變螺距螺桿加工中插補(bǔ)算法及加減速控制

針對(duì)在普通機(jī)床上加工變螺距螺桿時(shí)存在的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)對(duì)輪廓弓高誤差和進(jìn)給加速度的控制，實(shí)現(xiàn)了變螺距螺旋線的直接插補(bǔ)控制，求解出了其插補(bǔ)軌跡，同時(shí)為了避免機(jī)床在加工起始和終止時(shí)產(chǎn)生沖擊和振蕩，提出了一種多項(xiàng)式曲線加減速控制算法和終點(diǎn)控制方法，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了算法的可行性和正確性。該算法適用于所有的空間參數(shù)曲線，為變螺距螺桿的實(shí)際加工提供了理論指導(dǎo)。食品機(jī)械、石油化工、航天和船舶等工業(yè)領(lǐng)域，廣泛地應(yīng)用著各種類型的螺桿。變螺距螺桿由于其加工工藝繁瑣，加工難度較大，目前多用螺桿專用機(jī)床進(jìn)行加工。在普通機(jī)床上實(shí)現(xiàn)變螺距螺桿的加工，是異形螺桿加工領(lǐng)域的一個(gè)重要方向，而作為體現(xiàn)數(shù)控加工精度和效率的插補(bǔ)算法，其研究就顯得尤為關(guān)鍵。插補(bǔ)算法一般可分為基準(zhǔn)脈沖法和數(shù)據(jù)采樣法兩大類，傳統(tǒng)的機(jī)床在對(duì)要加工的零件曲線進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，通常是將其離散化為一系列首尾相接的微小直線段，直線段的數(shù)量越大，加工精度就越高。同時(shí)，為了滿足數(shù)控加工高速高效的發(fā)展需要，必須對(duì)整個(gè)加工過(guò)程進(jìn)行加減速規(guī)劃。目前常用的加減速控制方法有直線加減速和S形曲線加減速兩種，直線加減速控制最簡(jiǎn)單也最常用，但是機(jī)床在加減速起始和終止時(shí)都存在速度突變，容易引起機(jī)床的振動(dòng)，影響加工精度；S形加減速控制不存在速度突變，過(guò)渡平滑，但是算法比較復(fù)雜，并且其加加速度的不連續(xù)性也使加工的柔性受到了限制。本文以變螺距雙螺桿壓縮機(jī)中的陰轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)輪廓弓高誤差和進(jìn)給加速度的控制，使用數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)的方法實(shí)現(xiàn)了變螺距螺旋線的直接插補(bǔ)控制，并提出了一種多項(xiàng)式曲線加減速控制算法和終點(diǎn)控制方法，最后通過(guò)實(shí)例對(duì)本文算法的可行性和正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。1.期望進(jìn)給步長(zhǎng)的確定（1）輪廓誤差分析控制數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法本質(zhì)上是將加工一段輪廓曲線的時(shí)間劃分為若干相等的插補(bǔ)周期T，每個(gè)周期進(jìn)行一次插補(bǔ)計(jì)算，在指定進(jìn)給速度F下將輪廓曲線分割成一系列的微小直線段，然后轉(zhuǎn)換成各個(gè)坐標(biāo)軸的進(jìn)給量。這種插補(bǔ)方式得到的插補(bǔ)點(diǎn)均在輪廓曲線上，故不存在徑向誤差，插補(bǔ)的輪廓誤差只來(lái)源于微小直線段逼近實(shí)際輪廓曲線所產(chǎn)生的弓高誤差，其大小隨著輪廓曲線的曲率和進(jìn)給步長(zhǎng)的增大而增大。如圖1所示，被微小直線段分割的各段輪廓曲線可近似為圓弧，根據(jù)微分幾何關(guān)系，插補(bǔ)的弓高誤差δ

h

與插補(bǔ)步長(zhǎng)L

1

以及輪廓曲線的曲率半徑ρ之間存在如下關(guān)系：（1）圖1步長(zhǎng)與弓高誤差的關(guān)系將給定允許的最大輪廓誤差δ

hmax

代入式（1）可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的插補(bǔ)步長(zhǎng)L

2

：（2）由于曲率半徑ρ的計(jì)算較為復(fù)雜，聯(lián)立式（1）和式（2）便可在避免求ρ的情況下得到最大輪廓誤差下的插補(bǔ)步長(zhǎng)：（3）（2）進(jìn)給加速度分析與控制現(xiàn)代數(shù)控加工正朝著高速高效的方向發(fā)展，機(jī)床的切削速度越來(lái)越高，在加工曲線曲面時(shí)，必然會(huì)有較大的法向進(jìn)給加速度，尤其是在曲線曲率較大的加工區(qū)域，容易引起機(jī)床的振動(dòng)，影響加工精度。所以，只根據(jù)進(jìn)給速度、插補(bǔ)周期及弓高誤差來(lái)確定插補(bǔ)步長(zhǎng)是不夠的，必須將進(jìn)給加速度考慮在內(nèi)。當(dāng)加工到某一插補(bǔ)點(diǎn)，進(jìn)給速度不變時(shí)，進(jìn)給的最大法向加速度a

max

以及輪廓曲線上該點(diǎn)的曲率ρ之間存在如下關(guān)系：（4）同樣，為了避免計(jì)算曲率半徑ρ，聯(lián)立式（2）和式（4）得到給定的最大法向加速度a

max

下的插補(bǔ)步長(zhǎng)L

3

為：（5）（3）期望進(jìn)給步長(zhǎng)計(jì)算根據(jù)以上三個(gè)控制條件計(jì)算出來(lái)的三個(gè)進(jìn)給步長(zhǎng)L

1

、L

2

和L

3

，?。海?）其中，L

1

＝FT為只考慮進(jìn)給速度的無(wú)約束進(jìn)給步長(zhǎng)，求得的L為同時(shí)滿足無(wú)約束進(jìn)給步長(zhǎng)、弓高誤差以及進(jìn)給加速度約束條件下的期望進(jìn)給步長(zhǎng)。2.變螺距螺旋線的直接插補(bǔ)算法以變螺距雙螺桿壓縮機(jī)中的左旋陰轉(zhuǎn)子為例，其端面型線的參數(shù)方程可表示為：（7）轉(zhuǎn)子的端面型線繞中心軸作螺旋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端面型線相對(duì)于其起始位置轉(zhuǎn)過(guò)τ角時(shí)，軸線前進(jìn)距離為z。則陰轉(zhuǎn)子左旋螺旋面的參數(shù)方程為：（8）其中，P（τ）表示陰轉(zhuǎn)子圓柱螺旋線的軸向參數(shù)方程。由式（8）可知，設(shè)θ為常數(shù)而改變?chǔ)訒r(shí)，得到的τ參數(shù)方程就表示以初始端面型線上不同點(diǎn)為起點(diǎn)的一條條螺旋線；設(shè)τ為常數(shù)而改變?chǔ)葧r(shí)，得到的θ參數(shù)方程就表示在不同位置的端面型線。設(shè)變螺距螺旋線的參數(shù)方程為s(τ)＝[x(τ),y(τ),z(τ)]，進(jìn)給速度為v(t)，由微分幾何關(guān)系可得：（9）則：（10）其中：（11）因此：（12）則旋轉(zhuǎn)角τ的增量：（13）第i+1個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角為：（14）取τ0＝0，根據(jù)?τ可以求解出輪廓曲線上所有插補(bǔ)點(diǎn)的位置。3.多項(xiàng)式曲線加減速控制（1）多項(xiàng)式曲線加減速原理為了保證機(jī)床在加工起始和終止時(shí)不產(chǎn)生沖擊和振動(dòng)，必須對(duì)驅(qū)動(dòng)裝置進(jìn)行加減速控制。由于加減速都是在非常短的時(shí)間內(nèi)完成的，所以暫不考慮弓高誤差。由位移、速度、加速度和加加速度之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系可知，要保證加加速度曲線的連續(xù)性，其位移控制曲線必須是四次及以上多項(xiàng)式曲線，才可以實(shí)現(xiàn)機(jī)床高效高速的加工。但是曲線的次數(shù)越高，其計(jì)算難度就越大，所以，本文采用最基本的四次位移控制曲線。用t表示加工時(shí)間，構(gòu)造四次所以還有待發(fā)展。位移控制曲線如下所示：（15）對(duì)該曲線依次求導(dǎo)得到速度、加速度和加加速度的曲線方程：（16）分析可得，在加速階段需要滿足的約束條件為：（17）其中，t

0

為加速階段結(jié)束時(shí)的時(shí)間，v

s

為穩(wěn)定速度。在減速階段需要滿足的約束條件為：（18）其中，t

1

、t

2

分別為減速階段開始和結(jié)束時(shí)的時(shí)間，s

1

為減速階段開始時(shí)的位移。（2）終點(diǎn)控制方法前加減速控制的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)合成速度進(jìn)行控制，不影響加工精度，但是需要預(yù)測(cè)減速點(diǎn)。傳統(tǒng)的數(shù)控加工中一般用兩種方法來(lái)預(yù)測(cè)減速點(diǎn)，一種是用對(duì)稱性來(lái)確定，即減速階段采用和加速階段相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，另一種是根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前位置的進(jìn)給速度和進(jìn)給加速度等參數(shù)計(jì)算減速區(qū)的長(zhǎng)度，從而確定減速點(diǎn)。由于多項(xiàng)式曲線加減速方式計(jì)算量相對(duì)較大，故本文采用對(duì)稱性的方式確定減速點(diǎn)。設(shè)給定τ的取值范圍為τ∈(0，τ

i

)，利用編程語(yǔ)言求解插補(bǔ)點(diǎn)時(shí)，其約束條件為τ≤τ

i

，這樣的求解方法通常不會(huì)剛好插補(bǔ)到輪廓曲線的終點(diǎn)，因?yàn)椴逖a(bǔ)算法求解的最后一點(diǎn)與曲線終點(diǎn)之間的弦長(zhǎng)L

i

往往是小于期望進(jìn)給步長(zhǎng)L的，插補(bǔ)不到曲線的終點(diǎn)，故產(chǎn)生了加工誤差。本文提出的解決方法是，在之前插補(bǔ)的基礎(chǔ)之上，再多進(jìn)行一次插補(bǔ)，這樣插補(bǔ)的終點(diǎn)不會(huì)在曲線上，而是在曲線之外，但輪廓曲線整體被插補(bǔ)完成，并且最后一次插補(bǔ)滿足弓高誤差的約束條件。4.算法應(yīng)用實(shí)例設(shè)變螺距圓柱螺旋線的方程為：（19）取插補(bǔ)周期T＝2ms＝0.002s，穩(wěn)定速度v

s

＝3000mm/min＝50mm/s，則無(wú)約束進(jìn)給步長(zhǎng)：取弓高誤差δ

h

＝1μm，允許的最大輪廓誤差δ

hmax

＝5μm，則在給定允許的最大輪廓誤差約束條件下的插補(bǔ)步長(zhǎng)：取t0

＝200ms＝0.2s，根據(jù)式（17）可得加速階段的約束條件為：（20）聯(lián)立式（15）、（16）和（20）解得：容易求得加速階段的速度曲線方程為：（21）則加速階段旋轉(zhuǎn)角τ的增量：（22）設(shè)給定允許的最大進(jìn)給加速度為3000mm/s2，則對(duì)應(yīng)的插補(bǔ)步長(zhǎng)：所以期望進(jìn)給步長(zhǎng)：勻速階段旋轉(zhuǎn)角τ的增量：（23）根據(jù)給定的變螺距圓柱螺旋線的方程編程可求得s

1

＝33mm，t

1

＝760ms＝0.76s，t

2

＝960ms＝0.96s，同理，根據(jù)式（18）可得減速階段的約束條件為：（24）聯(lián)立式（15）、（16）和（24）解得：其減速階段的速度曲線方程為：（25）減速階段旋轉(zhuǎn)角τ的增量：（26）加工該變螺距圓柱螺旋線的速度控制曲線以及插補(bǔ)點(diǎn)位置示意如圖2、圖3所示。圖2速度控制曲線

圖3變螺距螺旋線插補(bǔ)軌跡示意應(yīng)用本文提出的終點(diǎn)控制方法得到的輪廓曲線終點(diǎn)位置的插補(bǔ)示意如圖4所示。其中，p為插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)，p

i

為輪廓曲線終點(diǎn)，實(shí)際并未插補(bǔ)到，p

i+1

為插補(bǔ)終點(diǎn)，其不在輪廓曲線上，最后一次插補(bǔ)滿足弓高誤差約束條件δ

hi

≤δ

h

。圖4終點(diǎn)位置插補(bǔ)示意5.結(jié)語(yǔ)1）通過(guò)對(duì)輪廓弓高誤差和進(jìn)給加速度的控制，實(shí)現(xiàn)了變螺距螺旋線的直接插補(bǔ)控制，該插補(bǔ)方法適用于所有的空間參數(shù)曲線。2）應(yīng)用一種多項(xiàng)