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文檔簡介
1.緊致空間與緊致子集2.緊致性的判別3.緊致性是拓?fù)湫再|(zhì)主要內(nèi)容1緊致空間與緊致子集PARTONE量子力學(xué)緊致空間：
設(shè)
是一個拓?fù)淇臻g，如果
的任何開覆蓋都有有限子覆蓋，那么就稱
是一個緊致空間.
緊致子集：設(shè)
是拓?fù)淇臻g
的一個非空子集，若
作為
的子空間是緊致的，則稱
是
的緊致子集.
例1：
是
的緊致子集.
2緊致性的判別PARTTWO命題2.14
:緊致子集的判別條件：
是
的緊致子集
在
中的任一開覆蓋都有有限子覆蓋.證明：
設(shè)
是
在中的開覆蓋，則是在子拓?fù)淇臻g的開覆蓋，由于是的緊致子集，那么存在的有限子集，是在子拓?fù)淇臻g中的一個有限子覆蓋，并且是在中的開覆蓋中的一個有限子覆蓋.
設(shè)
是
在子拓?fù)?/p>
中的任何一個開覆蓋，由子拓?fù)涞亩x，對
的開集
，使得
,則所得到的
構(gòu)成
在
中的開覆蓋
，由條件知，存在
的有限子集
是
在
中的有限開覆蓋.于是
是
在
中的有限開覆蓋,所以
是
的緊致子集.命題2.15緊致空間的閉子集是緊致的證明：設(shè)
是緊致拓?fù)淇臻g，
是
的閉子集。證
的緊致性只需證明在中的任一開覆蓋存在有限子覆蓋.因為是閉集，所以是開集.于是在中添加后得到的一個開覆蓋.由于緊致，它有子覆蓋是的有限子覆蓋.所以是緊致的.例2.
緊致，
是
的閉集,所以
也緊致。
而開集不行，如
是它的開子集，不是緊致的.
舉例說明
注：歐氏空間中的緊致子集是有界閉集.3緊致性是拓?fù)湫再|(zhì)PARTTHREE命題2.16：緊致空間在連續(xù)映射下的像也是緊致的.證明：設(shè)
和
是兩個拓?fù)淇臻g，映射
連續(xù)，只需證明
緊致。設(shè)
是
在
中的開覆蓋，則
是
的
開覆蓋，有子覆蓋
即
于是
因此
是
的子覆蓋，再由
緊致（任一開覆蓋有有限子覆
蓋），所以
緊致
緊致性是拓?fù)湫再|(zhì)注：緊致性是拓?fù)湫再|(zhì),可以用來區(qū)分不同的拓?fù)淇臻g.應(yīng)用舉例：因為
不是緊致的，
是緊致的。又因為緊致性是拓?fù)湫再|(zhì)，所以
與
不同胚.因為
不是緊致的，
(單位圓周)是緊致的，又因為緊致性是拓?fù)湫再|(zhì)，所以
與
不同胚.
推論：定義在緊致空間上的連續(xù)函數(shù)有界，并且達(dá)到最大、最小值.證明：設(shè)
是緊致的，
是
上定義的連續(xù)函數(shù).因為
緊致，
是連續(xù)的，所以
是
的一個緊致子集.因此,
是
的一個
有界閉集，所以
有界.設(shè)
分別是
的最大值與最小值
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