高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 46分大題保分練（三）文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

46分大題保分練(三)(建議用時(shí)：40分鐘)17．(12分)在△ABC中，AB＝6，AC＝4eq\r(2).(1)若sinB＝eq\f(2\r(2),3)，求△ABC的面積；(2)若eq\o(BD,\s\up9(→))＝2eq\o(DC,\s\up9(→))，AD＝3eq\r(2)，求BC的長(zhǎng)．[解](1)由正弦定理得eq\f(4\r(2),\f(2\r(2),3))＝eq\f(6,sinC)，所以sinC＝1，因?yàn)?＜C＜π，所以C＝eq\f(π,2).所以BC＝eq\r(62－4\r(2)2)＝2.所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2).(2)設(shè)DC＝x，則BD＝2x，所以eq\f(3\r(2)2＋2x2－62,2×3\r(2)×2x)＝－eq\f(3\r(2)2＋x2－4\r(2)2,2×3\r(2)x)，解得x＝eq\f(\r(69),3)，所以BC＝3DC＝3x＝eq\r(69).18．(12分)(2019·濟(jì)南模擬)某工廠有甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人200人，乙車間有工人400人．為比較兩個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人．甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作第二組，并對(duì)他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時(shí)間(單位：min)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]進(jìn)行分組，得到下列統(tǒng)計(jì)圖．(1)分別估算兩個(gè)車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于75min的人數(shù)；(2)分別估計(jì)兩個(gè)車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間的平均值，并推測(cè)哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高？(3)從第一組生產(chǎn)時(shí)間少于75min的工人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人中至少1人生產(chǎn)時(shí)間少于65min的概率．[解](1)由題意得，第一組工人20人，其中在75min內(nèi)(不含75min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有6人，∴甲車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于75min的人數(shù)約為6×10＝60.第二組工人40人，其中在75min內(nèi)(不含75min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于75min的人數(shù)約為30×10＝300.(2)第一組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時(shí)間為eq\x\to(x)甲＝eq\f(60×2＋70×4＋80×10＋90×4,20)＝78(min)，第二組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時(shí)間為eq\x\to(x)乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，∴eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，∴乙車間工人的生產(chǎn)效率更高．(3)由題意得，第一組生產(chǎn)時(shí)間少于75min的工人有6人，其中生產(chǎn)時(shí)間少于65min的有2人，分別用A1，A2代表，生產(chǎn)時(shí)間不少于65min的有4人，分別用B1，B2，B3，B4代表．抽取2人的基本事件空間為Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15個(gè)，設(shè)事件A＝“抽取的2人中至少1人生產(chǎn)時(shí)間少于65min”，則事件eq\x\to(A)＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}共6個(gè)，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(6,15)＝eq\f(3,5).19．(12分)(2019·沈陽(yáng)模擬)如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)證明：AE⊥PB；(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C到平面PAB的距離．[解](1)在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點(diǎn)O.∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE為等邊三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝eq\f(π,3)，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如圖，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP?平面POB，OB?平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴AE⊥PB.(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時(shí)，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO?平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\f(\r(6),2)，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(15),8)，連接AC，則VP-ABC＝eq\f(1,3)OP·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,8)，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d，∵VP-ABC＝VC-PAB＝eq\f(1,3)S△PAB·d，∴d＝eq\f(3VP-ABC,S△PAB)＝eq\f(\f(3,8),\f(\r(15),8))＝eq\f(\r(15),5).選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．(10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的傾斜角為30°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l2：ρcosθ＝3.從坐標(biāo)原點(diǎn)O作射線交l2于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足|OM|·|ON|＝12，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(1)寫(xiě)出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l1與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求|AP|·|AQ|的值．[解](1)直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcos30°,y＝1＋tsin30°))(t為參數(shù))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(3),2)t,y＝1＋\f(1,2)t))(t為參數(shù))．設(shè)N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρρ1＝12，,θ＝θ1，))又ρ1cosθ1＝3，所以ρeq\f(3,cosθ)＝12，即ρ＝4cosθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2－4x＋y2＝0(x≠0)．(2)設(shè)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),2)t))2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),2)t))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)t))2＝0，即t2＋t－3＝0，Δ＝13＞0，t1，t2為方程的兩個(gè)根，所以t1t2＝－3，所以|AP||AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.23．(10分)[選修4－5：不等式選講]已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為m，當(dāng)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝m時(shí)，求eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)＋eq\r(2c＋1)的最大值．[解](1)①當(dāng)x＜eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝－3x＋2≤4，∴－eq\f(2,3)≤x＜eq\f(1,2)；②當(dāng)eq\f(1,2)≤x＜1時(shí)，f(x)＝x≤4，∴eq\f(1,2)≤x＜1；③當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝3x－2≤4，∴1≤x≤2.綜上，f(x)≤4的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤2)))).(2)法一：由(1)可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋2，x＜\f(1,2)，,x，\f(1,2)≤x＜1，,3x－2，x≥1，))∴f(x)min＝eq\f(1,2)，即m＝eq\f(1,2).又a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝eq\f(1,2)，∴2a＋2b＋2c＝1，設(shè)x＝eq\r(2a＋1)，y＝eq\r(2b＋1)，z＝eq\r(2c＋1)，∵x2＋y2≥2xy，∴2xy≤x2＋y2＝2a＋1＋2b＋1＝2a＋2同理，2yz≤2b＋2c＋2,2zx≤2c＋∴2xy＋2yz＋2zx≤2a＋2b＋2＋2b＋2c＋2＋2c∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤2a＋1＋2b＋1＋2∴x＋y＋z≤2eq\r(3)，即eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)＋eq\r(2c＋1)≤2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,6)時(shí)，取得最大值2eq\r(3).法二：由(1)可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋2，x＜\f(1,2)，,x，\f(1,2)≤x＜1，,3x－2，x≥1，))∴f(x)min＝eq\f(1,2)，即m＝eq\f(1,2).又a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝eq\f(1,2)，∴eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)＋eq\r(2c＋1)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(4,3)2a＋1)＋\r(\f(4,3)2b＋1)＋\r(\f(4,3)2c＋1)))≤eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(4,3)＋2a＋1,2)＋\f(\f(4,3)＋2b＋1,2)＋\f(\f(4,3)＋2c＋1,2)))＝2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,6)時(shí)，取得最大值2eq\r(3).法三：由(1)可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋2，x＜\f(1,2)，,x，\f(1,2)≤x＜1，,3x－2，x≥1，))∴f(x)min＝eq\f(1,2)，即m＝eq\f(1,2).∴a＋b＋c＝eq\f(1,2)，∴