專題37 軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題37軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】 1【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】 3【題型3與幾何圖形有關(guān)的折疊問題】 4【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】 6【題型5利用軸對(duì)稱求最值】 7【題型6根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】 9【題型7與軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】 11【題型8用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖】 12【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段問題】 14【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之面積問題】 16【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之角度問題】 18【題型12利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案】 20【知識(shí)點(diǎn)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)】1.平移(1)定義：把一個(gè)圖形沿著某一直線方向移動(dòng)，這種圖形的平行移動(dòng)，簡稱為平移。(2)平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等；對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等。(3)坐標(biāo)的平移：點(diǎn)（x，y）向右平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁+a，y）；點(diǎn)（x，y）向左平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a，y）；點(diǎn)（x，y）向上平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y+a）；點(diǎn)（x，y）向下平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y-a）。2.軸對(duì)稱(1)軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。(2)軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線叫做它的對(duì)稱軸。(3)軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形。經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。(4)線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。(5)坐標(biāo)與軸對(duì)稱：點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）；3.旋轉(zhuǎn)(1)旋轉(zhuǎn)定義：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。(2)中心對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)。中心對(duì)稱的性質(zhì)：①中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分；②中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。(3)中心對(duì)稱圖形定義：如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。(4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-x，-y)?！绢}型1軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】【例1】（2023·廣東東莞·一模）如所示圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤绻粋€(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)72度才能與它本身重合，則下列說法正確的是（

）A．這個(gè)圖形一定是中心對(duì)稱圖形．B．這個(gè)圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．C．這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)216度后能與它本身重合．D．這個(gè)圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形．【變式1-2】2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如所示的四個(gè)交通標(biāo)志圖中，為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．D．

【變式1-3】（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】【例2】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=42，點(diǎn)D的坐標(biāo)是45,0，tan∠BDO=13，將△BDE旋轉(zhuǎn)到△ABC

A．25,1255 B．35【變式2-1】（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB平移得到線段CD，點(diǎn)A-1，4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1，A．4，-1 B．0，3 C．【變式2-2】（2023·吉林長春·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A2，1，現(xiàn)將A點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AA．-1，2 B．2，-1 C．【變式2-3】（2023·四川眉山·?？既＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)Mx,y，已知x，y滿足4x+3+(5y-2)2=0，則點(diǎn)M關(guān)于y【題型3與幾何圖形有關(guān)的折疊問題】【例3】（2023·廣西南寧·?？级＃┤鐖D，已知平行四邊形紙片ABCDAD>AB，將平行四邊形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，折痕為AE，點(diǎn)E在邊BC上，連接BF，若AE=4,BF=8，則四邊形ABEF的面積為（

A．64 B．48 C．32 D．16【變式3-1】（2023·河南·統(tǒng)考中考模擬）將三角形紙片△ABC按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B'，折痕為EF，已知AB=AC=3，BC=4．若以點(diǎn)B'、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則BF的長度是【變式3-2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為8cm的⊙O中，連接CE，AC，AE，沿直線CE折疊，使得點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，則圖中陰影部分的面積為（

A．323cm2 B．83cm2【變式3-3】（2023·河南周口·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展實(shí)踐活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：如圖（1），正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是BC邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合）任意一點(diǎn)，沿AE折疊△ABE到△AFE，如圖（2）所示；操作二：將圖（2）沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)G落在AE上，得到折痕MN，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)記為H，如圖（3）所示；操作三：將紙片展平，連接BM，如圖（4）所示．根據(jù)以上操作，回答下列問題：①B，M，N三點(diǎn)（填“在”或“不在”)一條直線上；②AE和BN的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；③如圖（5），連接AN，改變點(diǎn)E在BC上的位置，（填“存在”或“不存在”)點(diǎn)E，使AN平分∠DAE．(2)遷移探究蘇鈺同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片ABCD，AB=4，BC=6，按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖（7）．請(qǐng)完成下列探究：①當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，如圖（6），BE和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②當(dāng)DN的長為1時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE的長．【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】【例4】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）拋物線y=-12x2+32x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，且以A，E，(3)過點(diǎn)M作直線CD的垂線，垂足為N，若將△CMN沿CM翻折，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N'，則是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)N'則恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)【變式4-1】（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測）已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，它的對(duì)稱軸為直線x=2，動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)A出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，連接OP并延長交拋物線于點(diǎn)B，連接OA(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)三點(diǎn)A，O，B構(gòu)成以為OB為斜邊的直角三角形時(shí)，求t的值；(3)將△PAB沿直線PB折疊后，那么點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A1能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t【變式4-2】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2-32x-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．將△ABC沿(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．(2)求直線BD的函數(shù)表達(dá)式．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式4-3】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1:y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，與拋物線F(1)求拋物線F1(2)如圖②，點(diǎn)P是拋物線F1上位于x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP、EP，CP與直線l交于點(diǎn)Q，設(shè)△EPQ和△ECQ的面積為S1和(3)如圖③，將拋物線F1沿直線x=m翻折得到拋物線F2，且直線l與拋物線F2【題型5利用軸對(duì)稱求最值】【例5】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC．點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，連接MN，AM，DN，點(diǎn)E在邊AD上，

A．23 B．3 C．32 D【變式5-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊△ABC中，AB=6，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，連接BD，交AC于O點(diǎn)，E點(diǎn)在OD上，且DE=2OE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF-PE的最大值為．【變式5-2】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD的邊長為10，tanA=43，點(diǎn)M為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，點(diǎn)A關(guān)于直線BM的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)N為線段CA'的中點(diǎn)，連接【變式5-3】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接并延長DB'，交AE延長線于點(diǎn)F，連接B

(1)求證：BF=B(2)求∠BB(3)若AB=2，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)F到BC距離的最大值．【題型6根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】【例6】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A、C分別是直線y=-83x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B(-2,0)，點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為E，點(diǎn)F在AB邊上，且D、F兩點(diǎn)關(guān)于y軸上某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接DF、EF．線段EF

【變式6-1】（2023·山西朔州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有7個(gè)半徑為1的小圓拼在一起，下面一行的4個(gè)小圓都與x軸相切，上面一行的3個(gè)小圓都在下一行右邊3個(gè)小圓的正上方，且相鄰兩個(gè)小圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，從左往右數(shù)，y軸過第2列兩個(gè)小圓的圓心，點(diǎn)P是第3列兩個(gè)小圓的公共點(diǎn)．若過點(diǎn)P有一條直線平分這7個(gè)小圓的面積，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是．【變式6-2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=3．E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．作AF⊥DE交矩形ABCD的邊于點(diǎn)F，垂足為(1)求證：∠AFB=∠DEA；(2)若CF=1，求AE的長；(3)點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，探究OG的取值范圍．【變式6-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒5個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接AP．將△APB沿直線(1)求BC的長；(2)當(dāng)四邊形ABPB'為中心對(duì)稱圖形時(shí)，求(3)當(dāng)點(diǎn)B'在BC下方時(shí)，連接BB'(4)當(dāng)直線AB'與△ABC一邊垂直時(shí)，直接寫出【題型7與軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例7】（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(1，1)，B(0，3)，以AB為邊在AB右側(cè)作正方形ABCD．第一次操作：將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到正方形A1B1C1D1；第二次操作：將正方形A1B1C1D1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

A．(-2，4) B．(-4，2) C．(4，-2) D．(2，-4)【變式7-1】（2023·重慶南岸·二模）如圖，Rt△A1B1C1的斜邊A1B1在直線y=3x-3上，點(diǎn)B1在x軸上，C1點(diǎn)坐標(biāo)為2,0．先將△A1B1C1沿較長直角邊A

A．15,53 B．15,63 C．17,53【變式7-2】（2023·河北保定·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x的圖象為直線l，作點(diǎn)A11,0關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A2，將A2向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A3；再作A3關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A4，將A4向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A．1007,1008 B．1008,1006 C．1006,1008 D．1008,1007【變式7-3】（2023·河南周口·淮陽第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的位置如圖所示，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1)，第1次將菱形OABC繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1=2OB），第2次將菱形OA1B1C1繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2

A．22025,22025 B．2507,【題型8用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖】【例8】（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．(1)將△ABC向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度得到△A1B(2)將（1）中的△A1B1C1以【變式8-1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為Aa,1，B3,3，C4,-1；△ABC經(jīng)過平移得到△A'B'(1)觀察各對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化并填空：a的值為______，b的值為______；(2)畫出△ABC及將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【變式8-2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，線段AB的端點(diǎn)A,B都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．

(1)將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到對(duì)應(yīng)線段AB1，畫出線段(2)請(qǐng)僅用無刻度的直尺過點(diǎn)B作一條直線l，使得點(diǎn)A,B1到【變式8-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在如圖的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)）．

(1)畫出△ABC向下平移3個(gè)單位后的△A1(2)畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形△A2(3)連接C1C2，請(qǐng)直接寫出C【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段問題】【例9】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問題，請(qǐng)你解答．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M4,0的直線l∥y軸，作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1，再分別作△A1B1C1關(guān)于x軸和直線l對(duì)稱的圖形△A2B2(2)探究遷移：如圖2，?ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P為直線AB下方一點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P1，再分別作點(diǎn)P1關(guān)于直線AD和直線CD的對(duì)稱點(diǎn)P2和P3，連接AP①若∠PAP2=β，請(qǐng)判斷β②若AD=m，求P，P3(3)拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，連接P2P3．當(dāng)P2P【變式9-1】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，連接CE、BD．根據(jù)條件填空：

①∠ACE的度數(shù)為；②若CE=2，則CA的值為；【類比探究】如圖2所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且滿足∠EAF=45°，BE=1，DF=2，求正方形ABCD的邊長；

【拓展延伸】如圖3所示，在四邊形ABCD中，CD=CB，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD為對(duì)角線，且滿足AC=32CD，若AD=3，AB=4

【變式9-2】（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BA延長線上一點(diǎn)，連接DC，點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對(duì)稱，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接EC,ED,DF

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求∠DEC(2)用等式表示線段EC,ED和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式9-3】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐——探究圖形旋轉(zhuǎn)中的問題，問題背景：在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以兩個(gè)菱形為對(duì)象，研究相似菱形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題．已知菱形ABCD∽菱形A'B'C'D'，它們各自對(duì)角線的交點(diǎn)重合于點(diǎn)O

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若A'B'∥AB，連接AA'，DD'操作探究：（2）保持圖1中的菱形ABCD不動(dòng)，將菱形A'B'C'D'①當(dāng)0°<α<90°時(shí)，得到圖2．此時(shí)（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；②小穎發(fā)現(xiàn)，在菱形A'B'C'D'繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，連接C③當(dāng)菱形A'B'C'D'繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至A【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之面積問題】【例10】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，將不是矩形的?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到?AB(1)當(dāng)點(diǎn)B'落在邊BC上，且B'C'與邊①點(diǎn)D____C'D'上(填“在”或“②如果點(diǎn)B'、E分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，求AB(2)當(dāng)點(diǎn)B'落在對(duì)角線AC上，且B'C'經(jīng)過邊AD的中點(diǎn)M時(shí)，設(shè)ABBC=x，S△A【變式10-1】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，作∠BPD=120°，邊PD交折線AC-CB于點(diǎn)D，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接ED、EP得到△PDE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(1)直接寫出線段PD的長（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，求t的值；(3)設(shè)△PDE與△ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(4)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，N為ED的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)MN⊥AC時(shí)，直接寫出t的值．【變式10-2】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段BD，旋轉(zhuǎn)角為α，連接CD．

(1)①若α=60°，則∠CDA=°；②若0<α<90°，求∠CDA的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)0<α<90°時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，CD與BE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CF與線段BE之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)0<α<360°時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)A'，當(dāng)點(diǎn)A'在線段BC所在的直線上時(shí)，求△A【變式10-3】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，重疊部分的面積為__________；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為__________(2)類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)BM=CN時(shí)，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)CM=CN時(shí)，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH=α），將∠GOH繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請(qǐng)直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含（參考數(shù)據(jù)：sin15°=【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之角度問題】【例11】（2023·貴州六盤水·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為邊AB上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'P，A'(1)若AC=8，BC=6，CE是邊AB上的高線．①求線段CE的長；②當(dāng)∠PQA'=90°(2)在∠A=35°的情況下，當(dāng)△A'PQ【變式11-1】（2023·廣東廣州·二模）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ0<θ<90°，得到BP，連結(jié)CP，過點(diǎn)A作AH⊥CP交CP的延長線于點(diǎn)H，連結(jié)AP，則∠PAH的度數(shù)（A．30° B．45° C．60° D．隨若θ的變化而變化【變式11-2】（2023·福建泉州·一模）如圖1，已知△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線CD與它的一個(gè)外角∠EAC的平分線AF所在的直線交于點(diǎn)D．

(1)求證：∠B=2∠D；(2)若作點(diǎn)D關(guān)于AC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)D'，并連接AD'①如圖2，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：②如圖3，當(dāng)AC=BC時(shí)，試探究∠DAD'與【變式11-3】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M,N分別為邊AB,BC的中點(diǎn)，連接MN．初步嘗試：（1）MN與AC的數(shù)量關(guān)系是_________，MN與AC的位置關(guān)系是_________．特例研討：（2）如圖2，若∠BA