2024年陜西西咸新區(qū)高三一模高考理科數(shù)學(xué)卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)西咸新區(qū)2024年高三數(shù)學(xué)（理科）第一次模擬考試注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，全卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，是虛數(shù)單位，若，，則（

）A．1或-1 B． C． D．或2．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，且，則的值為（

）A．-17 B．-15 C．17 D．154．已知變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：681012632據(jù)此得到變量，之間的線性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．變量，之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，C． D．該回歸直線必過(guò)點(diǎn)5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式，例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解．右圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐．若這四個(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，則四棱錐與三棱柱的體積之比為（

）A．3:1 B．1:3 C．2:3 D．1:66．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0相鄰的概率為（

）A． B． C． D．8．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．9．記函數(shù)（）的最小正周期為，且，將的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．510．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線的右支上一點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．11．已知圓的方程為：，點(diǎn)，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，現(xiàn)有以下四種說(shuō)法：①四邊形的面積的最小值為1；②四邊形的面積的最大值為；③的最小值為；④的最大值為．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)為（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④12．已知，則（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，則．14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．15．如圖，過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．16．在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分100分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：成績(jī)高一學(xué)生人數(shù)1551515高二學(xué)生人數(shù)10102010試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？(2)校后勤部決定對(duì)參與這次競(jìng)賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：方案一：記學(xué)生得分為，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生10元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生25元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生35元食堂代金券；方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)10元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)30元食堂代金券．若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？18．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，線段的中垂線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).19．如圖，四棱錐中，平面平面，，，，且，.(1)求證：平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值.20．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)在橢圓，過(guò)點(diǎn)作互相垂直且與軸不重合的兩直線，分別交橢圓于，和點(diǎn)，，且點(diǎn)，分別是弦，的中點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求以為直徑的圓的方程；(3)直線是否過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．21．已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．（二）選考題：共10分．考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線的極坐標(biāo)方程為（），射線與曲線和直線分別交于兩點(diǎn)，求的面積【選修4-5：不等式選講】23．設(shè)函數(shù).(1)解不等式，(2)若關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)，得到，再根據(jù)，利用乘法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可求解.【詳解】由已知得：，而，所以.故選：C3．D【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列，的公差分別為，又，，且，則，即，所以，故選：D.4．C【分析】由，可判斷A正確；當(dāng)時(shí)，得到的預(yù)測(cè)值，可得判定B正確；由表格中的數(shù)據(jù)，求得樣本中心，代入求得的值，可判定C不正確；由，求得，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，可得變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)，可得，所以B正確；對(duì)于C中，由表格中的數(shù)據(jù)，可得，則，解得，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得，所以該回歸直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以D正確.故選：C.5．B【分析】令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，寫出三棱柱、長(zhǎng)方體和三棱柱的體積列式求解即可.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，所以三棱柱的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，因?yàn)樗膫€(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，所以，所以，因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以四棱錐與三棱柱的體積之比為.故選：B.6．A【分析】利用為偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，故越靠近軸，函數(shù)值越小，從而解出不等式.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，因?yàn)?，所以，解得：．故選：A.7．D【分析】首先將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，求出總的排放方法，再利用插空法求出2個(gè)0相鄰的排法，再利用古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，總的排放方法有種，要使2個(gè)0相鄰，利用插空法，5個(gè)1有6個(gè)位置可以放兩個(gè)0，故排放方法有種，所以所求概率為，故選：D.8．A【分析】利用正三棱柱的特征、中位線性質(zhì)構(gòu)造共面直線余弦定理解三角形即可.【詳解】如圖所示，取棱的中點(diǎn)分別為，易知，所以異面直線與所成角的余弦值即，由正三棱柱的特征可知底面，而底面，所以，易知，由余弦定理知，故A正確.故選：A9．D【分析】根據(jù)題意，求得，進(jìn)而的平移后的函數(shù)為，根據(jù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求得，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，且，所以，因?yàn)椋傻?，所以的圖象向右平移個(gè)單位后得到，因?yàn)樗煤瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，可得，因?yàn)?，所以的最小值?故選：D.10．C【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，以及三角形的特征，利用角的關(guān)系，結(jié)合余弦定理，列出等式，即可求雙曲線的離心率.【詳解】由橢圓可知，，則，由，則，則，根據(jù)，有，整理為，即，得或（舍），所以雙曲線的離心率為.故選：C11．B【分析】利用數(shù)形結(jié)合，將面積的最值轉(zhuǎn)化為求的最值，即可判斷①②；利用數(shù)量積和三角函數(shù)表示，再轉(zhuǎn)化為利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，最短，最小值為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)，最大值為2，因?yàn)槭菆A的切線，所以，，則四邊形的面積為，所以四邊形的面積的最小值為，最大值為，故①②正確；,，，，設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為0，最大值為，故③錯(cuò)誤，④正確.故選：B12．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，然后可比較P，M；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其在上的單調(diào)性，令，結(jié)合和可證.【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，則.由可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.由在單調(diào)遞增可知：，即.由在單調(diào)遞減區(qū)間，令有兩個(gè)解，且，則，可得①，得②，令，則，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，.若，即，結(jié)合①②，得，則有.又當(dāng)時(shí)，，故，由在單調(diào)遞減知：，即.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題有兩個(gè)難點(diǎn)，一是對(duì)M，N，P同構(gòu)后，構(gòu)造函數(shù)；二是構(gòu)造函數(shù)尋找方程兩根的關(guān)系，利用其關(guān)系比較.13．5【分析】先求得的坐標(biāo)，再求其模長(zhǎng).【詳解】因，則.故答案為：5.14．【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，設(shè)，可得，結(jié)合圖象可得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，即取得最小值，即目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以.故答案為：.15．【分析】依據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到方程，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用焦半徑公式求解即可.【詳解】設(shè)，，，拋物線準(zhǔn)線與交與點(diǎn)，若，作，可得//，故，故，解得，得，將代入拋物線方程，得到，解得(正根舍去)，故，易知，故的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，，解得，故得，由焦半徑公式得，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：16．【分析】根據(jù)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，分組求和即可.【詳解】由題知，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所以故答案為：17．(1)高一年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好(2)選擇方案二【分析】（1）分別運(yùn)用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差公式計(jì)算，得出平均數(shù)相同，高一年級(jí)成績(jī)的方差低于高二年級(jí)，故得結(jié)論；（2）分別按照方案一和方案二計(jì)算兩個(gè)年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)額，進(jìn)行比較后確定方案二.【詳解】（1）設(shè)高一年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.高二年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.則，，因，故高一年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)比較穩(wěn)定集中，成績(jī)更好；（2）按照方案一，高一年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，而高二年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，即按照方案一，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)少于高二；按照方案二，依題意，所抽取的100名參加競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)中位數(shù)為，則樣本中，高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元；高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高二年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元.因，即按照方案二，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)多于高二.故若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇方案二.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcosC+sinCsinB＝0，結(jié)合sinB＞0，可求tanC＝﹣1，結(jié)合范圍0＜C＜π，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，cosB的值，設(shè)BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，在Rt△BCD中，可求BD的值．【詳解】（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1∵0＜C＜π∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c＝5，∴，設(shè)BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，∵在Rt△BCD中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）利用題意首先證得，然后結(jié)合面面垂直的性質(zhì)即可證得線面垂直；（2）取的中點(diǎn)為，連接，先證明平面，再利用題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合空間向量的結(jié)論求解直線和平面所成角的正弦值即可【詳解】（1）由，，可得，由，且，可得，在中，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面；?）取的中點(diǎn)為，連接，易得，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面；以為坐?biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，因?yàn)?，所以，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，令x=1，則，所以平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，故直線和平面所成角的正弦值為.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)依題意，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）求得直線的方程為，聯(lián)立方程組與橢圓的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的直徑的圓的方程；（3）設(shè)直線設(shè)的方程為，則直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，解得的坐標(biāo)，寫出直線的方程，即可判定是否過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，可得，則，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)分別為.（2）解：由（1）得，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以，則CD的中點(diǎn)為且，故以為直徑的圓的方程為.（3）解：設(shè)直線的方程為，且，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則且，所以，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將的坐標(biāo)中的用代換，可得的中點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即，則直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問(wèn)題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過(guò)定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).21．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為，利用構(gòu)造函數(shù)法、放縮法，結(jié)合多次求導(dǎo)來(lái)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證得不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在區(qū)