖，已知⊙中，，弦，那么⊙的半徑長(zhǎng)等于______．【答案】【分析】過(guò)O作OC⊥AB于C，由垂徑定理可得AC=AB=6；再由可得∠OAC=30°；則OC=AO,最后在Rt△AOC中應(yīng)用勾股定理列式求出OA即可．【詳解】解：如圖：過(guò)O作OC⊥AB于C，∴AC=AB=6∵，OA=OB∴∠OAC=30°∴OC=AO在Rt△AOC中，由勾股定理可得：,即,解得OA=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．7．（2021·上海青浦·二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】根據(jù)圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，進(jìn)而利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F，連接OA，則AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函數(shù)值，垂徑定理是解題的關(guān)鍵，特殊角的函數(shù)值是解題的基礎(chǔ)．8．（2018·上海·九年級(jí)期末）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，2），那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是_____________.【答案】(-1,1)試題解析：如圖線段AB的垂直平分線和線段CD的垂直平分線的交點(diǎn)M，即圓心的坐標(biāo)是（-1，1），9．（2017·上海浦東新·九年級(jí)期末）若⊙的一條弦長(zhǎng)為24，弦心距為5，則⊙的直徑長(zhǎng)為__________．【答案】26【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,如圖所示,由OC垂直于AB,利用垂徑定理得到C為AB的中點(diǎn),由AB的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng),在直角三角形AOC中,由AC與OC的長(zhǎng),利用勾股定理求出OA的長(zhǎng),即可確定出圓O的直徑長(zhǎng).【詳解】解:根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,如圖所示,∵OC⊥AB∴AC=BC=AB=12在Rt△AOC中,AC=12OC=5,,根據(jù)勾股定理得:AO=,則圓O的直徑長(zhǎng)為26.故答案為:26【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，垂徑定理及其推論，解題關(guān)鍵在于畫出圖形10．（2020·上海市民辦文綺中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知在⊙O中，弦垂直于直徑，垂足為點(diǎn)，如果，，那么______．【答案】【分析】連接OD，設(shè)圓的半徑是x，再根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出DE的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到圓的半徑長(zhǎng)，再求出DE的長(zhǎng)，最后根據(jù)垂徑定理得到CD的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接OD，設(shè)，∵，∴，∵，∴，則，在中，，即，解得，，∴，，根據(jù)垂徑定理得．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合垂徑定理，銳角三角函數(shù)和勾股定理列式求出線段長(zhǎng)．11．（2021·上海寶山·九年級(jí)期中）如圖，是圓的直徑，與交于點(diǎn)．如果，那么的長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】根據(jù)，可得∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，再根據(jù)含30度角的直角三角形即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，∴∠A＝30°，∴OE＝AE?tan30°＝×＝，∴OA＝OD＝2OE＝，∴DE＝OD?OE＝?＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)．三、解答題12．（2020·上海民辦華二浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，是的弦的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．【分析】連結(jié)OP，因P為弦AB的中點(diǎn)，利用垂徑定理得OP⊥AB結(jié)合證△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性質(zhì)得即可．【詳解】連結(jié)OP，因P為弦AB的中點(diǎn)，則OP⊥AB，又，∠PCA=∠OPA=90o，∠PAC=∠OAP，△PAC∽△OAP，，，P為弦AB的中點(diǎn)，AP=PB，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握垂徑定理與相似三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)利用解決問題是解題關(guān)鍵．13．（2021·上海徐匯·二模）如圖，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且點(diǎn)C、D三等分弧AB．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)E是劣弧DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE交邊CD于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）通過(guò)點(diǎn)C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD為等邊三角形，CD可求；（2）由點(diǎn)E是劣弧DC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF長(zhǎng)度，通過(guò)OE﹣OF＝EF得出答案．【詳解】解：（1）連接OC,OD,∵AB為直徑，點(diǎn)C、D三等分弧AB,∴.∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．∵OC＝OD,∴△OCD為等邊三角形．∴CD＝OD＝AB＝5．（2）連接OE,交DC于點(diǎn)F,∵點(diǎn)E是劣弧DC的中點(diǎn)，∴OF⊥CD,DF=FC=CD.∵OC＝OD，∴∠DOF＝∠DOC＝30°．在Rt△ODF中，cos∠FOD＝．∴OF＝OD?cos∠FOD＝5×＝．∵OE＝OD＝5,∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)定理，熟練掌握在同圓中，等弧所對(duì)的弦相等，圓心角相等，以及垂徑定理的應(yīng)用，在題目中看到弧或者弦的中點(diǎn)，要連接圓心的中點(diǎn)，得出垂直.14．（2021·上海松江·二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，以邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（1）求⊙O的半徑；（2）點(diǎn)P是劣弧的中點(diǎn)，求tan∠PAB的值．【答案】（1）⊙O的半徑為5；（2）【分析】（1）如圖1連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，解直角三角形求出AC的長(zhǎng)，利用勾股定理列方程可得結(jié)論；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)垂徑定理可得OE和PE的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，連接OB，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝4，∵cot∠BAC＝2，BC＝4，∴，∴＝2，∴AC＝8，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半徑為5；（2）如圖2，連接OP，OP交AB于E，Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝3，Rt△ACB中，AB＝，∵點(diǎn)P是劣弧AB的中點(diǎn)，∴OP⊥AB，∴AE＝BE＝2，∴OE＝，∴EP＝OP﹣OE＝5﹣，Rt△AEP中，tan∠PAB＝．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知,屬于中考?？碱}型．15．（2021·上海金山·二模）如圖，是一個(gè)地下排水管的橫截面圖，已知⊙O的半徑OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中點(diǎn)到弦AB的距離）．求：（1）水面的寬度AB．（2）橫截面浸沒在水中的的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】（1）50cm；（2）cm【分析】（1）過(guò)O作OH⊥AB于H，并延長(zhǎng)交⊙O于D，根據(jù)圓的性質(zhì)，計(jì)算得OH，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，即可得到答案；（2）連接OB，結(jié)合題意，根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)，得∠OAH＝30°，從而計(jì)算得∠AOB；再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，即可完成求解．【詳解】（1）過(guò)O作OH⊥AB于H，并延長(zhǎng)交⊙O于D，∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm又∵OA＝OD＝50cm∴OH＝OD-HD＝25cm∴AH＝cm∴AB＝50cm；（2）連接OB，∵OA＝50cm，OH＝25cm，∴OH＝OA∵∠OHA＝90°∴∠OAH＝30°∴∠AOH＝60°∵OA＝OB，OH⊥AB∴∠BOH＝∠AOH＝60°∴∠AOB＝120°∴的長(zhǎng)是：cm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、勾股定理、含角的直角三角形、弧長(zhǎng)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A、垂徑定理、勾股定理、弧長(zhǎng)計(jì)算的性質(zhì)，從而完成求解．16．（2021·上海楊浦·三模）如圖，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線與⊙O相交于點(diǎn)C，點(diǎn)E在弦AB的延長(zhǎng)線上，CE與⊙O相交于點(diǎn)F，AB＝CD＝8，tanC＝1（1）求⊙O的半徑長(zhǎng)；（2）求的值．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）連接OA，設(shè)半徑為r，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理即可求出r；（2）延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)Q，連接QF，利用圓周角定理以及已知條件求出CE和CF的長(zhǎng)即可計(jì)算的值．【詳解】解：（1）連接OA，如圖所示：設(shè)⊙O半徑為r，則由題意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，又∵OD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，∴AD＝，在Rt△AOD中，，即，解得：r＝5，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為5；（2）延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)Q，連接QF，則∠CFQ＝90°，由（1）可知CQ＝10，∵tanC＝1，∴∠C＝45°，在Rt△CAF中：，而CQ＝CF，CQ＝10，∴CF＝5，在Rt△CDE中，∠C＝∠E＝45°，CE＝，∴EF＝CE﹣CF＝8－5＝3，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理,勾股定理,特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握垂徑定理,靈活運(yùn)用勾股定理,特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，圓O是等腰△ABC的外接圓，AB＝AC，AB＝10，CD＝BC，tanD＝．求：（1）線段BC的長(zhǎng)；（2）圓O的半徑．【答案】（1）BC＝12；（2）圓O的半徑為．【分析】（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，交⊙O于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得BE＝CE＝CD，在Rt△AED中，由三角函數(shù)的定義求得＝，設(shè)AE＝4x，BE＝3x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出x＝2，進(jìn)而求出BC；（2）由（1）可得AF是⊙O的直徑，連接BF，在Rt△BAF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出AF，即可求得圓O的半徑．【詳解】（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，交⊙O于F，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∴AE過(guò)圓心O，∵CD＝BC，∴BE＝CE＝CD，在Rt△AED中，∵tanD＝＝＝，∴＝，設(shè)AE＝4x，BE＝3x，在Rt△BE中，∴AB＝＝5x，∵AB＝10，∴x＝2，BE＝6,∴BC＝2BE＝2×6＝12；（2）連接BF，由（1）得，AF是⊙O的直徑，∴∠ABF＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝4x，BE＝3x，AB＝5x，∴cos∠BAE＝＝，在Rt△BAF中，∵cos∠BAE＝，∴AF＝＝＝，∴圓O的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形，圓周角定理，熟練運(yùn)用三角函數(shù)和圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．18．（2021·上海奉賢·三模）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C．（1）請(qǐng)完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立平面直角坐標(biāo)系；②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C、D；②⊙D的半徑＝；（3）求∠ACO的正弦值．【答案】（1）答案見解析；（2）①，，②；（3）．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，C的坐標(biāo)即可得到，首先作出弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是D，即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)（1）中的平面直角坐標(biāo)系直接填空；②在直角中，利用勾股定理即可求解；（3）連接AC、OC．過(guò)C作CH⊥AO于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CO于點(diǎn)M，利用的面積等積轉(zhuǎn)換求得AM的長(zhǎng)度，然后在中利用正弦函數(shù)的定義求得的正弦值．【詳解】解：（1）作弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是D，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的在該坐標(biāo)系中的位置如圖所示：（2）解：①根據(jù)圖示知，C（6，2），D（2，0），故答案為：（6，2），（2，0）；②解：在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理知⊙D的半徑AD＝，故答案為：；（3）解：連接AC、OC．過(guò)C作CH⊥AO于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CO于點(diǎn)M．則OA?CH＝OC?AM，即×4×6＝×?AM，解得，AM＝；在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角函數(shù)；利用了數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．19．（2018·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C在⊙O上，聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交弦AB于點(diǎn)D，，聯(lián)結(jié)AC、OB，若CD=40，AC=20．（1）求弦AB的長(zhǎng)；（2）求sin∠ABO的值．【答案】（1）40；（2）試題分析：（1）根據(jù)，CD過(guò)圓心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD長(zhǎng)即可得；（2）利用勾股定理求得半徑長(zhǎng)，然后再根據(jù)正弦三角形函數(shù)的定義即可求得.試題解析：（1）∵CD過(guò)圓心O，，∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，∵CD=40，，又∵∠ADC=，∴，∴AB=2AD=40；（2）設(shè)圓O的半徑為r，則OD=40