(5.4.1)-5.1灰色GM（1,1）模型-中國(guó)人口預(yù)測(cè)

紅色字體表示在屏幕上需要體現(xiàn)的文字內(nèi)容，與語(yǔ)音同時(shí)出現(xiàn)黃底色紅字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示并顯示文字黃底色黑字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示，文字不用顯示灰底色刪除線表示刪除的文字批注制作的意見或重點(diǎn)文字的提煉藍(lán)色字體制作的意見或說(shuō)明綠色字體表示講稿存疑之處，需要與老師進(jìn)行溝通如無(wú)特殊說(shuō)明，上屏文字均為：思源宋體CNSemiBold腳本-灰色GM（1,1）模型—中國(guó)人口預(yù)測(cè)（ppt1ppt2）同學(xué)，你好，這節(jié)課我們講授數(shù)學(xué)建模中的預(yù)測(cè)方程法，灰色GM（1,1）模型及其在中國(guó)人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。（ppt3）我們先來(lái)講講預(yù)測(cè)的重要性。（ppt4）（動(dòng)畫1）大家外出旅游的時(shí)候都會(huì)查看當(dāng)?shù)氐奶鞖馇闆r，一般來(lái)說(shuō)3天以內(nèi)，天氣情況預(yù)測(cè)較準(zhǔn)確，但超過(guò)7天，我們發(fā)現(xiàn)預(yù)報(bào)就不準(zhǔn)確了。有很多關(guān)于天氣的諺語(yǔ)其實(shí)就是人們根據(jù)歷史數(shù)據(jù)做的預(yù)判。如：光打雷，雨不來(lái)；泥鰍跳，風(fēng)雨到。還有目前中央電視臺(tái)朱光權(quán)用段子播報(bào)天氣預(yù)報(bào)讓人很容易記住。如：寒露，不宜外露，也不要?？?，更不可一日無(wú)秋褲；明天后天大后天，都是熱情似火的艷陽(yáng)天。（動(dòng)畫2）另一例子有很多同學(xué)喜歡看足球，甚至購(gòu)買體彩，預(yù)測(cè)球隊(duì)的輸贏。但贏球涉及到的很多因素，有些已知，有些未知，給預(yù)測(cè)帶來(lái)了難度。（ppt5）（動(dòng)畫1）還有房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)。房子是與我們生活最密切相關(guān)所占比例最大的資產(chǎn)，因此我們?cè)谶x房的時(shí)候非常慎重，房?jī)r(jià)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人口、位置等很多因素有關(guān)。同樣這些信息不是全部知道的。（動(dòng)畫2）比如中國(guó)老年人所占比例預(yù)測(cè)。這與中國(guó)的人口政策、醫(yī)療水平、生小孩的意愿等因素有關(guān)。上述例子的共同特征是信息部分已知，部分未知，需要我們做出預(yù)測(cè)。（動(dòng)畫3）常用的預(yù)測(cè)方法有哪些呢？（ppt6）（動(dòng)畫1）我們先看第一類方法，灰色預(yù)測(cè)方法，先介紹灰色理論。（ppt7）現(xiàn)實(shí)生活中的系統(tǒng)按信息的完整性可分為3類系統(tǒng)，分別是：白色系統(tǒng)、黑色系統(tǒng)和灰色系統(tǒng)。（動(dòng)畫1）如果其全部信息已知的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)，（動(dòng)畫2）全部未知的系統(tǒng)就稱為黑色系統(tǒng)。（動(dòng)畫3）一部分已知一部分未知的系統(tǒng)，將其稱為灰色系統(tǒng)。（動(dòng)畫4）灰色系統(tǒng)所表現(xiàn)的現(xiàn)象是隨機(jī)的、雜亂無(wú)章的，但是依然具備一定的潛在規(guī)律，灰色模型就是尋找這種規(guī)律并加以利用，從而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。常有GM（1,1）模型、GM（1,N）模型、Verhulst模型、灰色波形預(yù)測(cè)模型。（ppt8）下面我們介紹最基本的GM（1,1）模型及其在中國(guó)人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。（ppt9）（動(dòng)畫1,2）GM（1,1）模型的思想是：基于隨機(jī)的原始時(shí)間序列，經(jīng)按時(shí)間累加后形成的新的時(shí)間序列所呈現(xiàn)的規(guī)律用一階線性微分方程的解來(lái)逼近。（動(dòng)畫3，4）模型的實(shí)用條件是什么呢？需要滿足條件：1.原始數(shù)據(jù)量不少于4個(gè)；2.原始數(shù)據(jù)非負(fù)、符合指數(shù)規(guī)律變化且變化不是很快。（ppt10）（動(dòng)畫1）接下來(lái)，我們介紹GM（1,1）模型的建模過(guò)程，主要分為三個(gè)步驟。（動(dòng)畫2）第一步：數(shù)據(jù)預(yù)處理。（動(dòng)畫3）給定原始的n個(gè)觀測(cè)時(shí)間序列X^((0))={x^(0)(1),x^(0)2),…,x^(0)(n)},（動(dòng)畫4）對(duì)序列做一次累加，構(gòu)造X^((0))的1-AGO序列為X^((1))={x^(1)(1),x^(1)2),…,x^(1)(n)}（動(dòng)畫5）這里X^((1))是怎么來(lái)的呢？X^(1)(1)=X^(0)(1),X^(1)(2)=X^(0)(1)+X^(0)(2),X^(1)(k)=X^(0)(1)+X^(0)(2)+...+X^(0)(k),寫出公式可以表示為X^(1)(k)=sigamam從1到k,對(duì)X^(0)(m)求和。（動(dòng)畫6）我們看看累加后的效果是什么呢？左圖是原始觀察序列圖。右圖是1次累加序列圖。我們發(fā)現(xiàn)累加后數(shù)據(jù)磨光滑了。（動(dòng)畫7）進(jìn)一步，作X^((1))的緊鄰均值生成序列:Z^((1))={z^((1))(2),z^((1))(3),…,z^((1))(n)}，（動(dòng)畫8）這里z^((1))(k)=二分之一乘以括號(hào)x^((1))(k)+x^((1))(k-1)括號(hào),k=2,3,…,n注意：我們做這步的目的是使原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)一步光滑化，且這里向量Z^((1))的維數(shù)比原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的維數(shù)少一維。（ppt11）（動(dòng)畫1）第二步是確定灰色及白化微分方程系數(shù)。（動(dòng)畫2）首先我們定義dx^((1))k=x^((0))(k)=x^((1))(k)-x^((1))(k-1)為X^((1))的灰導(dǎo)數(shù)。（動(dòng)畫3）然后，構(gòu)造GM（1，1）的灰微分方程模型dx^((1))(k)+az^((1))(k)=b或x^((0))(k)+az^((1))(k)=b（動(dòng)畫4）其中a稱為發(fā)展系數(shù)，（動(dòng)畫5）b稱為灰作用量，這里的系數(shù)，a,b如何確定呢？（ppt12）（動(dòng)畫1）令k=2,3,…n,則上式可寫成n-1個(gè)方程組成的方程組（動(dòng)畫2）見背板公式。（動(dòng)畫3）把含未知量a的項(xiàng)移到右邊后，未知量a，b前面的系數(shù)組成的矩陣記為B，常數(shù)項(xiàng)記為Y，由未知量a，b組成的未知向量記為P。（ppt13）（動(dòng)畫1）則GM(1,1)模型的矩陣形式為Y=BP（動(dòng)畫2）利用最小二乘法求得P=B轉(zhuǎn)置乘以B的逆乘以B的轉(zhuǎn)置乘以Y。（動(dòng)畫3）上面我們求解的是差分方差的系數(shù)，如果原始數(shù)據(jù)可以看作連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，該如何建立微分方程呢？（ppt14）（動(dòng)畫1）如果連續(xù)，我們可構(gòu)造相應(yīng)的白化微分方程為（動(dòng)畫2）(dx^((1)))/dt+ax^((1))=b這里系數(shù)a,b與差分方差系數(shù)一樣，但是這里是關(guān)于累加序列的一階線性微分方程，取初值x^(1)(1)=x^(0)(1)，（動(dòng)畫4）利用常數(shù)變異法可得白化方程的時(shí)間響應(yīng)式（動(dòng)畫4）見背板公式。x

?^((1))(k+1)=(x^((1))(1)-b/a)e^(-ak)+b/a,k=1,2,…（ppt15）（動(dòng)畫1）第三步數(shù)據(jù)還原及預(yù)測(cè)。為什么要做數(shù)據(jù)還原呢？我們?cè)谧鰯?shù)據(jù)預(yù)處理的時(shí)候，是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行累加了，因此必須還原。（動(dòng)畫2）具體是對(duì)數(shù)據(jù)模型作逆生成處理，還原x

?^((0))(k)。相應(yīng)的計(jì)算公式:（動(dòng)畫3）見背板公式。初值取為x

?^((0))(1)=x^((0))(1)；（動(dòng)畫4）迭代公式為x

?^((0))(k)=x

?^((1))(k)-x

?^((1))(k-1)=(1-e^a)(x^((0))(1)-b/a)e^(-a(k-1)),k=2,3...綜上，通過(guò)上述3步我們就可以建立灰色GM（1，1）模型，得到預(yù)測(cè)的序列x

?^((0))(k)。（ppt16）下面我們看案例分析。（ppt17）以我國(guó)1998-2006年全國(guó)人口總量作為預(yù)測(cè)樣本，采用GM(1,1)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)。從樣本數(shù)據(jù)可看出1998我國(guó)人口大約12億多，到2006年，中國(guó)人口增長(zhǎng)到13億多。（ppt18）整頁(yè)見背板公式。（動(dòng)畫1）建立GM(1,1)模型，x^((0))(k)+az^((1))(k)=b，可以寫出對(duì)應(yīng)的白化方程。（動(dòng)畫2）對(duì)原始數(shù)據(jù)X^((0))作一次累加得得到X^((1))，X^((1))的人口數(shù)據(jù)從12億多變化到115億多。（動(dòng)畫3）作X^((1))的緊鄰均值生成序列Z^((1)),Z^((1))的人口數(shù)據(jù)從18億多變化到108億多。（ppt19）（動(dòng)畫1,2）利用最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，代入數(shù)據(jù)可以得到矩陣B，向量Y的值，（動(dòng)畫3）利用最小二乘法得：P=(B^TB)^(-1)B^TY，（動(dòng)畫4）解的參數(shù)a=-0.0062,參數(shù)b=124790.（ppt20）整頁(yè)見背板公式。（動(dòng)畫1）把參數(shù)代入灰微分方程。（動(dòng)畫2,3）類似代入得到白化方程，把參數(shù)代入響應(yīng)方程還原后得到預(yù)測(cè)值x

?^((0))。（ppt21）（動(dòng)畫1,2）預(yù)測(cè)結(jié)果的圖像表明GM(1,1)模型做短期預(yù)測(cè)效果還是比較好的。（ppt22）我們看看模型的具體應(yīng)用。（ppt23）（動(dòng)畫