第05講 等腰三角形的性質(zhì)與判定（2大考點(diǎn)14種解題方法）（解析版）

第05講等腰三角形的性質(zhì)與判定（2大考點(diǎn)14種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．二.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a，h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC＝a,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC與點(diǎn)D.3.在直線l上截取DA=h,連接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三.等腰三角形的判定：判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．四.等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．五.等邊三角形的判定：（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：等腰三角形的性質(zhì)定理題型一：等腰三角形的性質(zhì)的判定一、單選題1．（2022·重慶忠縣·八年級(jí)期末）如圖，已知，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接、．張宇同學(xué)根據(jù)已知條件給出了以下幾個(gè)結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】延長(zhǎng)BG與CD的延長(zhǎng)線相交于E點(diǎn)，證明△ABG≌△DEG，得AB=DE，由AB+CD=BC，得CE=BC，點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，得∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°∠CBE=∠CEB，故③①④正確；由GM⊥CD于點(diǎn)M，GN⊥BC于點(diǎn)N，CG=CG，∠BCG=∠ECG，證△GMC≌△GNC，故②正確．【詳解】解：如下圖：延長(zhǎng)BG與CD的延長(zhǎng)線相交于E點(diǎn)，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，∵點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，∴AG=GD，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG，∴AB=DE，BG=GE，∵AB+CD=BC，∴DE+CD=BC，∴CE=BC，∴∠CBE=∠CEB，又∵∠ABE=∠BEC，∴∠CBE=∠ABE，∴BG平分∠ABC，∴③正確；∵CE=BC，點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，∴∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°，∴CG平分∠BCD，∴①④正確；∵GM⊥CD于點(diǎn)M，GN⊥BC于點(diǎn)N，∴∠GMC=∠GNC=90°，∵CG=CG，∠BCG=∠ECG，∴△GMC≌△GNC，∴GM=GN，∴②正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是證明△ABG≌△DEG．二、填空題2．（2022·廣東東莞·八年級(jí)期末）在等腰三角形ABC中，∠A＝3∠B，則∠C的度數(shù)為___________.【答案】或【分析】設(shè)∠B＝x°，則∠A＝3x°，根據(jù)∠A是頂角或底角兩種情況分類討論，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)∠B＝x°，則∠A＝3x°，①當(dāng)∠A是頂角時(shí)，∠A＋2∠B＝180°，即：5x＝180，解得：x＝36，此時(shí)∠C＝∠B＝36°；②當(dāng)∠A是底角時(shí)，2∠A＋∠B＝180°，即7x＝180，解得：x＝，此時(shí)∠C＝3∠B＝，綜上所述，∠C的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，能夠根據(jù)這個(gè)角是底角還是頂角進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·重慶忠縣·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，平分，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)CD平分∠ACB，BD⊥CD，CD=CD，先證△BCD≌△FCD，得到△BCF為等腰三角形，BF=2BD，再證△BAF≌△CAE，即可得答案．【詳解】解：如下圖：延長(zhǎng)BD與CA的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°，又∵CD=CD，∴△BCD≌△FCD，∴BC=CF，∴△BCF為等腰三角形，∴BF=2BD，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC，∴∠FBA=∠ECF，在△BAF和△CAE中，∴△BAF≌△CAE，∵BF=CE，∵BF=2BD，∴CE=2BD，∵BD=，∴CE=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)BD與CA的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，構(gòu)造△BAF≌△CAE．三、解答題4．（2022·北京海淀·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D、E在邊BC上，且AD＝AE，求證：BE＝CD．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDA＝∠CEA，進(jìn)而利用全等三角形的判定方法AAS即可得出△ABD≌△ACE，則結(jié)論可得出．【詳解】證明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BDA＝∠CEA，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD＝CE，∴BD＋DE＝CE＋DE，即BE＝CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．5．（2021·黑龍江·巴彥縣第一中學(xué)八年級(jí)期中）已知在直角三角形ABC中，，AD平分．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)E在AB上，連接CE交AD于F，若，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M在AB上，連接CM交AD于G，過(guò)點(diǎn)G作于N，交CF于H，，，，求的面積．【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）20【分析】（1）根據(jù)DA=DB，得∠DAB=∠B，由已知AD平分∠CAB，∠CAD=∠DAB，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得答案；（2）根據(jù)AD平分∠CAB，∠BAD=∠BCE，得∠CAD=∠BCE，由∠BCE+∠ACE=90°，∠CAD+∠ACE=90°，得∠AFE=∠AFC=90°，最后根據(jù)∠ACE=∠AEC，即可得答案；（3）設(shè)∠ACM=，∠CAB=2，得∠BMC=90°-，∠AEC=90°-，再根據(jù)2+2=90°，得FC=FG，再證∠FCD=∠FGH，得△FGH≌△FCD，最后根據(jù)CF=GF=5，GD=8，即可得答案．【詳解】證明：（1）∵DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．（2）∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠BAD=∠BCE，∴∠CAD=∠BCE，∵∠BCE+∠ACE=90°，∴∠CAD+∠ACE=90°，∴∠AFE=∠AFC=90°，∵∠FAE+∠AEC=90°，∴∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．（3）設(shè)∠ACM=，∠CAB=2，∴∠BCM=90°-．∵2∠ACM=∠B，∴∠B=2，∴∠BMC=90°-．∵AC=AE，∴∠AEC=90°-，∴∠MCE=180°-∠BMC-∠AEC=+．∵2+2=90°，∴∠MCE=45°．∵∠CFG=90°，∴∠FGC=∠FCG，∴FC=FG．∵GN⊥CD，∴∠GNC=90°．∵∠FCD+∠FDC=∠FGH+∠FDC，∴∠FCD=∠FGH．∴△FGH≌△FCD，∴FH=FD=3．∵CH=2，∴CF=GF=5，GD=8，∴△CGD的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，外角，三角形面積的知識(shí)點(diǎn)，做題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．6．（2021·廣東東莞·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB上的高，AF為∠BAC的角平分線，AF交CD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.(1)如圖1，①∠ACD∠B（選填“<，=，>”中的一個(gè)）②如圖1，求證：CE=CF；(2)如圖1，作EG∥AB交BC于點(diǎn)G,若AD=a,△EFG為等腰三角形，求AC（含a的代數(shù)式表示）；(3)如圖2，過(guò)BC上一點(diǎn)M，作MN⊥AB于點(diǎn)N，使得MN=ED，探索BM與CF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①=；②見解析；（2）2a；（3）見解析【分析】(1)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，推出即可；②根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CFE=∠CEF，根據(jù)等腰三角形判定推出即可；(2)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出∠ACD=∠CAF=∠BAF，得出3∠ACD=90°，求出∠ACD=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可；(3)過(guò)E作EH⊥AC于H，求出EH=DE=MN，證△CHE≌△BNM，推出BM=CE即可．【詳解】解：①∠ACD=∠B，理由是：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠B，故答案為=②證明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF，∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠CEF=∠ACD+∠CAF，∵∠B=∠ACD，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF；(2)解：∵△EFG是等腰三角形，∴∠FEG=∠FGE，∵EG∥AB，∴∠FEG=∠BAF，∠FGE=∠B，∵∠B=∠ACD，∴∠ACD=∠CAF=∠BAF，∵∠CDA=90°，∴3∠ACD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=2AD=2a．(3)解：BM=CF，理由是：過(guò)E作EH⊥AC于H，∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，∴EH=ED=MN，∵EH⊥AC，MN⊥AB，∴∠CHE=∠BNM=90°，在△CHE和△BNM中∴△CHE≌△BNM(AAS)，∴BM=CE，∵CE=CF，∴BM=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．7．（2022·陜西安康·八年級(jí)期末）（1）如圖1，與均是頂角為的等腰三角形，，，則與的數(shù)量關(guān)系為____________．（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，為中邊上的高，連接．①求的度數(shù)；②證明：【答案】（1）；（2）①，②見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BAD≌△CAE，即可判斷出BD=CE；（2）①首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據(jù)此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進(jìn)而判斷出∠AEB的度數(shù)為90°即可，②根據(jù)∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據(jù)此判斷出AE=BE+2CM即可．【詳解】解：（1），∵∠BAC＝∠DAE＝50°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；（2）①解：∵，∴在和△中，∴△≌△，∴，CD=CE，∵，

∴，∴，∴，∴，②證明．∵由（2）可知，∴∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是在判定三角形全等時(shí)，注意選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．8．（2022·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)期中）如圖，在中，，是邊上的中線，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，連接，．(1)求證：點(diǎn)在的垂直平分線上；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，證得是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得，，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出和的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差即可求出的度數(shù)．（1）∵在中，，是邊上的中線，∴，，∴是的垂直平分線．∵點(diǎn)在上，∴．∵垂直平分，∴，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．（2）∵，是邊上的中線，，∴，∴，∵∴．∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解本題的關(guān)鍵．題型二：等邊三角形的性質(zhì)一、單選題1．（2022·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)期末）所謂全等圖形是能夠完全重合的圖形．下列哪些不是全等圖形（）A．兩條射線 B．兩條直線C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩條長(zhǎng)度相等的線段【答案】C【分析】全等圖形是能夠完全重合的圖形，根據(jù)全等圖形的定義對(duì)A、B、D進(jìn)行判斷；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等圖形的定義對(duì)C進(jìn)行判斷．【詳解】解：兩條射線可以完全重合，則兩條射線是全等圖形，所以A不符合題意；兩條直線可以完全重合，則兩條直線是全等圖形，所以B不符合題意；兩個(gè)等邊三角形不一定完全重合，則兩個(gè)等邊三角形不一定是全等圖形，只有邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等，所以C符合題意；兩條長(zhǎng)度相等的線段可以完全重合，則兩條長(zhǎng)度相等的線段是全等圖形，所以D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的定義，等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．2．（2022·云南省楚雄天人中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD，則∠ADE=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)等邊三角形的三線合一可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線兩兩相交于點(diǎn)A，B，C，是等邊三角形，點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作//交直線于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，則___________．【答案】40°或100°【分析】分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右邊時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得答案；【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C左邊時(shí)，是等邊三角形，，，，，；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右邊時(shí)，是等邊三角形，，，，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，能夠正確進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．三、解答題4．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E，A在直線DC的同側(cè)，連接AE．(1)求證：AEBC；(2)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，仍以CD為邊作等邊三角形CDE，使得E、A在直線DC的兩側(cè)，那么AE和BC還平行嗎？畫圖證明你的判斷．【答案】(1)見解析(2)平行，見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根據(jù)SAS證△ACE≌△BCD，即可證明∠EAC=∠ABC=∠ACB=60°，可得結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根據(jù)SAS證△ACE≌△BCD，即可證明∠EAC=∠ABC=∠ACB=60°，可得結(jié)論；（1）證明：∵△ABC和△DEC是等邊三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，即∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，∴AEBC；（2）解：還成立，理由如下：如圖，∵△ABC和△DEC是等邊三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠DCA=∠ECD+∠DCA，即∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，∴AEBC；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△ACE≌△BCD是解題的關(guān)鍵．5．（2021·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知△ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊△DCE和等邊△DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF(1)如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（不需要證明）；(3)若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）【答案】(1)AE+BF＝AB，證明見解析(2)BF﹣AE＝AB(3)AE﹣BF＝AB【分析】（1）AE+BF=AB，可證明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論；（2）BF-AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論；（3）AE-BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論．（1）AE+BF＝AB，如圖1，∵△ABC和△DCF是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°．∴∠ACD＝∠BCF，在△ACD和△BCF中∴△ACD≌△BCF（SAS）∴AD＝BF同理：△CBD≌△CAE（SAS）∴BD＝AE∴AE+BF＝BD+AD＝AB；（2）BF﹣AE＝AB，如圖2，同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD＝BF，BD＝AE，∴BF﹣AE＝AD﹣BD＝AB；（3）AE﹣BF＝AB，如圖3，同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD＝BF，BD＝AE，∴AE﹣BF＝BD﹣AD＝AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用類比思想，在變化中發(fā)現(xiàn)不變是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2021·福建·莆田第七中學(xué)八年級(jí)期中）（1）〖問(wèn)題背景〗如圖1，B、E、M三點(diǎn)共線，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求證：△DBE≌△EMF；（2）〖變式運(yùn)用〗如圖2，B、E、C三點(diǎn)共線，△DEF為等邊三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求證：EC＝BD＋BE.

【分析】（1）根據(jù)∠DEM=∠B+∠BDE，∠B=∠DEF，可得∠BDE=∠MEF，利用AAS即可證明；（2）延長(zhǎng)DB至N點(diǎn)，使得BE=BN，連接EN，根據(jù)BE=BN，可得∠BNE=∠BEN，即有∠BNE=∠BEN=30°，進(jìn)而得∠C=∠BNE，根據(jù)∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE；根據(jù)△DEF是等邊三角形，可得DE=EF，∠DEF=60°，即有∠CEF=∠BDE，利用AAS即可證明，則有EC=DN，即可得EC=BD+BE．【詳解】（1）證明：∵B、E、M三點(diǎn)共線，∴∠DEM=∠B+∠BDE，∴∠DEF+∠MEF=∠B+∠BDE，∵∠B=∠DEF=∠M，∴∠BDE=∠MEF，∵DE=EF，∠B=∠M，∴；（2）證明：延長(zhǎng)DB至N點(diǎn)，使得BE=BN，連接EN，如圖，∵BE=BN，∴∠BNE=∠BEN，∵∠BNE+∠BEN=∠DBE=60°，∴∠BNE=∠BEN=30°，∵∠C=30°，∴∠C=∠BNE，∵B、E、C三點(diǎn)共線，∴∠DEC=∠DBE+∠BDE，∴∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE，∵△DEF是等邊三角形，∴DE=EF，∠DEF=60°，∵∠DBE=60°，∴∠DBE=60°=∠DEF，∴∠CEF=∠BDE，∵∠C=∠BNE，DE=EF，∴，∴EC=DN，∵BE=BN，DN=BN+BD，∴EC=BD+BE，得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定及其性質(zhì)，構(gòu)造輔助線BN是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·山東·北辛中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．(1)求證：AE＝BD；(2)求證：MNAB．(3)設(shè)AE和DB的交點(diǎn)為F，連FC，求證：FC平分∠AFB．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明△ACE≌△DCB，則可證得；（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證明，得出，則可判定為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系可得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證明．（3）作CP⊥AE，交AE于P點(diǎn)，作CQ⊥DB，交BD于點(diǎn)Q，根據(jù)（1）中已證得△ACE≌△DCB，可知，即有，進(jìn)而有PC＝CQ，即可作答．（1）∵和是等邊三角形，∴，，，∴，即，在與中，∴（SAS），∴；（2）∵由（1）得，，∴，∵，而A、C、B三點(diǎn)共線，∴，在與中，∴（ASA），∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∵A、C、B三點(diǎn)共線，∴．（3）作CP⊥AE，交AE于P點(diǎn)，作CQ⊥DB，交BD于點(diǎn)Q，如圖，∵△ACE≌△DCB，∴，∴，∴PC＝CQ，∴FC平分∠AFB，得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：等腰三角形的判定定理題型三：格點(diǎn)圖中的等腰三角形一、單選題1．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，已知，是兩格點(diǎn)，如果點(diǎn)也是格點(diǎn)，且使得是以為腰的等腰三角形，那么點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，分別以A、B為圓心，AB為半徑作圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，即可得到點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖，以為等腰其中的一條腰時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解,數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．二、解答題2．（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，在所給的6×6方格中，點(diǎn)A，B，P都在小方格的格點(diǎn)上，按下列要求畫圖，所畫的點(diǎn)都必須落在方格紙的格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)畫出兩個(gè)等腰直角三角形ABC，使點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（分別在圖1、2中畫出示意圖，不能重復(fù)）．（2）請(qǐng)畫一個(gè)等腰三角形ABC，使點(diǎn)P落在△ABC的對(duì)稱軸上（在圖3中畫出示意圖）．【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)畫出圖像即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)畫出圖形即可；【詳解】解：（1）如圖，圖1，圖2中，△ABC即為所求；（2）如圖，△ABC，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題．3．（2021·浙江·寧波市海曙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的3×3網(wǎng)格．（1）在圖1中，找格點(diǎn)C、D，使得CD⊥AB（找出一條即可）；（2）在圖2中，找格點(diǎn)P使得△PAB為等腰三角形（標(biāo)記出所有符合條件的P點(diǎn)）【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)C、D即為所求作的點(diǎn)，（2）如圖，點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5即為所求作的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查作等腰三角形、作垂線，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵．4．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）八年級(jí)期中）如圖，在下列網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)單位，小正方形的頂點(diǎn)稱為網(wǎng)格的格點(diǎn)．（1）圖1為8×6網(wǎng)格，點(diǎn)A，點(diǎn)B在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中畫出以一個(gè)以AB為一邊，點(diǎn)C在格點(diǎn)上，面積為9的等腰ACB，此時(shí)∠ABC=．（2）圖2為5×3網(wǎng)格，點(diǎn)A，點(diǎn)B在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中找出所有的點(diǎn)C，使得ABC為等腰三角形，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．(在找到的點(diǎn)上標(biāo)上點(diǎn)C1，C2，C3…)【答案】（1）畫圖見詳解，45°；（2）見詳解【分析】（1）根據(jù)面積為9的等腰ACB，AB=6，即可作出等腰ACB，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分AB為腰，AB為底，找出第三個(gè)頂點(diǎn)位置，即可．【詳解】解：（1）如圖1所示：此時(shí)ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°，故答案是：45°；（2）如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握分類討論思想方法，熟悉網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇鹽城·八年級(jí)期中）勤于思考的小明同學(xué)提出如下問(wèn)題：如圖，不用尺規(guī)作圖，利用正方形網(wǎng)格線畫出∠ABC的角平分線（點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上）．請(qǐng)你幫助小明畫出角平分線并說(shuō)明理由．【分析】設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，由圖可知：BD=5，BA=，可得BA=BD，，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問(wèn)題．【詳解】如圖中，線段BF即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．題型四：找出圖中的等腰三角形一、單選題1．（2021·湖北·荊州市荊南中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，則圖中一共有（）個(gè)等腰三角形．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理得到△ABD與△BAC是等腰三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形．【詳解】解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD與△BAC是等腰三角形，在△ABD與△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠D＝∠C＝72°，∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，∴∠DAE＝∠CBE＝36°，∴∠AED＝∠BEC＝72°，∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC，∴△ADE和△BCE是等腰三角形，∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE≌△BCE（AAS），∴AE＝BE，∴△ABE是等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東惠州·八年級(jí)期末）如圖，中，，，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線m上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PC，那點(diǎn)P在直線m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義利用作圖的方法找出符合條件的點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖所示：以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P1，P3；以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P4，P2；以C為圓心，BC為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P5與P1兩點(diǎn)重合．因此出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的定義和判定，利用作圖找等腰三角形是一種常見的方法．二、填空題3．（2022·寧夏·吳忠市第二中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，請(qǐng)寫出圖中有哪些等腰三角形__．【答案】△ABD，△BDC，△ABC．【分析】先計(jì)算出∠BDC，再計(jì)算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法對(duì)圖形中的三角形進(jìn)行判斷．【詳解】∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°，∴△ABC為等腰三角形，∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC為等腰三角形，∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD為等腰三角形．故答案為：△ABD，△BDC，△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．4．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（1，2），在y軸確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有____個(gè)．【答案】4．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得出可能OA為底，可能OA為腰兩種情況，依此即可得出答案．【詳解】①以A為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，此時(shí)交y軸于1個(gè)點(diǎn)（O除外）；②以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，此時(shí)交y軸于2個(gè)點(diǎn)；③作線段AO的垂直平分線，此時(shí)交y軸于1個(gè)點(diǎn)；共1+2+1=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定的應(yīng)用，注意：有兩邊相等的三角形是等腰三角形，注意要進(jìn)行分類討論．三、解答題5．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．（1）求證：AB+BE=CD．（2）若AD=BC，在不添加任何補(bǔ)助線的條件下，直接寫出圖中所有的等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）△BCD，△BCE【分析】（1）由“ASA”可證△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠EDC．在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（ASA），∴AB=DE，∴DE+BE=BD，∵BD=CD，∴AB+BE=CD；（2）∵△ABD≌△EDC，∴AD=EC，∵AD=BC，BD=CD，∴AD=BC=EC，∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．6．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，．分別計(jì)算的度數(shù)，并說(shuō)明圖中有哪些等腰三角形．【答案】；圖中的等腰三角形有【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)求解即可，根據(jù)等角對(duì)等邊即可找到相等的邊，進(jìn)而證明等腰三角形．【詳解】，在中，，是的一個(gè)外角，，，，，，是等腰三角形，，，是等腰三角形，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期末）已知，如圖，在ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長(zhǎng)線上，且BE＝CD，連BD，CE．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，則圖中共有個(gè)等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）證明△EBC≌△DCB（SAS），可得結(jié)論．（2）根據(jù)等腰三角形的定義，判斷即可．【詳解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△EBC和△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BE＝CD．（2）圖中共有5個(gè)等腰三角形．∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝36°，∵∠D＝∠E＝36°，∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，∴∠DAB＝∠EAC＝72°，∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，∴DB＝DA，EA＝EC，∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．題型五：根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形一、單選題1．（2022·陜西渭南·八年級(jí)期中）下列條件能判定為等腰三角形的是（

）A．， B．，，C．， D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合等腰三角形的判定對(duì)A、C、D進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的定義對(duì)B進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、當(dāng)∠A＝30°，∠B＝60°時(shí)，∠C＝90°，△ABC不是等腰三角形，不符合題意；B、AB≠AC≠BC，△ABC不是等腰三角形，不符合題意；C、當(dāng)A＝50°，∠B＝80°時(shí)，∠C＝50°，△ABC是等腰三角形，符合題意D、當(dāng)∠A：∠B：∠C＝3：4：5時(shí)，三個(gè)內(nèi)角互不相等，△ABC不是等腰三角形，不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理以及等角對(duì)等邊．2．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④△AEC是等腰直角三角形．你認(rèn)為正確的序號(hào)是（

）A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】①根據(jù)AD⊥BC，若∠ABC=45°則∠BAD=45°，而∠BAC=45°，很明顯不成立；②③可以通過(guò)證明△AEH與△CEB全等得到；④CE⊥AB，∠BAC=45°，所以是等腰直角三角形．【詳解】解：①∵CE⊥AB，EH＝EB，∴∠EBH＝45°，∴∠ABC＞45°，故①錯(cuò)誤；∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，∴AE＝EC，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（SAS），∴AH＝BC，故選項(xiàng)②正確；又EC＝EH＋CH，∴AE＝BE＋CH，故選項(xiàng)③正確．∵AE＝CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故選項(xiàng)④正確．∴②③④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行證明，找出相等的對(duì)應(yīng)邊后，注意線段之間的和差關(guān)系．掌握等腰直角三角形的判定二、解答題3．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）如圖，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，求證：AE＝DE．【分析】（1）根據(jù)SSS證明三角形全等即可；（2）證明∠EAD＝∠ADE即可證明AE＝DE．(1)證明：在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS）；(2)證明：∵△ADB≌△ADC，∴∠DAB＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．4．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分線，BD=BE．求證：(1)△CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC．【分析】（1）由AB=AC，∠A=100°求出∠ABC=∠C=40°，再由BD是∠ABC的平分線求出∠DBC=∠ABC=20°，根據(jù)BD=BE求出∠BED=∠BDE=80°，再根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求得∠EDC=40°，則∠EDC=∠C，從而證明ED=EC，即△CED是等腰三角形；（2）在BE上截取BF=BA，連結(jié)DF，先證明△FBD≌△ABD，則FD=AD，∠BFD=∠A=100°，可證明∠EFD=∠FED=80°，則AD=FD=ED=EC，即可證明BD+AD=BE+EC=BC．(1)∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=×（180°-100°）=40°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠DBC=∠ABC=20°，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=×（180°-20°）=80°，∴∠EDC=∠BED-∠C=80°-40°=40°，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴△CED是等腰三角形．(2)如圖，在邊上取點(diǎn)，使，在和中∵∴∴，，∴，∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖南永州·八年級(jí)期末）如圖，已知，(1)求證：；(2)若平分，求證：是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)，可得∠A＝∠D，利用SAS證明△ABE≌△DCF即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AEB＝∠DFC，進(jìn)而可得∠BEF＝∠CFE，然后利用角平分線的定義等量代換后可得∠BEF＝∠BFE，求出BE＝BF可得結(jié)論．（1）證明：∵，∴∠A＝∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝CF；（2）證明：∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∵∠BEF＝180°－∠AEB，∠CFE＝180°－∠DFC，∴∠BEF＝∠CFE，又∵平分，∴∠BFE＝∠CFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義以及等腰三角形的判定，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，E為的外角平分線上的一點(diǎn)，AE//BC，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)三角形全等的判定證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．（1）證明：∵AE//BC，，，為的外角平分線上的一點(diǎn)，，，，是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：，，在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．題型六：根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等一、單選題1．（2022·廣西貴港·八年級(jí)期末）如圖，是的角平分線，交BC于點(diǎn)E，垂足為F，連接DE．若，，則的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】C【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=95°，利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BED=∠BAD即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵∠ABC=35°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-35°-50°=95°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABF=∠EBF，∵BD⊥AE，∴∠AFB=∠EFB=90°，∴∠BAF=∠BEF，∴AB=BE，在△BDA和△BDE中，∵AB=AE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CED=180°-95°=85°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．2．（2021·湖北咸寧·八年級(jí)期中）如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別為AC，BC邊上的點(diǎn)，AD＝CE，連接AE，BD交于點(diǎn)F，∠CBD，∠AEC的平分線交于AC邊上的點(diǎn)G，BG與AE交于點(diǎn)H，連接FG．有下列結(jié)論：①△ABD≌△CBG；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG．其中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)已知條件無(wú)法證明△ABD≌△CBG，①不正確；證明△ABD≌△CAE，可得∠CAE＝∠ABD，然后求出∠GEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠FBE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BGE＝30°，②正確；過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，證明Rt△GFJ≌Rt△GFT，求出∠GFJ＝∠GFT＝60°，進(jìn)而可得∠BGF＝60°－∠FBG，∠ABG＝60°－∠CBG，可得③正確；證明△GJF≌△GKC，得到GF＝GC，然后再證∠AHG＝∠AGH求出AH＝AG即可判斷④正確．【詳解】解：∵∠C＝∠BAD＝60°，BC＝AB，根據(jù)已知條件無(wú)法得出CG＝AD或其它對(duì)應(yīng)角相等，∴無(wú)法得出△ABD≌△CBG，①不正確；∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BFE＝∠BAE＋∠ABD，∴∠BFE＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAC＝60°，∵∠AEC＝∠EBF＋∠BFE，∴∠AEC＝∠FBE＋60°，∵∠CBD、∠AEC的平分線交于AC邊上的點(diǎn)G，∴∠GEC＝∠AEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE，∵∠GEC＝∠GBE＋∠BGE，∴∠BGE＝30°，故②正確；過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，∵BG平分∠DBC，EG平分∠AEC，∴GT＝GK＝GJ，∠FBG＝∠CBG，∵∠GJF＝∠GTF＝90°，GF＝GF，∴Rt△GFJ≌Rt△GFT（HL），∴∠GFJ＝∠GFT，∵∠BFE＝60°，∴∠GFJ＝∠GFT＝60°，∴∠BFG＝120°，∴∠BGF＝180°－120°－∠FBG＝60°－∠FBG，∵∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝60°－∠CBG，且∠FBG＝∠CBG，∴∠ABG＝∠BGF，故③正確；∵∠GFJ＝∠C＝60°，∠GJF＝∠GKC＝90°，GJ＝GK，∴△GJF≌△GKC（AAS），∴GF＝GC，∵∠BAH＋∠EAC＝∠EAC＋∠AGF＝60°，∴∠BAH＝∠AGF，∵∠AHG＝∠ABG＋∠BAH，∠AGH＝∠BGF＋∠AGF，∠ABG＝∠BGF，∴∠AHG＝∠AGH，∴AH＝AG，∴AH＋GF＝AG＋GC＝AC＝AB，∴AB＝AH＋FG，故④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．二、填空題3．（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在邊AC、BC上，且∠CDE=∠B，將△CDE沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F點(diǎn)，若CD=4，CE=3，DE=5，則AB的長(zhǎng)為_____________．【答案】【分析】連接交于，由已知，由三角形面積公式可求，由折疊的性質(zhì)可求，由等腰三角形的判定可得，即可求的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接交于，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在上的處，，，，，，，，，，，，且，，，，同理可求：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，等腰三角形的判定，證明是本題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ//AE；③連接CO，則OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ為等邊三角形．恒成立的結(jié)論有___________________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)．【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正確；然后利用ASA證明△CQB≌△CPA，得到CQ＝CP，則△PCQ為等邊三角形，⑤正確；然后求出∠CPQ＝∠ACP＝60°，可得PQ∥AE，②正確；根據(jù)∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，可知DC≠DP，則DE≠DP，④錯(cuò)誤；連接CO，過(guò)C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，根據(jù)S△BCE＝S△ACD可得CM＝CN，進(jìn)而可得OC平分∠AOE，③正確．【詳解】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正確；∵∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCQ＝60°，即∠BCQ＝∠ACP＝60°，又∵AC＝BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CQ＝CP，∴△PCQ為等邊三角形，⑤正確；∴∠CPQ＝60°，∴∠CPQ＝∠ACP，∴PQ//AE，②正確；∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，∴DC≠DP，∴DE≠DP，④錯(cuò)誤；連接CO，過(guò)C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，∵△BCE≌△ACD，∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，∴×BE×CM＝×AD×CN，∴CM＝CN，∴OC平分∠AOE，③正確；故正確的有①②③⑤，故答案為：①②③⑤【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，等角對(duì)等邊，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2022·江西鷹潭·八年級(jí)期中）如圖，將直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2個(gè)單位得到直角梯形EFGH，已知BC=6，∠A=90°，∠C=45°，求陰影部分的面積．【答案】陰影部分的面積為10．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得AE=BF=2，BC=FG=6，由于S陰影部分+S梯形EBOH=S梯形EBOH+S梯形BFGO，所以S陰影部分=S梯形BFGO，然后根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算．【詳解】解：如圖所示：由平移的性質(zhì)得AE=BF=2，BC=FG=6，∠C=∠G=45°，∵S陰影部分+S梯形EBOH=S梯形EBOH+S梯形BFGO，∴S陰影部分=S梯形BFGO，過(guò)O作OQ⊥FG于Q，在Rt△OQG中，∠G=45°，∴OQ=QG=BF=2，∴BO=FG-OG=6-2=4，∴S陰影部分=S梯形BFGO=×(6+4)×2=10，故陰影部分的面積為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形，平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．6．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）已知：如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，且，BD與CE相交于點(diǎn)O．求證：．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)證明,因?yàn)?，所以，由等角?duì)等邊，即可解決問(wèn)題．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，∠OAB＝∠OBA，∠C＝∠D＝90°．求證：△AOC≌△BOD．【分析】根據(jù)∠OAB＝∠OBA可得OA=OB，再通過(guò)AAS即可進(jìn)行證明．【詳解】證明：∵∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS）【點(diǎn)睛】本題主要考查了用AAS證明三角形的全等，通過(guò)∠OAB＝∠OBA得到OA=OB是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．AD交B于點(diǎn)F，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，作交直線FG于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)，______，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，試探索AF與BH的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，（2）中AF與BH的數(shù)量關(guān)系______成立（填“仍然”或“不再”）．請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，見解析(3)仍然，見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF＝CF＝BF＝3，再說(shuō)明BF＝BH，可得答案；（2）連接CF，首先利用ASA證明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，則∠DCF＝45°，再證明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，從而證明結(jié)論；（3）連接CF，先證明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再證明△CGF≌△BGH（AAS），從而解決問(wèn)題．（1）解：如圖1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案為：3，3；（2）AF＝BH，理由如下：連接CF，如圖2，∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBG＝∠ABH－∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，∵點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分線，∴AF＝CF，∴AF＝BH；（3）仍然，證明如下：連接CF，如圖3，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E．由三角形三條高交于一點(diǎn)，得CF⊥AB．∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，∵點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分線，∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案為：仍然．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、證明△CGF≌△BGH是解題的關(guān)鍵．9．（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期末）如圖，在等邊中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上．(1)如圖1，，求證：；(2)如圖2，若E為上異于A、C的任一點(diǎn)，，（1）中結(jié)論是否仍然成立？為什么？【答案】(1)證明見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)由得到BE平分，則可求出，再由得到，利用外角的性質(zhì)求出，最后利用等角對(duì)等邊即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF//BD交AB于點(diǎn)F，如圖（見詳解），根據(jù)平行得到同位角相等繼而得到是等邊三角形，利用邊角邊證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．（1）證明：∵是等邊三角形，，∴BE平分，．∵，∴，，∴，∴；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：∵是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作EF//BD交AB于點(diǎn)F，如圖所示，則，，∴是等邊三角形．∵，∴，∴，即．∵是的外角，是的外角，∴，在和中，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)和判定以及外角的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判定定理，并能夠在圖中作出適當(dāng)?shù)妮o助線解決問(wèn)題．題型七：根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)一、單選題1．（2022·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中已知∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC點(diǎn)E，若AB＝9，AC＝7，則△ADE的周長(zhǎng)為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)卡得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵分別平分，∴，DE∥BC，，，，AB＝9，AC＝7，，△ADE的周長(zhǎng)為，．故選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的意義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握等角對(duì)等邊是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線和∠ACB相鄰的外角平分線CD交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，則BE長(zhǎng)為_________．【答案】8【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的判定可得，同樣的方法可得，然后根據(jù)線段和差可得，由此即可得．【詳解】解：平分，BD平分∠ABC，，∠ABD=∠CBD，，，∠EDB=∠CBD，，∠ABD=∠EDB，，BE=DE，，，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．3．（2022·遼寧本溪·八年級(jí)期末）如圖，一艘船從處出發(fā)向正北航行50海里到達(dá)處，分別從，望燈塔，測(cè)得，，則處到燈塔的距離是__________海里．【答案】50【分析】由題意可知AB的距離，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠C的度數(shù)，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可求出答案．【詳解】解：由題可知：(海里)，∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，∴∠C=∠NBC?∠NAC=84°?42°=42°，∴BC=AB=50(海里)，即從B處到燈塔C的距離為50海里．故答案為：50

．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)定理，利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決特殊的實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵是結(jié)合圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DEAB，交BC于點(diǎn)E，BE＝2，則DE的長(zhǎng)是___．【答案】2【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BDE，等量代換得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DEAB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，求得是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，為的角平分線．(1)如圖1，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．則_______；(2)如圖2，于點(diǎn)，連接，若的面積是6，求的面積；(3)如圖3，若，，，則的長(zhǎng)為_______．（用含的式子表示）【答案】(1)3；(2)12；(3)【分析】（1）依題意可證，從而AF=AE=4，可由FC=AC-AF求得問(wèn)題的解；（2）延長(zhǎng)CG，AB交于點(diǎn)H，可證，從而AH=AC，HG=GC，又，，，由問(wèn)題可解；（3）在AC上取一點(diǎn)N，使得AN=AB，從而，所以BD=DN=NC=n-m，從而由求得DC的長(zhǎng)．(1)解：，，∵為的角平分線，，，，，，故答案為：3；(2)解：延長(zhǎng)CG，AB交于點(diǎn)H，由（1）知，，，，，，故答案為：12；(3)解：在AC上取一點(diǎn)N，使得AN=AB,(SAS),,，,,,，由角平分線的性質(zhì)得：點(diǎn)D到AB，AC的距離相等，，又，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2022·吉林延邊·八年級(jí)期末）如圖，燈塔B在燈塔A的正東方向，且．燈塔C在燈塔A的北偏東20°方向，燈塔C在燈塔B的北偏西50°方向．（1）求的度數(shù)；（2）一輪船從B地出發(fā)向北偏西50°方向勻速行駛，5h后到達(dá)C地，求輪船的速度．【答案】（1）70°；（2）15km/h【分析】（1）根據(jù)題意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠ACB；（2）根據(jù)等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，進(jìn)而由速度=路程÷時(shí)間求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，∴BC=AB=75km，∴輪船的速度為75÷5=15（km/h）．【點(diǎn)睛】本題考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理，理解方位角，熟練掌握等腰三角形的等角對(duì)等邊是解答的關(guān)鍵．題型八：直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)一、單選題1．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一種電子游戲，其規(guī)則為：電子屏幕上有一正方形，點(diǎn)P沿直線從右往左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與正方形四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用等腰三角形的判定方法，從右到左依次考慮，即可得到所有構(gòu)成等腰三角形的情況，得到直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．【詳解】解：當(dāng)BC=BP時(shí)，△BCP為等腰三角形；當(dāng)P與B重合時(shí)，△APC為等腰三角形；當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB邊的中點(diǎn)時(shí)，PD=PC，此時(shí)△PCD為等腰三角形；當(dāng)P與A重合時(shí)，△PBD為等腰三角形；當(dāng)PA=AD時(shí)，△PAD為等腰三角形；當(dāng)AP=AC時(shí)，△APC是等腰三角形，這時(shí)有2個(gè)；當(dāng)BD=BP時(shí)，△BDP是等腰三角形，這時(shí)有2個(gè)；綜上，直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有9個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·河北·秦皇島市第七中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點(diǎn)C有（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)，然后作的垂直平分線，交直線于點(diǎn)，由此即可得．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)，然后作的垂直平分線，交直線于點(diǎn)．則符合條件的點(diǎn)共有5個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是某生產(chǎn)線的橫截面示意圖，MN表示長(zhǎng)度為20米的筆直傳送帶，在MN的中點(diǎn)正上方3米處，有一個(gè)專用消毒噴頭，（噴頭大小、長(zhǎng)度均忽略不計(jì)），噴頭位置用點(diǎn)p表示，此時(shí)MN上有一個(gè)邊長(zhǎng)為2米的正方形盒子ABCD，則在盒子隨傳送帶從點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N的過(guò)程中，以C、D、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的時(shí)刻共有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)分情況討論即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形∴，∵，在中點(diǎn)，∴，∴①當(dāng)正方形在上，時(shí)，為等腰三角形；②當(dāng)正方形在上，時(shí)，為等腰三角形；③當(dāng)過(guò)正方形邊中點(diǎn)上時(shí)，，為等腰三角形；④當(dāng)正方形在上，時(shí)，為等腰三角形；⑤當(dāng)正方形在上，時(shí)，為等腰三角形；綜上所述，以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的時(shí)刻共有5個(gè)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上（包括頂點(diǎn)），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵△MNP是等腰三角形，∴符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·福建三明·八年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和，在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)共有（

）個(gè)A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】分三種情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分別畫圖即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（B點(diǎn)除外），當(dāng)BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），當(dāng)CA=CB時(shí)，畫AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有8個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2021·遼寧大連·八年級(jí)期末）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B（0，2），連接AB，AO．（1）坐標(biāo)系中有點(diǎn)C，使得△COB≌△AOB；①在坐標(biāo)系中畫出△BOC；②點(diǎn)C坐標(biāo)為；（2）若x軸上有點(diǎn)D，使得△ABD是以AB為腰的等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（寫出一個(gè)結(jié)果即可）．【答案】（1）①見解析圖；②（-4，4）；（2）（0，4）（答案不唯一，符合題意即可）【分析】（1）①要使得△COB≌△AOB，直接將A點(diǎn)沿y軸對(duì)稱至左側(cè)，連接BC和OC即可；②A，C關(guān)于y軸對(duì)稱，即可寫出坐標(biāo)；（2）以B為圓心，BA為半徑作圓弧，與x軸交于D點(diǎn)即為所求，再根據(jù)全等得出坐標(biāo)．【詳解】1）①如圖所示；②A，C關(guān)于y軸對(duì)稱，故答案為：（-4，4）；（2）如圖，以B為圓心，BA為半徑作圓弧，與x軸交于D點(diǎn)即為所求，作AE⊥y軸，此時(shí)顯然△ABE≌△DBO，則OD=EA=4，∴此時(shí)D的坐標(biāo)為（0，4），故答案為：（0，4）答案不唯一，符合題意即可．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的作圖，以及等腰三角形的性質(zhì)，理解基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2020·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，．以為一邊作等邊三角形，連接、．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？【答案】（1）見解析；（2）50°；（3）或或【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)證明，即可證明；（2）先根據(jù)得，再根據(jù)等邊三角形的定義和周角的定義可得和的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）分三種情況討論，利用已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，和都是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2）解：，，是等邊三角形，，，，，中，；（3）解：由（2）知：，，，①當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，即，解得：；③當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，即，解得：；綜上，當(dāng)為或或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．8．（2020·浙江·杭州采荷實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，按照的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為4cm/s，設(shè)出發(fā)時(shí)間為．（1）BC邊上的高為________；AB邊上的高為________．（2）當(dāng)時(shí)，求t的值；（3）若是等腰三角形，求出滿足條件t的值．【答案】（1），；（2）；（3）3.9或5或【分析】（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．根據(jù)S△ABC=?BC?AH=?AC?BD求解即可．（2）證明△APC≌△ADB（SAS），可得AP=AD，求出AD即可解決問(wèn)題．（3）分三種情形：①CA=CP，②CA=AP，③AP=PC，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，作于．，，，，，邊上的高為，AC邊上的高為9.6cm，∴AB邊上的高為9.6cm，故答案為：，；（2）證明：如圖2中，，，，，，，，．（3）分三種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，由（2）可知，，，．②如圖4，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，③如圖5，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作于．，，，由（1）可知：，點(diǎn)在上，，，，．綜上所述，滿足條件的的值為3.9或5或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．題型九：求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)一、單選題1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論：作AB的垂直平分線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以A為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以B為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【詳解】作AB的垂直平分線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到P5，此時(shí)AP=BP；以A為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到P2和P6，此時(shí)AB=AP；以B為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到P1、P3和P4，此時(shí)BP=BA；綜上所述：符合條件的點(diǎn)P共有6個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來(lái)，不遺漏掉任何一種情況是本題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022·江西·贛州市贛縣區(qū)教育教學(xué)研究室八年級(jí)期末）已知：如圖中，，，在射線上找一點(diǎn)，使為等腰三角形，則的度數(shù)為__________．【答案】或50°或【分析】分三種情形分別求解即可.【詳解】中，∵，，∴∠BAC=40o，如圖，為等腰三角形有三種情形：①當(dāng)時(shí)，∵，∠BAC=40o，∴=，∴=；②當(dāng)時(shí)，，∴；③當(dāng)時(shí)，∵，∠BAC=40o，∴，∴=；故答案為：或50°或【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．三、解答題3．（2022·山東聊城·八年級(jí)期中）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答