充分條件與必要條件學案

【新教材】L4充分條件與必要條件

學案（人教A版）

學習目特

i知識目標

1.理解充分條件、必要條件與充要條件的意義.

2.結(jié)合具體命題掌握判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法.

3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要性的證明.

2核心素瓶

k_______________

1.數(shù)學抽象：充分條件、必要條件與充要條件含義的理解；

2.邏輯推理：通過命題的判定得出充分條件、必要條件的含義，通過定義或集合關(guān)系進行充分條件、

必要條件、充要條件的判斷；

3.數(shù)學運算：利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍，常見包含一元二次方程及其不等式和不等式組；

4.數(shù)據(jù)分析：充要條件的探求與證明：將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，

探求的過程同時也是證明的過程；

5.數(shù)學建模：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學生分析、判斷和歸納的邏輯思

維能力。

重點難點

重點：充分條件、必要條件、充要條件的概念..

難點：能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系.

學習過程

一、預(yù)習導入

閱讀課本17-22頁，填寫。

1.充分條件與必要條件

命題真假“若0,則q”是真命題“若P，則g”是假命題

推出關(guān)系P._____qP.______q

條件關(guān)系P是q的_____條件。不是q的_____條件

。是。的_____條件0不是夕的_____條件

2.充要條件

一般地，如果既有p=>q,又有q=>p,就記作pQq.此時，我們說P是q的,簡稱.顯

然，如果P是q的充要條件，那么q也是P的充要條件，即如果poq,那么P與q互為充要條件.

概括地說，(1)如果那么0與g條件.

(2)若月q,但#p,則稱。是q的充分不必要條件.

(3)若gp,但晶q,則稱p是q的必要不充分條件.

(4)若Ag,且#p,則稱p是。的既不充分也不必要條件.

3.從集合角度看充分、必要條件

若AM,貝1」,是。的充分條件，若/_____B,則夕是1

的充分不必要條件€9

若BQA,則。是的必要條件，若B______A,則°是。

的必要不充分條件

若/_____B,則0,0互為充要條件

若/_____B,且^_____A,則。既不是g的充分條件，也

不是q的必要條件

?卜試牛刀

1.判斷(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)若P是q的必要條件，則q是P的充分條件.()

(2)若(7是0的必要條件，則成立，。也成立.()

(3)“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要條件.()

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

⑴若P是q的充分條件,q是r的充分條件,則p是r的條件.

(2)“a〉0,b>0”是“ab>0”的條件.

⑶“若p,則q”的逆命題為真,則p是q的條件.

3."x>2”是ax~3x+2>0"成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

自主探究

題型一充分條件、必要條件、充要條件的判斷

例1指出下列各題中，0是。的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既

不充分也不必要條件”中選出一種作答).

(1)在△45C中，p-./給/B,q：BOAC-,

(2)對于實數(shù)x,y,p-.x+y^8,q：xW2或產(chǎn)S

(3)p-.(a—2)(a—3)=0,q-.a=3；

⑷「：a〈b,Q：-<1.

解題技巧：(充分條件與必要條件的判斷方法)

(1)定義法

若P0q，q令P，則。是。的充分不必要條件；

若由q,q=p,則。是q的必要不充分條件；

若P0q,q=P，則°是q的充要條件；

若由q,q#p,則。是<7的既不充分也不必要條件.

(2)集合法

對于集合/={x|x滿足條件",B={x|x滿足條件小,具體情況如下：

若則。是g的充分條件；

若A?B,則是g的必要條件；

若A=B,則p是g的充要條件；

若想B,則。是g的充分不必要條件；

若醫(yī)A,則。是g的必要不充分條件.

(3)等價法

等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有與“否”有關(guān)命題條件之間的充要關(guān)系時，根據(jù)原命題與其逆否命題的等

價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的關(guān)系進行判斷.

跟蹤訓練一

1.設(shè)a,6是實數(shù)，貝?！癮乂”是?4〉僑'的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

題型二充要條件的探求與證明

例2(1)”/—4水0”的一個充分不必要條件為()

A.0<K4B.0<X2

C.x〉0D.JK4

(2)已知x,y都是非零實數(shù)，且x〉y,求證：勺充要條件是燈〉0.

解題技巧：(探求充要條件一般有兩種方法)

⑴探求A成立的充要條件時，先將A視為條件，并由A推導結(jié)論(設(shè)為B),再證明B是A的充分條件，這

樣就能說明A成立的充要條件是B,即從充分性和必要性兩方面說明.

(2)將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探

求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來說明.

跟蹤訓練二

2.(1)不等式x(x—2)〈0成立的一個必要不充分條件是()

A.xd(0,2)B.xG［—1,+8)

C.xd(0,1)D.xd(1,3)

(2)求證：關(guān)于x的方程af+6x+c=0有一個根是1的充要條件是a+6+c=0.

題型三利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍

例3已知°：f—8x—20W0,<7：/—2^+1—7?^0(/?>0),且0是g的充分不必要條件，則實數(shù)勿的取值

范圍為

變式.［變條件］［例3］本例中“。是的充分不必要條件”改為“。是q的必要不充分條件”，其他條件

不變，試求0的取值范圍.

解題技巧：(利用充分、必要、充分必要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍)

(1)化簡0、g兩命題，

(2)根據(jù)。與g的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，

(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，

⑷求解參數(shù)范圍.

跟蹤訓練三

3.已知々{x|a—4〈x〈a+4},g{x|l<x<3},是0”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

當堂檜iW

1.設(shè)。：x<3,q：—l<x<3,則。是q成立的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2.如果/是6的必要不充分條件，8是C的充要條件，。是C的充分不必要條件，那么力是〃的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.下面四個條件中，使a>6成立的充分不必要條件是（）

A.a26+lB.a>b~1

C.a>l）D.a>l）

4.條件0：1—x〈0,條件g：x>a,若。是g的充分不必要條件，則a的取值范圍是.

5.下列說法正確的是.（填序號）

①“x>0”是“x>l”的必要條件；

②"4/是“a>b”的必要而不充分條件；

③在△/回中，“a>6”不是“A>B”的充分條件；

6.下列命題中，判斷條件。是條件。的什么條件.

（l）p：|x|=|y|,q：x=y；

（2）/2:△/寬是直角三角形，Q-.是等腰三角形；

（3）口四邊形的對角線互相平分，g：四邊形是矩形；

7.已知°：系一2k一3〈0,若一a<x—l〈a是p的一個必要條件但不是充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

8.求關(guān)于x的方程af+2x+l=0至少有一個負的實數(shù)根的關(guān)于a的充要條件.

答案

小試牛刀

1.答案：⑴V（2）X（3）X

2.（1）充分（2）充分（3）必要

3.A

自主探究

例1【答案】見解析

【解析】（1）在△力此中，顯然有/給/『8。44所以夕是g的充分必要條件.

⑵因為x=2且y=60x+y=8,即"'戶"，但"^>飛所以。是。的充分不必要條件.

⑶由(a—2)(a—3)=0可以推出a—2或a=3,不一定有a=3；由a—3可以得出(a—2)(a—3)=0.因此,

夕是0的必要不充分條件.

(4)由于aV8,當6V0時，微>1;

當8>0時，曰<1,故若不一定有?V1；

bb

當a>0,Z?>0,~<1時，可以推出a<b；

b

當a<0,6V0,弓VI時，可以推出a>b.

b

因此夕是。的既不充分也不必要條件.

跟蹤訓練一

1.【答案】D

例2【答案】(1)B(2)見解析

【解析】⑴由4/0得0</4,則充分不必要條件是集合｛x|0<水4｝的子集，故選B.

(2)法一：充分性：由燈〉0及x〉p,得匹〉2，即工<乙

xyxyxy

必要性：由*,W---<o,即二<o.

xyxyxy

因為x>%所以p—x<0,所以燈>0.

所以又與勺充要條件是盯>0.

Xy

y—x

由條件X>—p—*0,故由---<0=xp>0.

xy

所以一<,=xy>0,

xy

即乙,的充要條件是孫>0.

Xy

跟蹤訓練二

2.【答案】(1)B(2)見解析

【解析】(1)由x(x—2)<0得0〈水2,因為(0,2)是[—1,+8),所以“工￡[—1,+8)”是“不等式

—2)<0成立”的一個必要不充分條件.

(2)證明假設(shè)夕：方程3火2+6匠+。=0有一個根是1,(7：a+b+c—Q.

①證明片?,即證明必要性.

x=1是方程ax+bx+(?=0的根，:.a?12+Z??l+c=0,即a+b+c=Q.

②證明RR即證明充分性.

由a+b+c=Q,得c=~a—b.

*.*ax+bx~\-c=0,/.ax+bx-a—b=0,

即—1)+6(才-1)=0.故(x—l)(ax+a+6)=0.

???x=l是方程的一個根.

故方程ax+bx+c=0有一個根是1的充要條件是a+b+c=Q.

例3【答案】｛引力29｝(或[9,+8))

【解析】由/—8x—20W0,得一2W^^10,由f—2x+l-/W0(%>0),

得1—m勿(%>0).

因為,是°的充分不必要條件，所以尸且以夕.

即｛x|—2WxW10｝是｛x|1—/勿，%>0｝的真子集，

力>0,1一/W—2,

所以<1—加一2,或<力0,解得"29.

」+勿210〔1+%>10,

變式.【答案】見解析

【解析】由x2—8x—20W0得一2W^r^lO,由x?—2x~\~1—宮W0(%>0)得1—m(近0)

因為夕是1的必要不充分條件，所以及>夕，且局a

則｛x|1—/WxWl+%，%>0｝是｛x|—2W^^10｝

%>0

所以41—m2—2,解得0〈%W3.

/W10

即力的取值范圍是(0,3].

跟蹤訓練三

3.【答案】見解析

【解析】因為“xRP'是的必要條件