遼寧省東北名校2024年高三一診考試數(shù)學試卷含解析

遼寧省東北名校2024年高三一診考試數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點F的坐標為(c,0)，點A是第一象限內雙曲線漸近線上的一點，O為坐標原點，滿足|OA|=A．2 B．2 C．2333．已知復數(shù)z，則復數(shù)z的虛部為（）A． B． C．i D．i4．設則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．6．元代數(shù)學家朱世杰的數(shù)學名著《算術啟蒙》是中國古代代數(shù)學的通論，其中關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖，若，，則輸出的（）A．3 B．4 C．5 D．67．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．88．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④9．的內角的對邊分別為，若，則內角（）A． B． C． D．10．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．11．的展開式中有理項有（）A．項 B．項 C．項 D．項12．下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖，根據(jù)表和統(tǒng)計圖，以下描述正確的是（）．金牌（塊）銀牌（塊）銅牌（塊）獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A．中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B．折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不具有實際意義C．第30屆與第29屆北京奧運會相比，奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D．統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是______.14．已知復數(shù),其中是虛數(shù)單位．若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為__________．15．已知雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為，則雙曲線的焦距為______.16．設直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校對以往2000個學員第1次參加科目二考試進行了統(tǒng)計，得到下表：考試情況男學員女學員第1次考科目二人數(shù)1200800第1次通過科目二人數(shù)960600第1次未通過科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學員每次通過科目二考試的概率，且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止.（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；（2）若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為元，求的分布列與數(shù)學期望.18．（12分）分別為的內角的對邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當?shù)拿娣e取得最大值時，求的周長.19．（12分）為響應“堅定文化自信，建設文化強國”，提升全民文化修養(yǎng)，引領學生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”，某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中，在某高中學校隨機抽取了120名學生做調查，統(tǒng)計結果顯示：樣本中男女比例為3:2，而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5，女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系？男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計（2）為做好文化建設引領，實驗組把該校作為試點，和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經(jīng)從所調查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù)，求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式：.20．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.（1）求異面直線AC與BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．21．（12分）已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.22．（10分）設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調遞減,時單調遞增.故選:D.【點睛】本題考查構造函數(shù),借助單調性定義判斷新函數(shù)的單調性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.2、C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，F(xiàn)c,0，故Mc,故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.3、B【解析】

利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復數(shù)z的虛部為.故選：B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.4、A【解析】

計算的中點坐標為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.5、A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A．考點：函數(shù)的定義域．6、B【解析】分析：根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列，公比為；根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列，公比為，根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解：記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有；記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有.令，則有，故，故選B.點睛：本題為算法中的循環(huán)結構和數(shù)列通項的綜合，屬于中檔題，解題時注意流程圖中蘊含的數(shù)列關系（比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前和、前項積等）.7、B【解析】

求函數(shù)導數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，，則，故②正確；對于③，若，，，當，則與不平行，故③錯誤；對于④，若，，，則，故④正確；故選：D【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.9、C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關鍵．10、C【解析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.11、B【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù)，即可求解.【詳解】，，當，，，時，為有理項，共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵，屬于基礎題.12、B【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢，29屆最多，錯誤；B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不表示某種意思，正確；C.30屆與第29屆北京奧運會相比，奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降，銀牌數(shù)有所上升，錯誤；D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確；故選：B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖，關鍵點讀懂折線圖，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由切線的性質，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可設，進而表示，由圖像觀察可知進而求出x的范圍，再用的式子表示，整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知，，設，由切線的性質可知，則顯然，則或（舍去）因為令，則，由雙勾函數(shù)單調性可知其在區(qū)間上單調遞增，所以故答案為：【點睛】本題考查在以直線與圓的位置關系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題，應用函數(shù)形式表示所求式子，進而利用分析函數(shù)單調性或基本不等式求得最值，屬于較難題.14、【解析】

直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結合已知條件即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.15、1【解析】

由雙曲線的漸近線，以及求得的值即可得答案．【詳解】由于雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為，所以，即①，把代入，得，即②又③聯(lián)立①②③，得．所以．故答案是：1．【點睛】本題考查雙曲線的性質，注意題目“雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為”這一條件的運用，另外注意題目中要求的焦距即，容易只計算到，就得到結論．16、【解析】

不妨設雙曲線，焦點，令，由的長為實軸的二倍能夠推導出的離心率.【詳解】不妨設雙曲線，焦點，對稱軸，由題設知，因為的長為實軸的二倍，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的等式，從而求出的值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

事件表示男學員在第次考科目二通過，事件表示女學員在第次考科目二通過（其中）（1）這對夫妻是否通過科目二考試相互獨立，利用獨立事件乘法公式即可求得；（2）補考費用之和為元可能取值為400，600，800，1000，1200，根據(jù)題意可求相應的概率，進而可求X的數(shù)學期望．【詳解】事件表示男學員在第次考科目二通過，事件表示女學員在第次考科目二通過（其中）.（1）事件表示這對夫妻考科目二都不需要交補考費..（2）的可能取值為400，600，800，1000，1200.，，，，.則的分布列為：40060080010001200故(元).【點睛】本題以實際問題為素材，考查離散型隨機變量的概率及期望，解題時要注意獨立事件概率公式的靈活運用，屬于基礎題.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，將，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根據(jù)，選擇，所以當?shù)拿娣e取得最大值時，最大，結合（1）中條件，即可求出最大時，對應的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進而得到的周長．【詳解】（1）由，得，即.因為，所以.由，得.（2）因為，所以，當且僅當時，等號成立.因為的面積.所以當時，的面積取得最大值，此時，則，所以的周長為.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的應用，意在考查學生的轉化能力和數(shù)學運算能力．19、（1）見解析，沒有（2）見解析，【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.（2）先判斷出的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】（1）男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學423072不喜歡閱讀中國古典文學301848總計7248120所以，沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.（2）設參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數(shù)為，女生中喜歡古典文學的人數(shù)為，則.且；；.所以的分布列為則.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查隨機變量分布列和數(shù)學期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.20、（1）.（2）.【解析】

（1）先根據(jù)空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.（2）分別求得平面BFC1的一個法向量和平面BCC1的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.【詳解】規(guī)范解答（1）因為AB＝1，AA1＝2，則F(0，0，0)，A，C，B，E，所以＝(－1，0，0)，＝記異面直線AC和BE所成角為α，則cosα＝|cos〈〉|＝＝，所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.（2）設平面BFC1的法向量為=(x1，y1，z1)．因為＝，＝，則取x1＝4，得平面BFC1的一個法向量為＝(4，0，1)．設平面BCC1的法向量為＝(x2，y2，z2)．因為＝，＝(0，0，2)，則取x2＝得平面BCC1的一個法向量為＝(，－1，0)，所以cos〈〉＝=根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角，所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，面面角的求法，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線，