13.3 空間圖形的表面積和體積（七大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019必修第二冊）（解析版）

第第頁13.3空間圖形的表面積和體積課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體的表面積、體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.（2）培養(yǎng)空間想象能力和思維能力．（1）通過對柱體、錐體、臺(tái)體的研究，掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的求法.（2）了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式.（3）掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，會(huì)利用它們求有關(guān)空間圖形的體積.（4）了解知識(shí)點(diǎn)01棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和．計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀如下表：項(xiàng)目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺(tái)平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高知識(shí)點(diǎn)詮釋：求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．【即學(xué)即練1】（2024·高二·北京海淀·階段練習(xí)）在長方體中，.該長方體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，在長方體中，連接,，，該長方體的表面積為.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積．1、圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個(gè)矩形的長等于圓柱底面周長C=2πr，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高），由此可得．（2）圓柱的表面積：．2、圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面周長C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積是．（2）圓錐的表面積：S圓錐表．3、圓臺(tái)的表面積（1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為、r，母線長為，那么這個(gè)扇形的面積為，即圓臺(tái)的側(cè)面積為．（2）圓臺(tái)的表面積：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．【即學(xué)即練2】（2024·高一·河南·期中）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為1，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為x的圓柱，則此圓柱側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圓錐的軸截面，如圖：設(shè)圓柱的半徑為r，由題意得，即，則圓柱的側(cè)面積，而，∴當(dāng)時(shí)，圓柱的側(cè)面積S取最大值．故選：D.知識(shí)點(diǎn)03柱體、錐體、臺(tái)體的體積1、柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即．圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是．綜上，柱體的體積公式為．2、錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．綜上，錐體的體積公式為．3、臺(tái)體的體積公式棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是．綜上，臺(tái)體的體積公式為．【即學(xué)即練3】（2024·高三·河北衡水·階段練習(xí)）分別為正四棱臺(tái)的上、下底面的中心，且，則正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知上、下底面的面積、高分別為，所以正四棱臺(tái)的體積為.故選：C.知識(shí)點(diǎn)04球的表面積和體積1、球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．2、球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為．【即學(xué)即練4】（2024·高一·河南·階段練習(xí)）已知兩平行的平面截球所得截面圓的面積分別為9π和16π，且兩截面間的距離為1，則該球的體積為．【答案】【解析】設(shè)球的半徑為R，依題意，截面圓的面積分別為9π和16π，則截面圓的半徑分別為3，4，可得球心到兩截面圓的距離分別為，．當(dāng)兩截面在球心的同一側(cè)時(shí)，因?yàn)閮山孛骈g的距離為1，所以，解得或（舍）；當(dāng)球心在兩截面之間時(shí)，可得，即，該方程無解．綜上，，故該球的體積為．故答案為：題型一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積【典例1-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長分別為和，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】正六棱柱的六個(gè)側(cè)面面積之和為，正六棱柱的底面面積為，如圖所示，正六棱臺(tái)中，，過點(diǎn)分別作垂直于底面于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，則分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，則為正六棱臺(tái)的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，所以正六棱臺(tái)的斜高為，故正六棱臺(tái)的側(cè)面積為，又正六棱臺(tái)的下底面面積為，所以該花燈的表面積為．故選：A．【典例1-2】（2024·高二·新疆·階段練習(xí)）已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（）A．12 B． C． D．【答案】C【解析】棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，其表面積為：.故選：C【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）某幾何體為棱柱或棱錐，且每個(gè)面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個(gè)值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解析】當(dāng)該幾何體為正四面體時(shí)，其表面積為．當(dāng)該幾何體為正四棱錐時(shí)，其表面積為．當(dāng)該幾何體為正三棱柱時(shí)，其表面積為．當(dāng)該幾何體為正方體時(shí)，其表面積為．故選：D．【變式1-2】（2024·高二·北京昌平·期末）《九章算術(shù)》中的方亭指的是正四面形棱臺(tái)體建筑物，正四面形棱臺(tái)即今天的正四棱臺(tái).如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個(gè)側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)上底面為，下底面為，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，設(shè)上底面的中心為，下底面的中心為，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)?，所以即為?cè)面與下底面夾角的平面角，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以方亭的?cè)面積為.故選：B.【變式1-3】（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別是，高為2，則該四棱臺(tái)的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知：該四棱臺(tái)的側(cè)面都是上底邊長為2，下底邊長為4的等腰梯形，所以側(cè)面的斜高為，則，上下底底面面積分別為，所以該四棱臺(tái)的表面積為，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（求多面體表面積注意事項(xiàng)）1、多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．2、解決有關(guān)棱臺(tái)的問題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺(tái)還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識(shí)來解決．題型二：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【典例2-1】（2024·高三·山東淄博·期末）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別為上底面和下底面的中心，連接，則⊥底面，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥底面，因?yàn)樯?、下底面邊長分別為2和4，所以，故，，，由于，故，故該正四棱臺(tái)的體積為.故選：B【典例2-2】（2024·高二·上?！ｎ}練習(xí)）已知直四棱柱的底面為菱形，底面菱形的兩對角線長分別為，，側(cè)棱長為，求：該直四棱柱的體積；

【解析】由底面菱形的兩對角線長分別為，，不妨設(shè)，，則底面菱形的面積（）所以該棱柱的體積為（）【變式2-1】（2024·高二·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，一個(gè)幾何體是由一個(gè)正三棱柱內(nèi)挖去一個(gè)倒圓錐組成，該三棱柱的底面正三角形的邊長為2，高為4．圓錐的底面內(nèi)切于該三棱柱的上底面，頂點(diǎn)在三棱柱下底面的中心處．(1)求該幾何體的體積；(2)求該幾何體的表面積．【解析】（1）正三棱柱的底面積為，所以正三棱柱的體積為，設(shè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為.（2）因?yàn)檎庵谋砻娣e為，倒圓錐的底面圓面積為，倒圓錐的母線長為，所以倒圓錐的側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為.【變式2-2】（2024·高三·四川·期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長為2的正三角形，延長至點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)若，求四棱錐的體積．【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾榫€段的中點(diǎn)．又為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）記的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，所以．又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，則．又，，所以平面，則．因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，則，即，解得．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以到的距離等于到的距離的2倍，所以四棱錐的體積．【變式2-3】（2024·高三·四川內(nèi)江·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．

(1)證明：；(2)若，M是PA的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【解析】（1）取BC中點(diǎn)N，連接AN，則，又，，所以四邊形ANCD為正方形，則，，又在中，，則，所以，即．又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面，所以平面，又面PAC，所以．（2）連接，交于O，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以由于，，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面所以，，又因?yàn)镸為PA中點(diǎn)，所以【變式2-4】（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，在棱長均為6的三棱柱中，D、分別是BC和的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若平面平面，，求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：連接，在三棱柱中，D、分別是BC和的中點(diǎn)，，且，又，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面ABD，平面，故平面．（2）在三棱柱中，棱長均為6，則，D為BC的中點(diǎn)，，平面平面，交線為BC，平面ABC，平面，即AD是三棱錐的高，在中，，得，在中，，，為等邊三角形．的面積為，．【方法技巧與總結(jié)】（求棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的注意事項(xiàng)）1、常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2、求幾何體體積時(shí)需注意的問題柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．題型三：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積【典例3-1】（2024·高三·河北石家莊·期末）某圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意作圖如下：由題設(shè)可知該圓錐的高．設(shè)在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，該圓柱的底面半徑為，由，則，即，所以，故該圓柱的側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值．故選：C.【典例3-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）若一個(gè)圓錐的母線長為，且其側(cè)面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，所以該圓錐的高為.故選：A【變式3-1】（2024·高三·遼寧·期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得軸截面是等腰直角三角形，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，則其母線長為，從而該圓錐的側(cè)面積.表面積，故.故選：A.【變式3-2】（2024·高三·河北張家口·期末）已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，由圖形可得，，母線與下底面所成的角為，故，故圓臺(tái)的母線長為2，所以側(cè)面積為，所以該圓臺(tái)的表面積為．故選：C．【變式3-3】（2024·高三·河南·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將圓臺(tái)稱為“圓亭”.已知某圓亭的高為3，上底面半徑為1，下底面半徑為5，則此圓亭的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，可作該圓亭的軸截面，如圖所示：則圓亭的高，上底面半徑，下底面半徑，母線5，所以圓臺(tái)的表面積.故選：D【變式3-4】（2024·高三·河南周口·階段練習(xí)）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個(gè)圓臺(tái)組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為，底面直徑，，，中間圓臺(tái)的高為，下面圓臺(tái)的高為，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的側(cè)面積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，可得該瓷器的側(cè)面積為．故選：D【方法技巧與總結(jié)】（求旋轉(zhuǎn)體表面積注意事項(xiàng)）旋轉(zhuǎn)體中，求面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，上下面圓的周長是展開圖的弧長．圓臺(tái)通常還要還原為圓錐．題型四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積【典例4-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐和圓柱組合而成，點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，且的面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的母線長為3，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則的面積為，解得，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為，所以．故該幾何體的體積為．故選：B.【典例4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知某圓臺(tái)的上底面半徑為2，該圓臺(tái)內(nèi)切球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)該圓臺(tái)內(nèi)切球的半徑為R，則，．設(shè)圓臺(tái)的下底面半徑為r，易知圓臺(tái)的軸截面與球的軸截面內(nèi)切，圓臺(tái)的高為，母線長為，，解得，圓臺(tái)的體積為.故選：A．【變式4-1】（2024·高一·貴州貴陽·期末）已知直角三角形三邊長分別為3，4，5，以其中一條邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周后得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的最大體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得的幾何體是由兩個(gè)同底的圓錐拼接而成，如圖所示，在直角三角形中，所以解得：故圓錐底面面積為：所以幾何體的體積為以為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)以為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，綜上所述，當(dāng)以為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，體積最大，故選：C.【變式4-2】（2024·高一·遼寧·期末）如圖．在直角梯形ABCD中，，，，，以BC邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，直角梯形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓臺(tái)，則圓臺(tái)高，上下底面面積，所以.故選：C【變式4-3】（2024·高一·貴州貴陽·階段練習(xí)）等腰直角三角形的斜邊為，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在等腰直角中，設(shè)斜邊的中點(diǎn)為，則，且，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是以為底面圓的半徑，高分別為、的兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體，所以，該幾何體的體積為.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（求幾何體積的常用方法）（1）公式法：直接代入公式求解．（2）等積法：例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可．（3）補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐等．（4）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．題型五：簡單組合體的表面積【典例5-1】（2024·高一·福建漳州·期中）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一、圖是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖所示，其中是圓錐的頂點(diǎn)，分別是圓柱上、下底面圓的圓心，且.若該陀螺的體積是，底面圓的半徑為，則其表面積為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，陀螺的體積，解得：，則圓錐母線長為，陀螺的表面積.故選：C.【典例5-2】（2024·高二·陜西榆林·期末）如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，球的半徑，圓柱的底面半徑，高，則該幾何體的表面積為.故選：D.【變式5-1】（2024·高一·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)幾何體的上半部分是一個(gè)圓柱體，下半部分是一個(gè)圓錐體，圓柱體的高為1m，圓錐體的高為2m，公共的底面是半徑為1m的圓形，那么這個(gè)幾何體的體積為，表面積為.【答案】/【解析】由題意知，幾何體的體積為圓柱體積加圓錐體積，即；設(shè)圓錐的母線為，則，表面積為圓柱的上底面面積加上圓柱的側(cè)面積加上圓錐的側(cè)面積，即.故答案為：；.【變式5-2】（2024·高一·廣西柳州·期中）如圖所示，圓錐的底面直徑和高均為4，過的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩余幾何體的表面積是．【答案】【解析】作出圓錐PO的軸截面，此截面截挖去的圓柱得圓柱的軸截面矩形，如圖，矩形是等腰內(nèi)接矩形，圓柱底面圓直徑在圓錐底面圓直徑上，依題意，，因?yàn)镻O中點(diǎn)，則，，圓錐母線，圓柱的側(cè)面積，圓錐PO的表面積，剩余幾何體的表面中，圓錐底面圓挖去以CF為直徑的圓（圓柱下底面圓），而挖去圓柱后，圓柱上底面圓（以DE為直徑的圓）成了表面的一部分，它與圓柱下底面圓全等，所以剩余幾何體的表面積是.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）組合體的側(cè)面積和表面積問題，首先要弄清楚它由哪些簡單空間圖形組成，然后再根據(jù)條件求各個(gè)空間圖形的基本量，注意方程思想的應(yīng)用．（2）在實(shí)際問題中，常通過計(jì)算物體的表面積來研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)際，明確實(shí)際物體究竟是哪種空間圖形，哪些面計(jì)算在內(nèi)，哪些面在實(shí)際中沒有．題型六：組合體的體積【典例6-1】（2024·高一·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在幾何體ABCFED中，，，，側(cè)棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，則該幾何體的體積為.【答案】【解析】在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接，又由已知側(cè)棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，得，即，故四邊形與四邊形都為平行四邊形，所以，，又平面，且平面，則平面，同理，平面，，平面，平面，故平面平面，且平面，則幾何體為直三棱柱.因?yàn)?，，，所以，所以是以為直角的直角三角形，，由?cè)棱AE垂直于底面ABC，得，，平面，且平面，故平面，則平面，又，，則多面體是四棱錐，且高為，又，則，四邊形為直角梯形，所以幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，，，所以該幾何體的體積為.故答案為：.【典例6-2】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）．若某“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，如圖所示，則該“十字貫穿體”的體積為．

【答案】【解析】如圖，兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體，取的中點(diǎn)，則多面體可以分成8個(gè)全等三棱錐，則則該“十字貫穿體”的體積為:故答案為：.【變式6-1】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）一個(gè)球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高.球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高.2022北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”（如圖1）深受廣大市民的喜愛，它寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時(shí)代，以及面向未來的無限可能它的外形可近似抽象成一個(gè)球缺與一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合體（如圖2），已知該圓臺(tái)的底面半徑分別和，高為，球缺所在球的半徑為，則該組合體的體積為．

【答案】/【解析】由題意知圓臺(tái)的體積為，如圖可知，則球心到圓臺(tái)上底面的距離為，故球缺的高為，故球缺的體積為，所以組合體的體積為，故答案為：．【變式6-2】（2024·高一·陜西西安·期中）如圖，一個(gè)密閉容器水平放置，圓柱底面直徑為2，高為10，圓錐母線長為2，里面有一個(gè)半徑為1的小球來回滾動(dòng)，則小球無法碰觸到的空間部分的體積為.

【答案】【解析】小球滾動(dòng)形成的幾何體為圓柱和兩個(gè)半球．小球運(yùn)動(dòng)到左側(cè)與圓錐相切時(shí)的軸截面的圖形如圖所示：由題意知：，則，，，小球滾動(dòng)形成的圓柱的高為則小球滾動(dòng)形成的幾何體的體積為：，容器的體積為，則小球無法碰觸到的空間部分的體積為.故答案為：．【變式6-3】（2024·高一·安徽·期中）依次連接棱長為2的正方體六個(gè)面的中心，得到的多面體的體積是.【答案】【解析】依次連接棱長為2的正方體六個(gè)面的中心，得到的多面體是正八面體，如圖，該正八面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長為，所以該正八面體的體積是.故答案為：.【變式6-4】（2024·高一·四川廣安·期中）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖是由邊長為的正方形和正三角形圍成的一個(gè)半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上.則該半正多面體共有個(gè)面，其體積為.【答案】26【解析】將圖所示的半正多面體看作上、中、下三個(gè)部分，則上部包含個(gè)正方形、個(gè)正三角形；中部包含個(gè)正方形；下部包含個(gè)正方形、個(gè)正三角形；所以該半正多面體共有個(gè)面，如圖所示，因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長為1，所以，又為等腰直角三角形，故，所以正方體棱長為，由圖知該圖形是由一個(gè)正方體截去12相同的三棱柱和8個(gè)相同的小正方體的得到的，其中三棱柱的高1，底面為斜邊為的等腰直角三角形，小正方體的棱長為，大正方體的棱長為，所以所求體積故答案為：；.【變式6-5】（2024·高一·全國·單元測試）圖中的多面體的底面是邊長為的正方形，上面的棱平行于底面，其長為，其余的棱長都是．已知，則這個(gè)多面體的體積是．【答案】288【解析】如圖，在線段上分別取兩點(diǎn)，使得平面平面，中點(diǎn)為，連接.則由題意，，.又，故，.故這個(gè)多面體的體積.故答案為：288【變式6-6】（2024·高一·貴州貴陽·期中）如圖，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為1，若該幾何體的表面積為，則其體積為.

【答案】【解析】依題意，幾何體可視為半徑為1的球和底面圓半徑為1，高為的圓柱組合而成，于是幾何體的表面積，解得，所以該幾何體的體積.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求組合體體積的常用方法（1）補(bǔ)體法：將空間圖形補(bǔ)成易求解的空間圖形，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐等．（2）分割法：將空間圖形分割成易求解的幾部分，分別求體積．題型七：球的表面積與體積（外接球、內(nèi)切球、棱切球）【典例7-1】（2024·高二·上?！て谀┤粲门c球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4，則球的體積為.【答案】/【解析】依題意，球的半徑，所以球的體積.故答案為：【典例7-2】（2024·高二·上?！て谥校┣蛎嫔先c(diǎn)、、所確定的截面到球心的距離等于球半徑的，且，，，則該球的體積為.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，因?yàn)?，，，則，所以，，則為直角三角形，且為斜邊，所以，的外接圓半徑為，因?yàn)樗_定的截面到球心的距離等于球半徑的，則，可得，因此，該球的體積為.故答案為：.【變式7-1】（2024·高一·重慶北碚·階段練習(xí)）一個(gè)倒置的圓錐形容器，其軸截面為等邊三角形，在其內(nèi)放置兩個(gè)球形物體，兩球體均與圓錐形容器側(cè)面相切，且兩球形物體也相切，則小球的體積與大球的體積之比為．

【答案】【解析】根據(jù)題意可截取圓錐軸截面，分別設(shè)大球和小球與軸截面的切點(diǎn)為，圓錐頂點(diǎn)為，如下圖所示：易知，，設(shè)大球和小球的半徑分別為，即；所以可得，又因?yàn)?，所以，代入球的體積公式可得.故答案為：【變式7-2】（2024·高一·浙江·期中）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為．【答案】3【解析】因?yàn)閮?nèi)切球的體積為，故內(nèi)切球的半徑滿足，故.設(shè)母線的長為，底面圓的半徑為，故，故，故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)，為內(nèi)切圓的圓心，則共線且，，而，故，故，故答案為：3.【變式7-3】（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）在長方體中，；點(diǎn)分別為中點(diǎn)；那么長方體外接球表面積為；三棱錐的外接球的體積為.【答案】【解析】長方體對角線長為，所以長方體外接球半徑為，表面積為；如圖，分別是中點(diǎn)，則是矩形，平面平面，分別是中點(diǎn)，則，而平面，所以平面，所以平面，而平面，平面，所以平面平面，平面平面，由平面，平面，得，而，設(shè)平面與的交點(diǎn)分別為，則分別是的中點(diǎn)，所以分別是和的外心，在平面內(nèi)過作，過作交于點(diǎn)，由平面，得，，而，平面，所以平面，同理平面，所以是三棱錐的外接球球心．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，由長方體性質(zhì)知，所以，，，，由平面，平面，得，，，，所以，所以三棱錐的外接球的體積為．故答案為：；．【變式7-4】（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）已知三棱錐外接球的直徑為，，，若三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】【解析】設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接圓的圓心為，連接，，如圖.則平面.在中，，，∴，∴外接圓的直徑，∴.∵三棱錐外接球的直徑為，∴為的中點(diǎn)，則三棱錐的高為，∴，解得，∴該三棱錐外接球的半徑，∴該三棱錐外接球的表面積.故答案為：【變式7-5】（2024·陜西西安·一模）一個(gè)正四棱柱底面邊長為2，高為，上底面對角線交點(diǎn)與下底面四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成幾何體的內(nèi)切球表面積為.【答案】【解析】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點(diǎn)，連接，是球與側(cè)面的切點(diǎn)，可知在上，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，，，，由，，即，解得，所以內(nèi)切球表面積為.故答案為：.【變式7-6】（2024·高三·河南周口·階段練習(xí)）已知三棱錐，底面為等邊三角形，邊長為3，平面平面，，則該幾何體的外接球的表面積為．【答案】【解析】底面為邊長為3的等邊三角形，取的中點(diǎn)，設(shè)為底面的中心，連接，則，過點(diǎn)作底面的垂線，則球心在直線上.設(shè)為的外心，連接,過點(diǎn)作平面的垂線，則球心在直線上.即與交點(diǎn)即為該幾何體外接球的球心.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，則，同理可得，所以四邊形是平行四邊形，又由平面，則，所以四邊形是矩形，則，設(shè)外接球的半徑，三角形的外接圓半徑為，由，，則由正弦定理得，，解得，即，因?yàn)樵谥校?，則，所以該幾何體的外接球的表面積為．故答案為：.【變式7-7】（2024·高三·河南周口·期末）正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為.若，則的最小值為.【答案】3【解析】設(shè)正三棱錐的高為h，設(shè)E為的中點(diǎn)，O為底面中心，O在上，，則，側(cè)面上高為，則正三棱錐的表面積為，則正三棱錐的體積為，即，故，又，則，則，故，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為3，故答案為：3【變式7-8】（2024·吉林白山·一模）在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為．【答案】【解析】如圖，依題意將四面體放在長方體中，設(shè)長方體的高為.根據(jù)錐體的體積，解得，所以長方體的長寬高分別為，和4，所以長方體的外接球直徑即為對角線，解得.所以四面體外接球的體積為．故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（與球有關(guān)問題的注意事項(xiàng)）1、正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝a22、球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面有r2＝2a3、長方體的外接球長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝a24、正方體的外接球正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\r(3)a．5、正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為：2R＝eq\f(\r(6),2)a．6、有關(guān)球的截面問題常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．一、單選題1．（2024·廣東湛江·一模）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，中國瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉大貢獻(xiàn)．下圖是明清時(shí)期的一件圓臺(tái)形青花纏枝紋大花盆，其上口直徑為20cm，下底直徑為18cm，高為24cm，則其容積約為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得該圓臺(tái)形大花盆的上底面面積為，下底面面積為，又高為，代入圓臺(tái)體積公式可得.故選：C2．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖甲）.圖乙是扇形的一部分，若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是12和27，且.若圖乙是某圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，則該圓臺(tái)的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則利用弧長公式可得，即；，即；又圓臺(tái)的母線長為，所以圓臺(tái)的側(cè)面積，故選：C.3．（2024·高一·河北保定·開學(xué)考試）已知圓臺(tái)的體積為，兩底面圓的半徑分別為4和6，則圓臺(tái)的高為（

）A．6 B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓臺(tái)的高為，且上下兩底面面積分別為根據(jù)圓臺(tái)體積公式可得，解得.故選：A4．（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，所以三角形是直角三角形，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，所以三棱柱內(nèi)能放置的最大球的半徑為，則最大球的表面積是.故選：A5．（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）一個(gè)球的內(nèi)接正四棱柱的側(cè)面積與上、下兩底面面積的和的比為，且正四棱柱的體積是，則這個(gè)球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，正四棱柱中，設(shè)其底面邊長為，側(cè)棱長為，體積為，外切球的半徑為．依題可得：，解得：①．又②，由①②解得：．因正四棱柱的體對角線即其外切球的直徑，故于是，這個(gè)球的體積為：.故選：D．6．（2024·高三·湖南婁底·期末）一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，將該圓柱注滿水，然后將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入該容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底部時(shí)，留在圓柱形容器內(nèi)的水的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知留在容器內(nèi)水的體積為等于圓柱體積減去實(shí)心球的體積，即.故選：B7．（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為矩形，，則四棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以，又，且，平面SCD，所以平面SCD，又平面，故平面平面SCD，又，所以是等腰直角三角形，所以其外接圓的圓心是CD的中點(diǎn)，又四邊形ABCD為矩形的外接圓的圓心為AC，BD的交點(diǎn)，所以四棱錐的外接球的球心為AC，BD的交點(diǎn)，所以外接球的半徑為，所以四棱錐的外接球的體積為．故選：D．二、多選題8．（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）邊長為4的正方形沿對角線折疊，使得平面平面，則關(guān)于四面體，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．四面體的體積為 D．四面體的體積【答案】BD【解析】取中點(diǎn)，連接，，則，，而，，則，又平面平面，平面平面，平面，于是平面，平面，則，所以，，AC錯(cuò)誤，BD正確.故選：BD9．（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）設(shè)棱長為的正四面體的高、內(nèi)切球的半徑、外接球的半徑分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對正四面體，設(shè)其棱長為，過作面，顯然為面的中心，連接，如下所示：在三角形中，，故可得；不妨設(shè)內(nèi)切球球心為，連接，又的表面積，由等體積法可得：，即，解得；在棱長為的正方體中，其外接球即為正四面體的外接球，故；對A：，故A正確；對B：，故B正確；對CD，顯然錯(cuò)誤.故選：AB.10．（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）已知四棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面邊長為2的正方形，且面，若四棱錐的體積為，則該球的體積不可能為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】四棱錐擴(kuò)展為長方體，則長方體的對角線的長是外接球的直徑，由四棱錐的體積為，解得；，解得；∴外接球的體積為．故選：ACD．三、填空題11．（2024·高一·廣西柳州·階段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個(gè)一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐，這個(gè)四棱錐稱為陽馬，這個(gè)三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個(gè)陽馬的體積是2，則原長方體的體積是.【答案】6【解析】如圖所示，原長方體，設(shè)矩形的面積為，，陽馬的體積為2，即，所以，即原長方體的體積是6.故答案為：6.12．（2024·高三·全國·專題練