高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題九 解析幾何 第4講 圓錐曲線的綜合問(wèn)題專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

（通用版）2016年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題九解析幾何第4講圓錐曲線的綜合問(wèn)題專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練理(時(shí)間：45分鐘滿分：60分)1.如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)和⊙M：(x－4)2＋y2＝1，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)H(x0，y0)(y0≥1)作兩條直線與⊙M相切于A，B兩點(diǎn)，分別交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，圓心M到拋物線準(zhǔn)線的距離為eq\f(17,4).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)∠AHB的角平分線垂直于x軸時(shí)，求直線EF的斜率．解：(1)∵點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為4＋eq\f(p,2)＝eq\f(17,4)，∴p＝eq\f(1,2)，即拋物線C的方程為y2＝x.(2)∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)H(4，2)，∴kHE＝－kHF.設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，∴eq\f(2－y1,4－x1)＝－eq\f(2－y2,4－x2)，∴eq\f(2－y1,4－yeq\o\al(2,1))＝－eq\f(2－y2,4－yeq\o\al(2,2))，∴y1＋y2＝－4，∴kEF＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1))＝eq\f(1,y2＋y1)＝－eq\f(1,4).2．已知過(guò)點(diǎn)A(－4，0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x2＝2py(p>0)相交于B，C兩點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率是eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．解：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是eq\f(1,2)時(shí)，直線l的方程為y＝eq\f(1,2)(x＋4)，即x＝2y－4.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2py,x＝2y－4))得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝eq\f(8＋p,2)，y1y2＝4.由已知eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→))得y2＝4y1.由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1＝1，y2＝4，p＝2，所以拋物線G的方程為x2＝4y.(2)設(shè)l：y＝k(x＋4)，BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝k（x＋4）))得x2－4kx－16k＝0，由Δ>0得k<－4或k>0.∴x0＝eq\f(xB＋xC,2)＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC的中垂線為y－2k2－4k＝－eq\f(1,k)(x－2k)，∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.3．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且焦距為6，點(diǎn)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，△PF1F2的周長(zhǎng)為16.(1)求橢圓C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為eq\f(4,5)的直線l被橢圓C所截得的線段中點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，則由題意，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2c＝6，,2a＋2c＝16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,c＝3，))所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.故所求橢圓C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)法一：過(guò)點(diǎn)(3，0)，且斜率為eq\f(4,5)的直線l的方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，將之代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(（x－3）2,25)＝1，即x2－3x－8＝0.因?yàn)辄c(diǎn)(3，0)在橢圓內(nèi)，設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閤1＋x2＝3，所以線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)×(eq\f(3,2)－3)＝－eq\f(6,5).故所求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．法二：過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為eq\f(4,5)的直線l的方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，因?yàn)?3，0)在橢圓內(nèi)，所以直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),25)＋\f(yeq\o\al(2,1),16)＝1，①,\f(xeq\o\al(2,2),25)＋\f(yeq\o\al(2,2),16)＝1，②))由①－②，得eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,25)＝－eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,16)，即eq\f(16x0,25y0)＝－eq\f(4,5).又y0＝eq\f(4,5)(x0－3)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(3,2)，,y0＝－\f(6,5).))故所求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其上頂點(diǎn)為A.若△F1AF2是邊長(zhǎng)為2的正三角形．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)Q(－4，0)任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QN,\s\up6(→)).若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得eq\o(MR,\s\up6(→))＝－λeq\o(RN,\s\up6(→))，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求出該定直線的方程．解：(1)因?yàn)椤鱂1AF2是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以c＝1，a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意知，直線MN的斜率必存在，設(shè)其方程為y＝k(x＋4)，并設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,y＝k（x＋4）))，消去y得(3＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，則Δ＝144(1－4k2)>0，x1＋x2＝eq\f(－32k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(64k2－12,3＋4k2).由eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QN,\s\up6(→))，得－4－x1＝λ(x2＋4)，故λ＝－eq\f(x1＋4,x2＋4).設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x0，y0)，則由eq\o(MR,\s\up6(→))＝－λ·eq\o(RN,\s\up6(→))，得x0－x1＝－λ(x2－x0)，得x0＝eq\f(x1－λx2,1－λ)＝eq\f(x1＋\f(x1＋4,x2＋4)·x2,1＋\f(x1＋4,x2＋4))＝eq\f(2x1x2＋4（x1＋x2）,（x1＋x2）＋8)＝eq\f(\f(－24,3＋4k2),\f(24,3＋4k2))＝－1，故點(diǎn)R在定直線x＝－1上．5．已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓C：(x－2)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，|AB|＝eq\f(4\r(2),3).(1)求拋物線E的方程；(2)由拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，若P，Q，O(O為原點(diǎn))三點(diǎn)共線，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：(1)由已知得M(－eq\f(p,2)，0)，C(2，0)．設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)R，如圖，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，|AR|＝eq\f(2\r(2),3).于是|CR|＝eq\r(|AC|2－|AR|2)＝eq\f(1,3)，所以|CM|＝eq\f(|AC|,sin∠AMC)＝eq\f(|AC|,sin∠CAR)＝3，即2＋eq\f(p,2)＝3，p＝2.故拋物線E的方程為y2＝4x.(2)如圖，設(shè)N(s，t)．易知P，Q是以NC為直徑的圓D與圓C的兩交點(diǎn)．圓D的方程為(x－eq\f(s＋2,2))2＋(y－eq\f(t,2))2＝eq\f(（s－2）2＋t2,4)，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0.①又圓C的方程為x2＋y2－4x＋3＝0.②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0.③易知③為直線PQ的方程．因?yàn)橹本€PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，所以3－2s＝0，s＝eq\f(3,2).又N(s，t)是拋物線上的點(diǎn)，故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\r(6))或(eq\f(3,2)，－eq\r(6))．6．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，eq\r(15))，且雙曲線C的漸近線與圓x2＋(y－3)2＝4相切．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)F(c，0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，M(x0，y0)是雙曲線C的右支上的任意一點(diǎn)，試判斷以MF為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：(1)因?yàn)殡p曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，eq\r(15))，所以eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1①.因?yàn)殡p曲線C的漸近線bx±ay＝0與圓x2＋(y－3)2＝4相切，所以圓心(0，3)到直線bx±ay＝0的距離等于2，即eq\f(|3a|,\r(b2＋a2))＝2，整理得5a2＝4b2②.聯(lián)立①與②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.(2)由(1)得，c＝eq\r(a2＋b2)＝3，所以雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)．設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F′(－3，0)，因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C的右支上，所以|MF′|－|MF|＝4，即eq\r(（x0＋3）2＋yeq\o\al(2,0))－eq\r(（x0－3）2＋yeq\o\al(2,0))＝4，所以eq\r(（x0＋3）2＋yeq\o\al(2,0))＝4＋eq\r(（x0－3）2＋yeq\o\al(2,0)).因?yàn)橐噪p曲線C的實(shí)軸為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為r1＝2；以MF為直徑的圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋3,2)，\f(y0,2)))，半徑為r2＝eq\f(1,2)eq\r(（x0－3）2＋yeq\o\al(2,0))，所以兩圓圓心之間的距離為d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(