2024屆江蘇省南京市燕子磯中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆江蘇省南京市燕子磯中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．2．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知且，函數(shù)，若，則（）A．2 B． C． D．4．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,25．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．6．己知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．67．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．10．集合,則集合的真子集的個數(shù)是A．1個 B．3個 C．4個 D．7個11．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．12．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程是__________.14．已知實數(shù)，對任意，有，且，則______.15．設(shè)向量，，且，則_________.16．曲線在處的切線的斜率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對稱點；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）已知外接圓半徑,求的周長.20．（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無底薪，單以內(nèi)（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天，求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率；（2）假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說明你的理由.21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.22．（10分）某社區(qū)服務(wù)中心計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶5元，售價每瓶7元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：攝氏度℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為500瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為（單位：瓶）時，的數(shù)學(xué)期望的取值范圍？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A．2、B【解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.3、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當(dāng)時，且，由于，則，即可求出.【詳解】由題意知：當(dāng)時，且由于，則可知：，則，∴，則，則.即.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，由分段函數(shù)解析式求自變量.4、C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結(jié)果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．5、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識，屬于中檔題．7、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得,,即可得到對應(yīng)的點為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng),難度容易.8、C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．9、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知；結(jié)合即可證明，進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個數(shù)為個，故選B．【點睛】本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數(shù)個數(shù)的求解，其中作出集合的運算，得到集合，再由真子集個數(shù)的公式作出計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．11、D【解析】

連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，取的中點為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.12、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知，，所以，又，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道容易題.14、-1【解析】

由二項式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．15、【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的計算，以及向量的平方，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：且由所以故答案為：【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)計算，主要考查計算，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令，即可求出切線斜率.【詳解】，，，即曲線在處的切線的斜率.故答案為：【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）零點分段法分，，三種情況討論即可；（2）只需找到的最小值即可.【詳解】（1）由.若時，，解得；若時，，解得；若時，，解得；故不等式的解集為.（2）由，有，得，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題，考查學(xué)生的運算能力，是一道基礎(chǔ)題.18、（1）見解析（2）（3）【解析】

（1）若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點（2）解:由題,因為函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因為,,所以,所以,所以（3）解:由題,,由于,所以,所以（*）在R上有解,令,則,所以方程（*）變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件：,即,得【點睛】本題考查函數(shù)的局部對稱點的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力.19、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周長．【詳解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周長a+b+c=3+3．【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、（1）；（2）①分布列見解析，；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

（1）記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，可得當(dāng)時，，以此類推可得：當(dāng)時，當(dāng)時，的值．當(dāng)時，的值，同理可得：當(dāng)時，．的所有可能取值．可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出．【詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，則．（2）①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為，日工資為元，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以的分布列為228234240247254．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元，因為，所以小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘．【點睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計算公式、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；（2）聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標(biāo)，從而得兩點間距離．【詳解】解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為（2）據(jù)解，得或【點睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬