杭州“六縣九校”聯(lián)盟2023學(xué)年第一學(xué)期高二期中模擬試題解析朱勝泉

杭州“六縣九?！甭?lián)盟2023學(xué)年第一學(xué)期高二期中模擬試題考試范圍：必修第一冊、必修第二冊、空間向量與立體幾何、直線與圓、橢圓考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分；命題人：朱勝泉班級(jí)姓名學(xué)號(hào)成績一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.2．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角的定義即可求解.【詳解】直線即的傾斜角為，故選：C.3．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)模長公式求出答案.【詳解】，故.故選：C4．若向量，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件應(yīng)用空間向量數(shù)量積及模長公式逐項(xiàng)計(jì)算檢驗(yàn)即可．【詳解】若，，則，，故D正確；，所以B錯(cuò)誤；，故A錯(cuò)誤；顯然與不平行，故C錯(cuò)誤；故選：D．5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，可判斷C,D的正誤；利用在之間的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判斷A,B的正誤.【詳解】設(shè)，則，故為奇函數(shù)，故C,D錯(cuò)誤；而令時(shí)，在之間的函數(shù)零點(diǎn)有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤，故選：A6．四位爸爸、、、相約各帶一名自己的小孩進(jìn)行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個(gè)別人家的小孩進(jìn)行交談，則的小孩與交談的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，列舉出所有的基本情況，并列舉出“的小孩與交談”所包含的基本情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】解：設(shè)、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，則交談組合有種情況，分別為：，，，，，，，，，的小孩與交談包含的不同組合有種，分別為：，，，的小孩與交談的概率是．故選：A.7．如圖，在三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，，則（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義結(jié)合已知條件，可把分解成基底向量的線性組合即可得解.【詳解】如下圖所示：

首先有，一方面：由，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以；另一方面：，且注意到分別是，的中點(diǎn)，所以.因此.故選：D．8．已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為【答案】C【分析】選項(xiàng)A轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式的平方即可求解；選項(xiàng)B轉(zhuǎn)化為斜率即可求解；選項(xiàng)C轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的倍即可求解；選項(xiàng)D設(shè)出切線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為半徑即可求解【詳解】的方程可化為，它表示圓心，半徑為的圓.對(duì)選項(xiàng)A：表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，故它的最大值為，A正確；對(duì)選項(xiàng)B：表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，由圓心到直線的距離，可得，B正確；對(duì)選項(xiàng)C：表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以其最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線，則其斜率存在，故可設(shè)切線方程為，由，解得，故切線方程為，故D正確.故選：C.二、多選題9．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若空間向量，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．A，B，C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．，，與夾角為鈍角，則x的取值范圍是D．若是空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量平行、空間點(diǎn)共面、空間向量夾角、基底等知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，若是零向量，是非零向量，則，但不存在實(shí)數(shù)，使得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，與夾角為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，如下圖所示三棱錐，是空間的一個(gè)基底，但不共面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ACD10．下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到直線的距離為B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8.D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為.【答案】AB【分析】對(duì)于A，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可判斷；對(duì)于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對(duì)于C，將直線令和令求得，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可判斷；對(duì)于D，分直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)時(shí)，分別設(shè)直線的方程，代入已知點(diǎn)求解即可.【詳解】解：對(duì)于A，點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；對(duì)于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對(duì)于C，直線，令得，令得，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故C不正確；對(duì)于D，經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)得，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)得，此時(shí)方程為，故D不正確；故選：AB.11．已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A=“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件B=“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（

）A．事件A與事件B的樣本點(diǎn)數(shù)分別為12，8 B．事件A，B間的關(guān)系為C．事件發(fā)生的概率為 D．事件發(fā)生的概率為【答案】CD【分析】計(jì)算出所有結(jié)果數(shù)，分別列舉出事件A、B的結(jié)果情況，即可判斷選項(xiàng)A、B；根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】解：由題用表示甲罐、乙罐中取小球標(biāo)號(hào)的情況，則所有的情況有：，，，，共20種，其中滿足事件A的結(jié)果有：，，，，共11種，其中滿足事件B的結(jié)果有：，，，共8種，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槭录﨎的結(jié)果均在事件A中包含，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘慕Y(jié)果數(shù)有11種，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以的結(jié)果數(shù)有8種，故，故選項(xiàng)D正確.故選：CD12．如圖，在矩形中，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿將、翻折，使點(diǎn)、重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則（

）

A．B．三棱錐的體積為C．直線與直線所成角的余弦值為D．直線與平面所成角正弦值為【答案】AC【分析】根據(jù)線面垂直的判定可證明平面可判斷A；再根據(jù)即可判斷B；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷C；利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷D；【詳解】對(duì)于A，由題意可得，又平面，所以平面，又平面，故，故A正確；對(duì)于B，在中，，邊上的高為，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，，，所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題13．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】【分析】由兩條直線平行，建立關(guān)于a的方程，解出即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，：與：重合，當(dāng)時(shí)，：與：平行，合題意.故答案為：.14．點(diǎn)在角的終邊上，則．【答案】2【分析】利用三角函數(shù)定義求出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式、齊次式法求解作答.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，則，所以.故答案為：215．甲、乙兩名優(yōu)秀大學(xué)畢業(yè)生準(zhǔn)備應(yīng)聘某世界五百強(qiáng)企業(yè)，甲通過面試的概率是，乙通過面試的概率是，且甲、乙是否通過面試是相互獨(dú)立的．那么這兩名大學(xué)生至少有一名通過面試的概率為．【答案】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率和對(duì)立事件的概率之和等于1即可求解．【詳解】甲乙兩射手的射擊相互獨(dú)立，甲乙兩射手同時(shí)瞄準(zhǔn)一個(gè)目標(biāo)射擊且目標(biāo)被射中的對(duì)立事件是：甲乙二人都沒有射中目標(biāo)，∴目標(biāo)被射中的概率為．故答案為：．16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，而,故的最小值為，故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)．（1）求的值；（2）若角是銳角的一個(gè)內(nèi)角，且，求的值．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）先根據(jù)兩角和的三角公式、二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，再求的值；（2）先根據(jù)得到，再得到，最后將化成，根據(jù)兩角差的余弦公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意知，．（2），，．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的三角公式、二倍角公式、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力．在求解本題第（2）問時(shí)要注意條件“銳角”的運(yùn)用，若注意不到這點(diǎn)，則會(huì)得到，從而多解．18．已知圓過點(diǎn)，圓心在軸正半軸上，且與直線相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）設(shè)圓心為，利用距離公式求出，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而得解；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到弦長，斜率存在，設(shè)斜率為，利用圓心到直線的距離求出參數(shù)的值，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)圓心為，依題意有，解得或（舍去），，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）若斜率不存在，則，代入圓方程得，解得或，，符合題意；若斜率存在，設(shè)斜率為，則直線，即，由圓心到直線的距離為，即，所以，，即綜上，所求直線的方程為或.19．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試，并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)估計(jì)這次測試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(3)在測試成績位于區(qū)間[80，90）和[90，100]的學(xué)生中，采用分層抽樣，確定了5人，若從這5人中隨機(jī)抽取2人向全班同學(xué)介紹自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)事件A＝“抽取的兩人的測試成績分別位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意確定抽樣比，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，這次測試成績的平均數(shù)為（分）.（3）解：測試成績位于的頻率，位于的頻率，因?yàn)椋源_定的5人中成績在內(nèi)的有3人，分別記為，成績在內(nèi)的有2人，分別記為，從5人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間：共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中，即，所以概率為.20．如圖1，是平行四邊形，，．如圖2，把平行四邊形沿對(duì)角線AC折起，使與成角，

(1)求的長；(2)求異面直線與所成的角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量加法運(yùn)算知，再利用空間向量模長公式求解即可；（2）利用空間向量的加法運(yùn)算及空間向量求夾角公式求解即可.【詳解】（1）由已知，，，利用空間向量的加法運(yùn)算知，所以，所以.（2）由已知，，，所以，所以，所以異面直線與所成的角的余弦值為.21．在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，射線與底面圓周交于點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(2)【分析】（1）先證BC⊥DO，BC⊥AO，可得BC⊥面DAO，即由線線垂直得線面垂直得兩面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，含參表示相關(guān)向量，利用空間向量求二面角得出，再根據(jù)空間向量求點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，所以面.又因?yàn)槊?，所以，?因?yàn)闉橥饨訄A圓心，且為正三角形，所以.又因?yàn)榍?，面，所以面，因?yàn)槊?，所以面?（2）作交于，取中點(diǎn)為.因?yàn)?，，所?因?yàn)槊妫?，面，所以?如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，所以，，所以，，，?由，得，，，，.設(shè)面的法向量為，則，取，則，，所以.設(shè)面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因?yàn)椋?，所以到面的距離.

22．已知橢圓的短軸長為，一個(gè)焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)求橢圓方程和離心率；（2）首先直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示四邊形的面積，并利用基本不等式求最值.【詳解】（1）由題設(shè)