第03講 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試（滬教版）（解析版）

第03講直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系目錄考點(diǎn)一：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二：切線(xiàn)的性質(zhì)考點(diǎn)三：切線(xiàn)的判定考點(diǎn)四：切線(xiàn)的判定與性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)】一．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)．②相切：一條直線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線(xiàn)和圓相切，這條直線(xiàn)叫圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線(xiàn)和圓相交，這條直線(xiàn)叫圓的割線(xiàn)．（2）判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d．①直線(xiàn)l和⊙O相交?d＜r②直線(xiàn)l和⊙O相切?d＝r③直線(xiàn)l和⊙O相離?d＞r．二．切線(xiàn)的性質(zhì)（1）切線(xiàn)的性質(zhì)①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線(xiàn)的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線(xiàn)符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿(mǎn)足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線(xiàn)過(guò)圓心；②直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)；③直線(xiàn)與圓的切線(xiàn)垂直．（3）切線(xiàn)性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線(xiàn)是連接圓心和切點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問(wèn)題．三．切線(xiàn)的判定（1）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線(xiàn)必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線(xiàn)．②切線(xiàn)的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑時(shí)，直線(xiàn)和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．③在判定一條直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線(xiàn)和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線(xiàn)段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．四．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)（1）切線(xiàn)的性質(zhì)①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．（3）常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的：①判定切線(xiàn)時(shí)“連圓心和直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”；②有切線(xiàn)時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．【考點(diǎn)剖析】一．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（共14小題）1．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)O是線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，⊙O的半徑為1，如果⊙O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線(xiàn)段AO長(zhǎng)的取值范圍是＜AO＜．【分析】根據(jù)題意，需要分⊙O分別與邊AB、BE相切兩種情況下，計(jì)算出AO長(zhǎng)度即可解答．【解答】解：設(shè)⊙O與AB相切于點(diǎn)F，連接OF，OF＝1，∵BE＝BC＝6＝3，∠B＝90°，∴AE＝＝＝5，△ABE中，∵AB＞BE，∴∠BAE＜∠BEá∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＜∠DAE，∵∠AFO＝∠ABE＝90°，∠FAO＝∠BAE，∴△AFO∽△ABE，∴＝，即AO＝＝＝，∵∠DAE＞∠BAE，∴若⊙O與AD相切時(shí)，和AB一定相交；若⊙O與AB相切時(shí)，和AD一定相離．同理當(dāng)⊙O與BC相切于點(diǎn)M時(shí)，連接OM，OM＝1，計(jì)算得EO＝，∴此時(shí)AO＝5﹣EO＝5﹣＝，∴當(dāng)＜AO＜時(shí)，⊙O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，故答案為：＜AO＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分兩種情況計(jì)算．2．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)A在圓O上，已知圓O的半徑是4，如果點(diǎn)A到直線(xiàn)a的距離是8，那么圓O與直線(xiàn)a的位置關(guān)系可能是（）A．相交 B．相離 C．相切或相交 D．相切或相離【分析】根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．【解答】解：∵點(diǎn)A在圓O上，已知圓O的半徑是4，點(diǎn)A到直線(xiàn)a的距離是8，∴圓O與直線(xiàn)a的位置關(guān)系可能是相切或相離，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．若d＜r，則直線(xiàn)與圓相交；若d＝r，則直線(xiàn)于圓相切；若d＞r，則直線(xiàn)與圓相離．3．（2022?金山區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，），圓P的半徑為2，下列說(shuō)法正確的是（）A．圓P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn) B．圓P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn) C．圓P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn) D．圓P與x軸、y軸都沒(méi)有公共點(diǎn)【分析】點(diǎn)P到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離為2，圓P的半徑是2，所以可判斷圓P與x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可．【解答】解：∵P（2，），圓P的半徑為2，∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，∴該圓與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，一般是利用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑比較來(lái)判斷．若圓心到直線(xiàn)的距離是d，半徑是r，則①d＞r，直線(xiàn)和圓相離，沒(méi)有交點(diǎn)；②d＝r，直線(xiàn)和圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)；③d＜r，直線(xiàn)和圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．4．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，那么以點(diǎn)C為圓心、DC長(zhǎng)為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長(zhǎng)為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．不能確定【分析】連接CE，可知CD＝2，易證△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可知DE和BE的值，根據(jù)勾股定理可求CE的值，然后比較CD+BE與CE即可判斷．【解答】解：連接CE，如圖所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝3，根據(jù)勾股定理，得AB＝，∵AD＝2CD，且AC＝6，∴CD＝2，AD＝4，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝2，AE＝，∴BE＝，∵DE∥BC，且∠ACB＝90°，∴∠EDC＝90°，根據(jù)勾股定理，得CE＝，∵CD+BE＝2+＞，∴以點(diǎn)C為圓心、DC長(zhǎng)為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長(zhǎng)為半徑的圓E的位置關(guān)系是相交，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等，熟練掌握判斷兩圓位置關(guān)系的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（）A．0≤r≤ B．≤r≤3 C．≤r≤4 D．3≤r≤4【分析】根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系得出相切時(shí)有一交點(diǎn)，再結(jié)合圖形得出另一種有一個(gè)交點(diǎn)的情況，即可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AC＝3，BC＝4．如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴AB＝5，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，d＝r，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，當(dāng)直線(xiàn)與圓如圖所示也可以有交點(diǎn)，∴≤r≤4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意畫(huà)出符合題意的圖形，從而得出答案，此題比較容易漏解．6．（2022春?普陀區(qū)期中）已知在等邊△ABC中，AB＝2，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與邊AB有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑是．【分析】設(shè)⊙C與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，根據(jù)切線(xiàn)的定義得到AB與⊙C相切，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到CD⊥AB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝BC＝AB＝2，∠ACD＝ACB30°，于是得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)⊙C與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，∵以點(diǎn)C為圓心的圓與邊AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴AB與⊙C相切，∴CD⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACD＝ACB＝30°，∴CD＝AC＝，即⊙C的半徑是故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，AD＝2，cotC＝，圓O是以AB為直徑的圓．如果以點(diǎn)C為圓心作圓C與直線(xiàn)AD相交，與圓O沒(méi)有公共點(diǎn)，那么圓C的半徑長(zhǎng)可以是（）A．9 B． C．5 D．【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出FC，進(jìn)而求出BC，再根據(jù)勾股定理求出兩個(gè)圓心之間的距離OC，由⊙C與直線(xiàn)AD相交，⊙C與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)，確定⊙C半徑的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則DF＝AB＝4，BF＝AD＝2，在Rt△DCF中，DF＝4，cotC＝，∴FC＝cotC?DF＝，∴BC＝BF+FC＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝＝7，由于⊙C與直線(xiàn)AD相交，因此⊙C的半徑要大于4，又⊙C與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)，因此⊙C與⊙O外離或內(nèi)含，當(dāng)⊙C與⊙O外離時(shí)，⊙C的半徑要小于CE＝7﹣2＝5，此時(shí)⊙C的半徑4＜r＜5；當(dāng)⊙C與⊙O內(nèi)含時(shí)，⊙C的半徑要大于7+2＝9，此時(shí)⊙C的半徑r＞9；所以⊙C的半徑為4＜r＜5或r＞9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系，掌握勾股定理，圓與圓的位置關(guān)系的判定方法是正確解答的前提．8．（2022春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果⊙O的半徑為6cm，線(xiàn)段OA＝10cm，線(xiàn)段OB＝6cm，那么直線(xiàn)AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，線(xiàn)段OA＝10cm，線(xiàn)段OB＝6cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線(xiàn)AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?徐匯區(qū)期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)O是邊BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC≤【分析】作DE⊥BC于E，當(dāng)⊙O與邊AD相切時(shí)，圓心O與E重合，即OC＝4；當(dāng)OA＝OC時(shí)，⊙O與AD交于點(diǎn)A，設(shè)OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出結(jié)論．【解答】解：作DE⊥BC于E，如圖所示：則DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，當(dāng)⊙O與邊AD相切時(shí)，切點(diǎn)為D，圓心O與E重合，即OC＝4；當(dāng)OA＝OC時(shí)，⊙O與AD交于點(diǎn)A，設(shè)OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝；∴以O(shè)為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OC的取值范圍是4≤x≤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握直角梯形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．10．（2022春?金山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，點(diǎn)P在邊AC上，⊙P的半徑為1．如果⊙P與邊BC和邊AB都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線(xiàn)段PC長(zhǎng)的取值范圍是1＜CP＜．【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，如圖，連接PD，則PD⊥AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，如圖，連接PD，則PD⊥AB，∴∠C＝∠ADP＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴，∴＝，∴PA＝，∴PC＝AC﹣PA＝，∴線(xiàn)段PC長(zhǎng)的取值范圍是1＜CP＜，故答案為：1＜CP＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．11．（2022?青浦區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，AD＝1（如圖）．點(diǎn)O是邊CD上一點(diǎn)，如果以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么OD的取值范圍是（）A．2≤OD≤5 B．≤OD≤ C．≤OD≤ D．≤OD≤【分析】分別畫(huà)出半徑最小和最大時(shí)的圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及切線(xiàn)的性質(zhì)列方程求解即可．【解答】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，則AD＝BH＝1，AB＝DH＝4，HC＝4﹣1＝3，在Rt△DHC中，CD＝＝5，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，此時(shí)⊙O與線(xiàn)段BC有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)半徑最小，設(shè)OD＝OE＝x，則OC＝5﹣x，在Rt△COE中，sinC＝＝＝，∴OE＝（5﹣x），由OD＝OE得，x＝（5﹣x），解得x＝；如圖2，當(dāng)以O(shè)D為半徑的⊙O過(guò)點(diǎn)B時(shí)，半徑最大，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，設(shè)OD＝OB＝y(tǒng)，則OC＝5﹣y，在Rt△COF中，sinC＝＝＝，∴OF＝（5﹣y）＝4﹣y，F(xiàn)C＝（5﹣y）＝3﹣y，∴BF＝4﹣FC＝1+y，在Rt△BOF中，由勾股定理得，BF2+OF2＝OB2，即（1+y）2+（4﹣y）2＝y(tǒng)2，解得y＝，即⊙O的最大半徑為，所以當(dāng)以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么OD的取值范圍為≤OD≤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直角梯形以及直角三角形的邊角關(guān)系，畫(huà)出半徑最小和最大時(shí)的圖形是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如果x的取值范圍是a＜x＜b，我們就將b與a的差叫做x的變化區(qū)間長(zhǎng)度．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC交BD于點(diǎn)O，且AC＝16，BD＝12．如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個(gè)公共點(diǎn)，那么r的變化區(qū)間長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【分析】利用題意求出r變化的臨界值，根據(jù)變化區(qū)間長(zhǎng)度的定義即可求解．【解答】解：四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝8，OB＝BD＝6，∴AB＝＝10．過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，∵OA?OB＝AB?OH，∴OA?OB＝AB?OH，∴OH＝．∵菱形的中心O到各邊的距離都相等，∴以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫(huà)圓，則該圓與各邊都相切，此時(shí)，以O(shè)為圓心，為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有4個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)以點(diǎn)O為圓心，6為半徑畫(huà)圓，該圓與菱形ABCD的各邊有6個(gè)公共點(diǎn)，綜上如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個(gè)公共點(diǎn)，則＜r＜6，∴r的變化區(qū)間長(zhǎng)度是6﹣＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理，菱形的性質(zhì)，求得r變化的臨界值是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?浦東新區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，CD為AB邊上的中線(xiàn)，CD＝5，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B．如果⊙B與中線(xiàn)CD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么⊙B的半徑r的取值范圍為5＜r≤6或r＝．【分析】根據(jù)三角函數(shù)可得BC，AC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)可求CD，BD，根據(jù)三角形面積公式可求CD邊的高，再根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的中線(xiàn)，CD＝5，∴AB＝10，CD＝BD＝5，∵cosA＝＝，∴AC＝8，∴BC＝＝＝6，∴CD邊的高＝6×8÷2÷2×2÷5＝，∵⊙B與中線(xiàn)CD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴⊙B的半徑r的取值范圍為5＜r≤6或r＝．故答案為：5＜r≤6或r＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、三角形的面積、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)、解直角三角形等知識(shí)；熟練掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，由三角函數(shù)求出BC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2022春?青浦區(qū)期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E是AD上一定點(diǎn)，AB＝3，BC＝6，AD＝8，AE＝2．點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線(xiàn)段AD只有一個(gè)交點(diǎn)，則PC長(zhǎng)度的取值范圍是＜PC≤4或PC＝3．【分析】根據(jù)題意可得PC的最小值為圓P與AD相切，切點(diǎn)為M；PC最大值為圓P′與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問(wèn)題．【解答】解：根據(jù)題意可知：PC的最小值為圓P與AD相切，切點(diǎn)為M，如圖所示：∴PM⊥AD，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴四邊形ABPM是矩形，∴PM＝AB＝PC＝3，PC最大值為圓P′與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，∴P′C＝P′Q＝P′E+EQ＝3+1＝4，當(dāng)PC＝PA時(shí)，此時(shí)圓P與線(xiàn)段AD開(kāi)始有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，設(shè)PC＝PA＝x，則BP＝BC﹣PC＝6﹣x，AB＝3，∴（6﹣x）2+9＝x2，∴x＝，則PC長(zhǎng)度的取值范圍是＜PC≤4或PC＝3．故答案為：＜PC≤4或PC＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系．二．切線(xiàn)的性質(zhì)（共6小題）15．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為π．【分析】如圖，OH為BC邊的高，利用兩圓相切的性質(zhì)得到AB＝AC＝BC＝8，則可判斷△ABC為等邊三角形，則CH＝4，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到OC＝，再利用圓與圓相切的性質(zhì)得到⊙O的半徑OE＝OC+CE＝+1，然后用大圓的面積減去15個(gè)小圓的面積得到陰影部分的面積．【解答】解：如圖，OH為BC邊的高，∵所有小圓相切，∴AB＝AC＝BC＝8，∴△ABC為等邊三角形，∴∠OCB＝30°∵OH⊥BC，∴CH＝4，∴OH＝CH＝，∴OC＝2OH＝，∵⊙C與⊙O相切，∴⊙O的半徑OE＝OC+CE＝+1，∴陰影部分的面積＝π×（+1）2﹣15×π×12＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．16．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AC是弦，將圖形ABC沿直線(xiàn)AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB．如果DE與圓O相切，那么∠BAC的度數(shù)等于15°．【分析】過(guò)O點(diǎn)作OH⊥DE于H點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AB于F點(diǎn)，如圖，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OH為⊙O的半徑，再證明四邊形OHDF為矩形，所以DF＝OH，接著利用折疊的性質(zhì)得到AD＝AB，∠BAC＝∠DAC，然后根據(jù)正弦的定義求出∠DAF＝30°，從而得到∠BAC的度數(shù)．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥DE于H點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AB于F點(diǎn)，如圖，∵DE與圓O相切，∴OH為⊙O的半徑，∵DE∥AB，∴OH⊥AB，∴四邊形OHDF為矩形，∴DF＝OH，∵圖形ABC沿直線(xiàn)AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，∴AD＝AB，∠BAC＝∠DAC，在Rt△DAF中，∵sin∠DAF＝＝＝，∴∠DAF＝30°，∴∠BAC＝∠DAF＝15°．故答案為：15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理、折疊的性質(zhì)和解直角三角形．17．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）已知點(diǎn)P是直線(xiàn)y＝2上一點(diǎn)，⊙P與y軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，如果AB＝2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，2）．【分析】根據(jù)題意作出圖形，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，然后由垂徑定理及勾股定理可得圓的半徑，由此可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形如下：∴ON＝2，AB＝2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，∴PM＝2，AM＝BM＝1，在Rt△PBM中，PB＝＝＝，∵⊙P與y軸相切，∴PN⊥y軸，PN＝PB＝，∵⊙P與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，2）．故答案為：（﹣，2）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、垂徑定理及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確作出圖形是解決此題的關(guān)鍵．18．（2022?上海）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為2﹣．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用圓周角定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵圓與三角形的三條邊都有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，∴圓心O就是三角形的內(nèi)心，∴當(dāng)⊙O過(guò)點(diǎn)C時(shí)，且在等腰直角三角形ABC的三邊上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此時(shí)⊙O最大，過(guò)點(diǎn)O分別作弦CG、CF、DE的垂線(xiàn)，垂足分別為P、N、M，連接OC、OA、OB，∵CG＝CF＝DE，∴OP＝OM＝ON，∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，∴AC＝BC＝×2＝，由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，∴AC?OP+BC?ON+AB?OM＝S△ABC＝AC?BC，設(shè)OM＝x，則OP＝ON＝x，∴x+x+2x＝×，解得x＝﹣1，即OP＝ON＝﹣1，在Rt△CON中，OC＝ON＝2﹣，故答案為：2﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形面積的計(jì)算，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提，畫(huà)出符合題意的圖形是正確解答的關(guān)鍵．19．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是3﹣或3+．【分析】分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情形討論解答：利用相切時(shí)圓心距與利用半徑的關(guān)系列出方程即可求解．【解答】解：連接AD，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC＝2，∠B＝60°．∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝，AD⊥BC，∴⊙D的半徑為，AD＝AB?sin60°＝3．①以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相外切時(shí)，∴r+＝AD＝3，∴r＝3﹣．②以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相內(nèi)切時(shí)，∴r﹣＝AD＝3，∴r＝3+．綜上，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是3﹣或3+．故答案為：3﹣或3+．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．20．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，⊙O是以BC為直徑的圓，如果⊙O與⊙A相切，那么⊙A的半徑長(zhǎng)為±2．【分析】分兩種情況：①如圖，⊙A與⊙O內(nèi)切，連接AO并延長(zhǎng)交⊙A于E，根據(jù)AE＝AO+OE可得結(jié)論；②如圖，⊙A與⊙O外切時(shí)，連接AO交⊙A于E，同理根據(jù)AE＝OA﹣OE可得結(jié)論．【解答】解：有兩種情況：①如圖1，⊙A與⊙O內(nèi)切時(shí)，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于E，∵⊙O與⊙A相內(nèi)切，∴E為切點(diǎn)，∴OE＝BC＝2，∵∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理得：OA＝＝＝，∴AE＝OA+OE＝+2；即⊙A的半徑為+2；②如圖2，⊙A與⊙O外切時(shí)，連接AO交⊙O于E，同理得AE＝AO﹣OE＝﹣2，即⊙A的半徑為﹣2，綜上，⊙A的半徑為+2或﹣2．故答案為：±2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理；通過(guò)作輔助線(xiàn)得出AE是⊙A的半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三．切線(xiàn)的判定（共2小題）21．（2019秋?金山區(qū)期末）已知在矩形ABCD中，AB＝5，對(duì)角線(xiàn)AC＝13．⊙C的半徑長(zhǎng)為12，下列說(shuō)法正確的是（）A．⊙C與直線(xiàn)AB相交 B．⊙C與直線(xiàn)AD相切 C．點(diǎn)A在⊙C上 D．點(diǎn)D在⊙C內(nèi)【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半徑長(zhǎng)為12，∴⊙C與直線(xiàn)AB相切，故A選項(xiàng)不正確，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C與直線(xiàn)AD相交，故B選項(xiàng)不正確，∵AC＝13＞12，∴點(diǎn)A在⊙C外，故C選項(xiàng)不正確，∵CD＝5＜12，∴點(diǎn)D在⊙C內(nèi)，故D選項(xiàng)正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握切線(xiàn)的判定及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．（2019秋?嘉定區(qū)期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中的表述，正確的是（）A．經(jīng)過(guò)半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn) B．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn) C．經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn) D．經(jīng)過(guò)一條弦的外端且垂直于這條弦的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)【分析】根據(jù)切線(xiàn)的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：由切線(xiàn)的判定定理可知：經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，故A，B，D選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓中切線(xiàn)的判定，熟練掌握切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．四．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)（共2小題）23．（2017?閔行區(qū)二模）下列關(guān)于圓的切線(xiàn)的說(shuō)法正確的是（）A．垂直于圓的半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn) B．與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的射線(xiàn)是圓的切線(xiàn) C．經(jīng)過(guò)半徑的一端且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn) D．如果圓心到一條直線(xiàn)的距離等于半徑長(zhǎng)，那么這條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)【分析】根據(jù)切線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，故原命題錯(cuò)誤；B、與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，故原命題錯(cuò)誤；C、經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，故原命題錯(cuò)誤；D、如果圓心到一條直線(xiàn)的距離等于半徑長(zhǎng)，那么這條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理熟練掌握切線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）如圖所示，AB為⊙O的直徑，C在⊙O上，OD∥BC，AD是切線(xiàn)，延長(zhǎng)DC、AB交于點(diǎn)E．（1）求證：DE是切線(xiàn)；（2）＝，求cos∠ABC的值．【分析】（1）由題意可證△ADO≌△CDO可得∠DCO＝90°，即結(jié)論可得；（2）由BC∥OD，可得BC：DO＝2：3，設(shè)DO＝3a，BC＝2a，再由cos∠AOD＝cos∠ABC可得，可求AO＝a，即可求cos∠ABC的值．【解答】證明：（1）連接OC，∵AD是⊙O切線(xiàn)，BA是直徑，∴∠DAO＝90°；∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC；∵AD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，∠DOC＝∠OCB，∴∠AOD＝∠DOC且DO＝DO，AO＝CO，∴△ADO≌△CDO，∴∠DAO＝∠DCO＝90°，∴OC⊥DE，且OC為半徑，∴DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）∵BC∥DO，∴，∴設(shè)DO＝3a，BC＝2a，∵∠AOD＝∠ABC，∴cos∠AOD＝cos∠ABC，∴，∴2AO2＝6a2，∴AO＝a，∴cos∠ABC＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，找到AO＝a是本題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．（2021·上海金山·一模）如圖，已知中，，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有公共點(diǎn)，那么⊙的半徑的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=13，再利用面積法計(jì)算出然后根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)．【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴∴∴以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)時(shí)，r的取值范圍為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d：直線(xiàn)l和⊙O相交?d＜r；直線(xiàn)l和⊙O相切?d=r；直線(xiàn)l和⊙O相離?d＞r．2．（2021·上海楊浦·二模）下列命題中，真命題是（）A．平分弦的直徑垂直于弦B．垂直平分弦的直線(xiàn)平分這條弦所對(duì)的弧C．在同圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等D．經(jīng)過(guò)半徑一端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)【答案】B【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理進(jìn)行判斷解答．【詳解】解：A、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，原命題是假命題；B、垂直平分弦的直線(xiàn)平分這條弦所對(duì)的弧，是真命題；C、在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等，原命題是假命題；D、經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，原命題是假命題；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)．3．（2021·上海崇明·二模）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果O的半徑為3cm，線(xiàn)段OA＝5cm，線(xiàn)段OB＝3cm，那么直線(xiàn)AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進(jìn)行判斷，即當(dāng)圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；圓心到直線(xiàn)的距離大于半徑時(shí)，直線(xiàn)與圓相離．【詳解】∵⊙O的半徑為3cm，線(xiàn)段OA＝5cm，線(xiàn)段OB＝3cm∴點(diǎn)A在以O(shè)為圓心5cm長(zhǎng)為半徑的圓上，點(diǎn)B在以O(shè)圓心3cm長(zhǎng)為半徑的⊙O上當(dāng)AB⊥OB時(shí)，如左圖所示，由OB=3cm知，直線(xiàn)AB與⊙O相切；當(dāng)AB與OB不垂直時(shí)，如右圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則OD<OB，所以直線(xiàn)AB與⊙O相交；∴直線(xiàn)AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，要確定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，要比較圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的大小，從而可確定位置關(guān)系．4．（2018·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)期末）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以點(diǎn)P（﹣2，3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切C．相交 D．相離、相切、相交都有可能【答案】A【分析】先求出點(diǎn)P到x軸的距離，再根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系得出即可．【詳解】解：點(diǎn)P(-2，3)到x軸的距離是3，3>2，所以圓P與軸的位置關(guān)系是相離，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．5．（2021·上?！ざ＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點(diǎn)O在邊AB上，且BO＝2OA．以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，過(guò)O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，過(guò)O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OE＝16，OD＝6，當(dāng)⊙O過(guò)點(diǎn)C時(shí)，連接OC，根據(jù)勾股定理得，如圖，∵以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，∴r＝6或10或16或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．6．（2014·上海金山·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-（x-2）2+1的頂點(diǎn)是點(diǎn)P，對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)Q，以點(diǎn)P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙P，那么下列判斷正確的是（

）A．x軸與⊙P相離； B．x軸與⊙P相切； C．y軸與⊙P與相切； D．y軸與⊙P相交．【答案】B試題分析：根據(jù)拋物線(xiàn)解析式寫(xiě)出頂點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系解答．由題意得，頂點(diǎn)P（2，1），Q（2，0），所以PQ=1，即⊙P的半徑為1，∵點(diǎn)P到x軸的距離為1，到y(tǒng)軸的距離為2，∴x軸與⊙P相切，y軸與⊙P相離．故選B．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．二、填空題7．（2021·上海寶山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作⊙A，將⊙A繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜90°），若⊙A與直線(xiàn)BC相切，則∠α的余弦值為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠A′DC＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到CA′＝CA＝3，根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．【詳解】解：設(shè)將⊙A繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A至點(diǎn)A′時(shí)，⊙A′與直線(xiàn)BC相切相切于點(diǎn)D，連接A′D，則∠A′DC＝90°，A′D＝1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CA′＝CA＝3，∴cos∠CA′D＝，∵AC∥A′D，∴α＝∠CA′D，∴∠α的余弦值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，直線(xiàn)與圓位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線(xiàn)性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)，直線(xiàn)與圓位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線(xiàn)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2020·上海閔行·九年級(jí)期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4，⊙C與斜邊AB相切，那么⊙C的半徑為_(kāi)_____.【答案】【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)圓相切的性質(zhì)得出CD⊥AB，CD即為⊙C的半徑，然后根據(jù)三角形面積列出等式，即可解得CD.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD，如圖所示∵∠C=90o，AC=3，BC=4，∴又∵⊙C與斜邊AB相切，∴CD⊥AB，CD即為⊙C的半徑∴∴故答案為.【點(diǎn)睛】此題主要考查圓相切的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.9．（2019·上海嘉定·九年級(jí)期末）如圖，在圓中，是弦，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，平分，聯(lián)結(jié)、，那么__________度．【答案】120【分析】連接AC，證明△AOC是等邊三角形，得出的度數(shù)．【詳解】連接AC∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)∴∵，∴AB平分OC∴AB是線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn)∴∵∴∴△AOC是等邊三角形∴∴∴故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定定理，從而得出目標(biāo)角的度數(shù)．10．（2019·上?！ぞ拍昙?jí)期末）已知Rt△ABC中，，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有唯一的公共點(diǎn)，那么的半徑的取值范圍為_(kāi)___.【答案】或【分析】因?yàn)橐箞A與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上．若d＜r，則直線(xiàn)與圓相交；若d=r，則直線(xiàn)于圓相切；若d＞r，則直線(xiàn)與圓相離．【詳解】根據(jù)勾股定理求得BC==6，當(dāng)圓和斜邊相切時(shí)，則半徑即是斜邊上的高，等于；當(dāng)圓和斜邊相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上時(shí)，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長(zhǎng)直角邊，則6＜r≤8，故半徑r的取值范圍是r=4.8或6＜r≤8，故答案為r=4.8或6＜r≤8．【點(diǎn)睛】此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)即可．11．（2018·上海上海·九年級(jí)期中）已知在中，，，如果以點(diǎn)為圓心的圓與斜邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么的半徑是________【答案】【分析】由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可知，圓心C到AB的距離等于的半徑即可解答．【詳解】解：在中，，，∴AB=，以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，，S△ABC=BCAC=ABCD，即的半徑是故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系解答．12．（2018·上海深圳·九年級(jí)期末）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線(xiàn)交射線(xiàn)PB于點(diǎn)C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，線(xiàn)段BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】8,,【分析】分3種情況分析：（1）當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖（1），作OH⊥AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AO交PB于點(diǎn)G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cos∠AOH=cos∠P，，BC=PC－2PG；（2）當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖（2），延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)K，類(lèi)似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，cos∠APC=cos∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）當(dāng)BA=BP時(shí)，如圖（3），∠C=∠CAB，BC=AB．【詳解】解：（1）當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖（1），作OH⊥AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AO交PB于點(diǎn)G；∵AB=AP，∴，∵AO過(guò)圓心，∴AG⊥PB，∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，∵∠AOB=2∠P，∴∠AOH=∠P，∵OA=5，AH=4，∴OH=3，∵∠OAH=∠PAG，∴sin∠OAH=sin∠PAG，∴，∴PG=，∵∠AOH=∠P，∴cos∠AOH=cos∠P，，∴，∴BC=PC－2PG=；（2）當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖（2），延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)K，類(lèi)似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，∴PB=PA==，∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，∴，∴，∴BC=PC－PB=；（3）當(dāng)BA=BP時(shí)，如圖（3），∵BA=BP，∴∠P=∠BAP，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB，∴BC=AB=8．故答案為或或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形．三、解答題13．（2018·上海深圳·九年級(jí)期末）如圖，⊙O的直徑為，點(diǎn)在圓周上（異于），是的平分線(xiàn)，.（1）求證：直線(xiàn)是⊙O的切線(xiàn)；（2）若=3，，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）試題分析：（1）連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC＝4，然后證出△ABC∽△ACD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式解答即可．試題解析：（1）證明：連接OC，∵AC是∠DAB的角平分線(xiàn)，∴∠DAC＝∠BAC，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴DC是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4．∵∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠D＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴，∴，解得：AD＝．14．（2019·上海嘉定·九年級(jí)期末）如圖，在圓中，弦，點(diǎn)在圓上（與，不重合），聯(lián)結(jié)、，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別是點(diǎn)、．（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)到的距離為3，求圓的半徑．【答案】（1）；（2）圓的半徑為5．【分析】（1）利用中位線(xiàn)定理得出，從而得出DE的長(zhǎng)．（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，求解出AH的值，再利用勾股定理，求出圓的半徑．【詳解】解（1）∵經(jīng)過(guò)圓心，∴同理：∴是的中位線(xiàn)∴∵∴（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)∵經(jīng)過(guò)圓心∴∵∴在中，∴即圓的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理以及勾股定理的運(yùn)用，是較為典型的圓和三角形的例題．15．（2020·上海青浦·二模）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點(diǎn)C在半圓O上．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC，垂足為點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與弦BC交于點(diǎn)E，與半圓O交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合）．（1）當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí)，求弦BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)OD＝x，＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△AOD與△CDE相似時(shí)，求線(xiàn)段OD的長(zhǎng)．【答案】（1）3；（2）y＝；（3）【分析】（1）連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)H．得出∠BOF＝∠COF．則∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的長(zhǎng)；（2）連結(jié)BF．證得OD∥BF，則，即，得出，則得出結(jié)論；（3）分兩種情況：①當(dāng)∠DCE＝∠DOA時(shí)，AB∥CB，不符合題意，舍去，②當(dāng)∠DCE＝∠DAO時(shí)，連結(jié)OF，證得∠OAF＝30°，得出OD＝，則答案得出．【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)H．∵F是中點(diǎn)，∴OF⊥BC，BC＝2BH．∴∠BOF＝∠COF．∵OA＝OF，OC⊥AF，∴∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∵AB＝6，∴OB＝3，∴BH＝，∴BC＝2BH＝3；（2）如圖2，連結(jié)BF．∵AF⊥OC，垂足為點(diǎn)D，∴AD＝DF．又∵OA＝OB，∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．∴，∴，即，∴，∴y＝．（3）△AOD和△CDE相似，分兩種情況：①當(dāng)∠DCE＝∠DOA時(shí)，AB∥CB，不符合題意，舍去．②當(dāng)∠DCE＝∠DAO時(shí)，連結(jié)OF．∵OA＝OF，OB＝OC，∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．∵∠DCE＝∠DAO，∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝