高中數學函數各類題

第二章函數

第一節(jié)對函數的進一步認識

A組

1.(2009年高考江西卷改編)函數'13x+4的定義域為

[-X*2-3X+4>0,

解析：口八=^xG[-4,0)U(0,l]

一￥0,

答案：[—4,0)U(0,1]

2.(2010年紹興第一次質檢)如圖，函數/(x)的圖象是曲線段OAB,

其中點。，A,8的坐標分別為(0,0),(1,2),(3,1),則火點)

的值等于

解析：由圖象知負3)=1,/(而j)=/(1)=2.答案：2

[r,xwi,

3.(2009年高考北京卷)已知函數加)=若負X)=2,則》=________.

[—X,X>1.

解析：依題意得時，3"=2,.*.x=log32;

當x>l時，~x=2,x=-2(舍去).故x=1og32.答案：k)g32

4.(2010年黃岡市高三質檢)函數f｛I,啦｝一｛1,6｝滿足/[/(!-)]>1

的這樣的函數個數有個./\

解析：如圖.答案：1；

5.(原創(chuàng)題)由等式*3+432+42工+。3=0+I)'+仇(x+1))+\\/b2(x+1)+

仇定義一個映射遂0,。2,6)=(仇，b2,①)，則/2,1，-1)=.

解析：由題意知x34*+2x2+x-1=(x+I)3+b\(x+I)2+Z>2(x+1)+bi，

令X=-1得：-1=①；

-]=]+仇+岳+仇

再令x=0與x=l得<

3=8+46+2岳+仇

解得h\=-1,b2=0.

答案：(-1,0,-1)

(.1

I+T

6.已知函數以)=jf+i(_]Wx或l),(1)求義1—i2)]｝的值；(2)求

、2x+3(x<—1).

3

—1);(3)若｛a)=g,求a

解：/(x)為分段函數，應分段求解.

(1)V1-^7=1-(V2+1)=-V2<-hAX-V2)=-2V2+3,

又??/-2)=-1,,/[/(-2)]=/-1)=2,.VV[/(-2)]｝=14=l-

213x

(2)若3x-1>1,即X>T,J(3x-1)=1+-----=----r;

73八73x-13x-1

3

若一lW3x-1^1,即fi3x-1)=(3x-I)2+1=9x2-6x+2;

若即xvO,1)=2(3%-l)+3=6x+1.

〃3x

3x—1

,心-D=<9f_6x+2(0?|),

<6x+1(x<0).

3

(3)=2，**?1或-IWaWl.

i3

當a>l時,有1+)=5，.*.(7=2;

當一iWaWl時，a2+1=1,：.a=±^.

；?。=2或土乎.

B組

1.(2010年廣東江門質檢)函數y=■Mg(2x-1)的定義域是

解析：由3x-2>0,2x-1>0,得x>|■.答案:{小>]}

—2r+l,(x<—1),

3

2.(2010年山東棗莊模擬)函數,危)=j—3,(―14W2),則加/以)+5))=_.

Jlx~1,(x>2),

解析：；-*卜2,.?城+5=-3+5=2,X2W2,/./2)=-3,

...火-3)=(-2)義(-3)+1=7.答案:7

3.定義在區(qū)間(一1,1)上的函數”x)滿足“(X)一大-x)=lg(x+l),則<x)的解析式為.

解析：：對任意的xe(-1,1),有

由孫)一火-尤)=尼。+1),?

由加-x))=lg(-x+1),②

①X2+②消去<-x),得二x)=21g(x+l)+lg(-x+l),

=|lg(x+1)+|lg(l-x),(-1<X<1).

答案：>(x)=§lg(x+l)+；lg(l—x),(—1<X<1)

4.設函數y=/(x)滿足/(x+l)=/(x)+1,則函數了=/(》)與夕=》圖象交點的個數可能是

個.

解析：由於+1)=危)+1可得加)=10)+1,火2)=>0)+2,<3)=_/(0)+3,…本題中如

果40)=0，那么>=")和y=x有無數個交點；若火0)70,則y=")和y=x有零個交點.答

案：0或無數

2(x>0)

5.設函數.危)=2,人工，〈八、，若X—4)=/(0)，義-2)=—2,則義x)的解析式為

x-\-bx-\~c(xSO)

<x)=，關于X的方程/(x)=x的解的個數為個.

解析：由題意得

\6-4b+c=c6=4

=><

4-26+c=-2c=2

〃2(x>0)

^?AX)=I21.

導+以+2(xWO)

由數形結合得y(x)=x的解的個數有3個.

[2(x>0)

答案：1+4X+2(后0)3

6.設函數/(x)=log6Km>0,aWl),函數g(x)=—f+bx+c,若/(2+啦)一/(、n+1)=；,g(x)

的圖象過點A(4,-5)及B(-2,-5),則a=,函數而(x)]的定義域為.

答案：2(-1,3)

x2—4x+6,xZO

7.(2009年高考天津卷改編)設函數危尸,,則不等式作)次1)的解集是

x+6,x<0

解析：由已知，函數先增后減再增，當x》0,7(x)刁(1)=3時，令./(x)=3,

解得x=1,x=3.故亦)刁(1)的解集為OWx<l或x>3.

當x<0,x+6=3時，x=-3,故y(x)次1)=3,解得-3<xv0或x>3.

綜上，/(x)刁⑴的解集為{x|-34:<1或x>3}.答案：國一3々<1或x>3}

Flog2(4—x),xWO,

8.(2009年高考山東卷)定義在R上的函數{x)滿足加)=〃~八則

/3)的值為.

解析：；/(3)=火2)-/1),又義2)=")-川)，.\/(3)=-膽)，?]0)=log24=2,..g)

=-2.答案：一2

9.有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻開始，5分

鐘內只進水，不出水，在隨后的15分鐘內既進水，又出水，得到時間x與容器中的水量y

之間關系如圖.再隨后，只放水不進水，水放完為止，則這段時間內(即x220),y與x之間

函數的函數關系是.

解析：設進水速度為卬升/分鐘，出水速度為升/分鐘，則由題意得

5al=20<7)=4

，得,則y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又因為水放完

5al+15(a1-⑹=35。2=3

為止，所以時間為X〈苧，又知x》20,故解析式為y=-3x+95(20WxW竽).答案：y=—

3x+95(20WxW予

10.函數次》)=\/(1-/上2+3(]—4注+6

(1)若.危)的定義域為R,求實數a的取值范圍；

(2)若./)的定義域為[—2,1],求實數。的值.

解:⑴①若1-J=0,即。=±1,

(i)若。=1時，/(x)=#,定義域為R,符合題意；

(ii)當〃=-]時，代x)=^6x+6,定義域為[-1,+8),不合題意.

22

②若1-/#(),貝g(x)=(1-a)x+3(\~a)x+6為二次函數.

由題意知g(x)與0對xdR恒成立，

1-a2>0,J_l<a<l,

?1△WO,??[(〃-1)(11〃+5)W0,

-.Wa<l.由①②可得-1WaWL

(2)由題意知,不等式(1-/*+3([-q)x+620的解集為[-2,1],顯然1-辦0且-2,1

是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的兩個根.

；工a=±2..'.a=2.

-2=_2,5

-yy或a>l

<A=[3(1-a)]2-24(l-a2)>0'

11.已知<x+2)=Xx)(xWR),并且當xG[-1,1]時，./)=-?+1,求當xG[2k~l,2k+l](kGZ)

時、/(x)的解析式.

解：由y(x+2)=；(x),可推知y(x)是以2為周期的周期函數.當XG[2/1-1,2北+1]時，2k

-14W2左+1,-lWx-28WL.\AX-2@=-(X-2A)2+1.

又7(x)="-2)=/x-4)=—=J(x-2k),

：.J(x)=-(x-2k)2+[,xe[2k-1,2*+1],kGZ.

12.在2008年11月4日珠海航展上，中國自主研制的ARJ21支線客機備受關注，接到了

包括美國在內的多國訂單.某工廠有216名工人接受了生產1000件該支線客機某零部件的

總任務，已知每件零件由4個C型裝置和3個H型裝置配套組成，每個工人每小時能加工

6個C型裝置或3個H型裝置.現將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，

設加工C型裝置的工人有x位，他們加工完C型裝置所需時間為蛉)，其余工人加工完H

型裝置所需時間為Mx).(單位：h,時間可不為整數)

(1)寫出g(x),"(x)的解析式；

(2)寫出這216名工人完成總任務的時間;(x)的解析式；

(3)應怎樣分組，才能使完成總任務的時間最少？

解：(1)g(x)=2；OO(0〈X<216,xeN*),h(x)=(0<x<216,x&N*).

mz1ox

「2000

(0〈xW86,xGN*).

⑵危尸1。。。(3)分別為86、130或87、129.

1216-x(87Wx<216,xGN*).

第二節(jié)函數的單調性

A組

1.(2009年高考福建卷改編)下列函數/(x)中，滿足“對任意修，必6(0,+8),當不42時,

都有人為)如2)”的是.

①人勸=(②/(x)=(x-l)2③/(x)=e*④/(x)=ln(x+l)

解析：?.,對任意的Xl，X2^(0,+8),當

加］)次切，???府)在(0，+8)上為減函數.答案：①

2.函數加)(x￡R)的圖象如右圖所示,則函數g(x)

川ogd)(0vav1)的單調減區(qū)間是.

解析：=lo&x為減函數，.??log/￡［0,

為減函數.

由答案：[6,1](或(也，1))

3.函數9="￥-4+,15-3%的值域是.

解析:令x=4+sin%,，￡[0,爭,y=sina+小cosa=2sin(a+j),1WyW2.

答案：[1,2]

4.一知函數人工)=同+備3《11)在區(qū)間［0,1］上單調遞增，則實數。的取值范圍.

解析：當a〈0,且e'+彩。時，只需滿足e°+/N0即可，則-K<0;當。=0時,

y(x)=|e［=e*符合題意；當q>0時，/(x)=e'+氏，則滿足，(x)=e*-在xC［0,l］上恒成

立.只需滿足〃或(小端加成立即可，故綜上

答案：一IWaWl

5.(原創(chuàng)題汝I果對于函數人刈定義域內任意的x,都有為常數)，稱M為段)的下

界，下界M中的最大值叫做兀0的下確界，下列函數中，有下確界的所有函數是.

1(x>0)

頌x)=sinx；顫x)=lgx；(gy(x)=ev；頌x)=?0(x=0)

.-1(x<-l)

解析：；sinxN-1,.,.fix)=sinx的下確界為T,即/(x)=sinx是有下確界的函數；

=lgx的值域為(-8,+8),.?.人工)=1乎沒有下確界；."決x)=e*的值域為(0,+°°),??Ax)

=e'的下確界為0,即/(x)=e1是有下確界的函數；

-1(xX)fl(x>0)

?.7(x)=<0(x=0)的下確界為-1".於)=<0(x=0)是有下確界的函數.答案：

,-1(%<-1)1-1(xvT)

①③④

6.已知函數/3)=/,g(x)=x—1.

(1)若存在XGR使兀0幼-g(x),求實數b的取值范圍；

(2)設尸(x)=/(x)一機g(x)+l一機一機2,且|F(x)|在［0,1］上單調遞增，求實數，〃的取值范圍.

解：(1)3xeR,J(x)<b-g(x)x^R,x2-bx+b<0A=(-Z>)2-4b>0b<0或b>4.(2)F(x)

x2-mx+1-A=TH2-4(1-m2)=5w2-4,

①當AWO即-^邛^時，則必需

六。

-半WZ0.

.平Z不

②當△>()即〃7V-邛^或〃7>邛^時，設方程產(%)=0的根為X],X2(X1<X2)?若胃21,則

修W0.

—^1

2支

機22.

.F(0)=1-/n2^0

777

若,W0,則、24。，

m)，八

尹0-1Wm<-邛5.綜上所述：-1WmWO或/w22.

.F(0)=1-w2^0

B組

1.(2010年山東東營模擬)下列函數中，單調增區(qū)間是(-8,0]的是.

?y—~^②y=一(x-1)?y=x2—2④y=-|x|

解析：由函數y=-團的圖象可知其增區(qū)間為(-8,0].答案：④

2.若函數加)=10g2(x2—ax+3a)在區(qū)間[2,+8)上是增函數，則實數。的取值范圍是

解析：令g(x)=x2-or+3。，由題知g(x)在[2,+8)上是增函數，且g(2)>0.

界2,

；?一4<aW4.答案：一4<aW4

、4-2。+3。>0,

3.若函數_Xx)=x+fm>0)在《，+8)上是單調增函數，則實數。的取值范圍

Q39

解析：..7[x)=x+F(a>0)在(g,+8)上為增函數，0<?'大

答案：(0,

4.(2009年高考陜西卷改編)定義在R上的偶函數;(X),對任意與，x2e[0,+°°)^^2),

有/2)一危|)<0,則下列結論正確的是

X2—X1

①A3)勺(一2)勺(1)②AD勺(―2)飲3)

③A—2)勺。)9(3)刨3)勺(1)供一2)

解析：由已知叁D二曲Zo,得寅X)在xd[0,+8)上單調遞減，由偶函數性質得42)=

乃-X]

人-2)，即43)勺(-2)8).答案：①

\a(x<0),

5.(2010年陜西西安模擬)已知函數上)=L,一，、八滿足對任意修。必，都有

[(。―3)%十4夕(工30)

曲二曲成立，則a的取值范圍是

0<<2<1,

解析：由題意知，段)為減函數，所以<q-3<0,解得

3)X0+4a,

6.(2010年寧夏石嘴山模擬)函數｛x)的圖象是如下圖所示的折

線段048,點A的坐標為(1,2),點B的坐標為(3,0),定義函數

g(x)=/(x>(x—1)，則函數g(x)的最大值為.

[2x(x7)(00<1)，

斛析：g(x)=\

[(-x+3)(x-1)(1WXW3),

當OWxvl時，最大值為0;當1WXW3時，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年安徽合肥模擬)已知定義域在[-1,1]上的函數/=危)的值域為[-2,0],則函數y

=*04)的值域是.

解析：；con&G[-1,1],函數y=Ax)的值域為[-2,0],.?.y=/(coS)的值域為[-2,0].答

案：[—2,0]

8.已知<x)=k)gM+2,xC[l,9],則函數產=[/€*2+/(，)的最大值是.

解析：：函數y=[Ax)/+兀$的定義域為

1WXW9,

2

1<X<9令logM=/,/^[0,l],

...y=(/+2)2+2f+2=(f+3)2-3,.?.當f=l時，如《=13.答案：13

9.若函數/(x)=log/2f+x)m>0,QWI)在區(qū)間(0,；)內恒有/(x)>0,則火x)的單調遞增區(qū)間

為.

解析：4'//=2x~+x,當xG(0,3時，〃G(0』)，而此時乂x)>0恒成立，...Ovavl.

"=2(x+H，則減區(qū)間為(-8,而必然有2f+x>0,即x>0或xv-

的單調遞增區(qū)間為(-8,-1).答案：(一8,一3

10.試討論函數y=2(log^x)2—21og1x+l的單調性.

解：易知函數的定義域為(0,+°°).如果令〃=g(x)=10埼丫，y=XW)=2w2-2w+1,那

么原函數y=/［g（x）］是由g（x）與處/）復合而成的復合函數，而〃=Io/x在工￡（0,+8）內是減

函數，y=2〃2-2〃+1=2（〃-；y+T在〃￡（-8,3）上是減函數，在〃￡（；,+8）上是增函

數.又〃即匕或只，得坐；得0＜A?〈坐由此，從下表討論復合函數y=/［g（x）］

11.（2010年廣西河池模擬）已知定義在區(qū)間（0,+8）上的函數加）滿足姆）=＜修）一"2）,

x2

且當x＞l時,Xx）＜0.

（1）求7U）的值；（2）判斷火x）的單調性；（3）若＜3）=-1,解不等式負團）＜一2.

解：⑴令xi=X2＞0,代入得/1）=火/）-90=0,故—）=0.

（2）任取X|,x2e（0,+8）,且為＞如則紅＞1,由于當x＞l時，./（x）V0,

所以.婚）＜0,即於D-火X2）＜0,因此兀V|）q（X2），

所以函數次刈在區(qū)間（0,+8）上是單調遞減函數.

（3）由心）=曲）一/2）得忌=心）"3），而43）=7,所以＜9）=-2.

由于函數外）在區(qū)間（0,+8）上是單調遞減函數，

由義［x|）勺（9）,得|x|＞9,Ax＞9或-9.因此不等式的解集為{x\x＞9或x＜-9}.

Y~+QX+h

12.已知：-Oulogs1------x￡（0,+°°）,是否存在實數。，b,使於）同時滿足下列三

個條件：（1）在（0,1］上是減函數，（2）在［1,+8）上是增函數，（3m）的最小值是L若存在，求

出a、b\若不存在，說明理由.

］+q+6

解：;危）在。1］上是減函數，［1,+8）上是增函數，??.工=1時，/）最小，iog3-j~-

=1.即。+b=2.

、〃~~cX」++bX2+ax2+h.仁、

設0＜的＜應＜1，則rtI《為）〉/（工2）,即一^-----!—-----=---恒成文.

X1%2

由此得在331〉。恒成立.

X\X2

又,.?修一工2＜0，工1必＞0,，.也一一＜0恒成立，

設1<工4，則Xx3)<義工4)恒成立.~_a<0恒成立.

VX3-x4<0,X3X4>0,/.X3X4>b恒成立..,?力〈1.由1且bW1可知b=1,.二。=1./.

存在4、by使/(X)同時滿足三個條件.

第三節(jié)函數的性質

A組

1.設偶函數兀v)=log加一臼在(一8,0)上單調遞增，則.火。+1)與寅6+2)的大小關系為

解析：由於)為偶函數，知6=0,...危)=log0|x|,又|x)在(-8,0)上單調遞增，所以

0<a<l,l<a+1<2,則網在(0,+8)上單調遞減，所以J(a+1)>/(/>+2).答案:/0+1)次6

+2)

2.(2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數/(x)既是奇函數又是以2為周期的周期函數，

則人1)十穴4)+負7)等于.

解析：/(x)為奇函數，且xGR,所以/(0)=0,由周期為2可知，/(4)=0,{7)=/(1),又

由於+2)=外)，令x=-1得式1)=火-1)=_火1)=/1)=0,所以<1)+{4)+<7)=0.答案：

0

3.(2009年高考山東卷改編)已知定義在R上的奇函數/(x)滿足<x-4)=-/(x),且在區(qū)間［0,2］

上是增函數，則/(一25)、人11)、/(80)的大小關系為.

解析：因為人x)滿足負x-4)=-兀c),所以./(X-8)=兀v),所以函數是以8為周期的周期

函數，則-25)=/-1).火80)=/(0),加1)=次3),又因為義x)在R上是奇函數，的)=0,

得人80)=/(0)=0,4-25)=")=-/I),而由"-4)=一危)得用1)”3)=-/-3)=-

"-4)=負1),又因為義x)在區(qū)間［0,2］上是增函數，所以述1)次0)=0,所以-人1)<0,即火-

25)勺(80)依11).

答案：X-25)<A80)<AH)

4.(2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數./(x)在區(qū)間［0,+8)上單調增加，則滿足/(2x—1)勺6)

的x取值范圍是________.

解析：由于.火x)是偶函數，故{x)=Ak|),由川2x-l|)勺6)，再根據.次x)的單調性得|2x

-1|<|，解得U.答案:(|,|)

5.(原創(chuàng)題)已知定義在R上的函數義x)是偶函數，對xdR,<2+x)=/(2—x),當人-3)=一

2時，式2011)的值為.

解析：因為定義在R上的函數/(x)是偶函數，所以/(2+x)=/(2-x)=/(x-2),故函數/(x)

是以4為周期的函數，所以<201l)=/(3+502X4)=犬3)=/(-3)=-2.答案：一2

6.已知函數y=/(x)是定義在R上的周期函數，周期T=5,函數y=*x)(—1WxW1)是奇函

數，又知y=/(x)在［0,1］上是一次函數，在［1,4］上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值

-5.(1)證明：7(1)+/(4)=0;(2)求1=/)，乂€［1,4］的解析式；(3)求.=段)在［4,9］上的解析

式.

解：⑴證明:：危)是以5為周期的周期函數，.\/(4)="4-5)=1-1),

又??？=Ax)(TWxWl)是奇函數，.?決1)=4-1)=-負4),??坎1)+<4)=0.

(2)當xG［l,4］時，由題意可設外)=。@-2)2-5(&>0),由./(1)+44)=0,得.(1-2)2-5

+?(4-2)2-5=0,：.a=2,：.J(x)=2(x-2)2-5(1^x<4).

(3)；y=<x)(-IWxWl)是浮函數，.；即)=0,又知y=/(x)在［0,1］上是一次函數，...可設

/(x)=fcc(OWxWl),而./(I)=2(1-2y-5=-3,.,.k=-3?.,.當OWxWl時，危)=-3x,從

而當-1Wx〈0時，./(x)=~x)=-3x,故-1WxW1時，fix)=-3x./.當4WxW6時，有

-1Wx-5W1,.,./(x)=./(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.當6<xW9時，-5^4,J.J［x)=j(x

-5)=2［(x-5)-2］2-5=2(x-7)2-5.

-3x+15,4<x<6

，心)=

2(X-7)2-5,6<xW9

B組

1.(2009年高考全國卷I改編)函數7(x)的定義域為R,若<x+l)與左一1)都是奇函數，則

下列結論正確的是.

①Ax)是偶函數②Ax)是奇函數③/)=加+2)

④/(x+3)是奇函數

解析：,.,人》+1)與.危-1)都是奇函數，.*./-%+i)=-y(x+1),/(-X-1)=-fix-1),

...函數人x)關于點(1,0),及點(-1,0)對稱,函數7(x)是周期7=2［1-(-1)］=4的周期函

數.：.A~x-1+4)=-j{x-1+4),y(-x+3)=-/x+3),即於+3)是奇函數.答案：④

3

2.已知定義在R上的函數人x)滿足外)=一心+力且y(—2)=穴-1)=-1,<0)=2,3)

+X2)+-+A2009)+/2010)=________.

解析：外)=-加+齊如+3)=小)，即周期為3,由./(-2)=火-1)=-1"(0)=2,所

以-1,黃2)=-1,寅3)=2,所以,/(1)+/2)+-+/2009)+/2010)=>(2008)+/2009)

+<2010)=/(l)+_X2)+_A3)=0.答案:0

3.(2010年浙江臺州模擬)已知<x)是定義在R上的奇函數，且<1)=1,若將<x)的圖象向

右平移一個單位后，得到一個偶函數的圖象，則義1)+負2)+<3)+…+/(2010)=.

解析：/(x)是定義在R上的奇函數，所以<-x)=-4力，將人x)的圖象向右平移一個單

位后，得到一個偶函數的圖象，則滿足/(-2+x)=-/x),即火x+2)=-y(x),所以周期為4,

XI)=1，/2)=/0)=0,火3)=-XI)=-1,,/(4)=0,所以XI)+丸2)+{3)+次4)=0,則見)

+火2)+次3)+…+義2010)=7(4)X502+人2)=0.答案:0

4.(2010年湖南郴州質檢)已知函數人x)是R上的偶函數，且在(0,+8)上有/(x)>0,若

人-1)=0,那么關于x的不等式x/(x)<0的解集是.

解析：在(0,+8)上有/(X)>O,則在(0,+8)上段)是增函數，在(-8,0)上是減函

數，又.危)在R上是偶函數，且,-1)=0,.\/(1)=0.從而可知XG(-8,-1)時，無幻>0;

xe(-1,0)時，/(x)<o；xe(o,l)時，/(x)<0;xe(l,+8)時，兀介>0:.不等式的解集為(-8,

-1)口(0』)答案：(-8,-l)U(0,l).

5.(2009年高考江西卷改編)已知函數外)是(-8,+8)上的偶函數，若對于x》o,都有企

+2)=/(x),且當xd［0,2)時，段)=log2(x+l),則./(一2009)+/(2010)的值為.

解析：：於)是偶函數，.\/(-2009)=欣09).??先)在Q0時段+2)=加)，,危)周期

為2.：.A-2009)+X2010)=A2009)+/(2010)=/1)+/(0)=log22+log2l=0+1=1.答案：1

6.(2010年江蘇蘇州模擬)己知函數段)是偶函數，并且對于定義域內任意的x,滿足人x+2)

=一看，若當2口<3時，y(x)=x,則義2009.5)=.

由於+2)=一點,

解析:可得fix+4)=y(x),X2009.5)=./(502X4+1.5)=/(1.5)=J[-

2.5)；%)是偶函數，.\;(2009.5)=_/(2.5)=|.答案：|

7.(2010年安徽黃山質檢淀義在R上的函數加)在(一8,可上是增函數，函［數y=/(x+a)

是偶函數，當x2>a9且防一〃|<|必一。|時，則/(2。一修)與火必)的大小關系為.

解析：=/(x+。)為偶函數，+o)的圖象關于y軸對稱，'.y=於)的圖象關于

X=Q對稱.又?./x)在(-8,上是增函數，.\/(%)在口，+8)上是減函數.當修<7,X2>a,

且,］一41Vh2一夕|時，有a-x\<x2-a,即o<2a-為<%2，?\/(2Q-a)次必)?答案：人24一修)況型)

8.已知函數兀r)為R上的奇函數,當入20時,./)=%(工+1).若犬〃)=一2,則實數a=.

解析：當x20時，J(x)=x(x+1)>0,由/(x)為奇函數知x<0時，/(x)<0,???〃<0,j{-d)

=2,/.-a(~a+1)=2,工。=2(舍)或a=-1.答案：一1

9.(2009年高考山東卷)已知定義在R上.的奇函數/(X)滿足兀v—4)=一人工)，且在區(qū)間［0,2］上

是增函數.若方程/(工)=〃2(相>0)在區(qū)間［—8,8］上者四個不同的根為，如均，M，則為+必

+悶+M.

解析：因為定義在R上的奇函數,滿足於-4)=-“T),所以7(4-x)=/(x),因此，函

數圖象關于直線x=2對稱且/(0)=0.由於-4)=-/(x)知-8)=/)，所以函數是以8為周

期的周期函數.又因為人刈在區(qū)間［0,2］上是增函數；所以./(X)在區(qū)間［-2,0］上也是增函數，

如圖所示，那么方程")=皿〃7＞0)在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根治，如孫x4,不妨設

X］＜必＜工3＜必.由對稱性知X］+X2=-12,X3+必=4,所以為+必+工3+工4=-12+4=-8.答

案:-8

y\

0\2

10.已知<x)是R上的奇函數，且當xd(-8,0)時，y(x)=-;dg(2—X),求人x)的解析式.

解：?<Ax)是奇函數，可得負0)=-負0),.\A0)=0.當x>0時，-XV0,由已知<-x)=xlg(2

+x),-fix)=xlg(2+x),即7(x)=-xlg(2+x)(x>0).

f-xlg(2-x)(x<0),

?W)=-、/>n、即段)=-xlg(2+|x|)(xWR).

[-xlg(2+x)(x20).

11.已知函數逐x),當x,yGR時，恒有兀c+y)=Ax)+/e).⑴求證：")是奇函數；(2)如

果xGR+,/)<0,并且大1)=一去試求大x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.

解：(1)證明：函數定義域為R,其定義域關于原點對稱.

???加+力=危)+方)，令?-，??.即戶刎+人一分令-=0，??./())=加)+購,

得,火0)=0.+<一x)=0,得<~x)=-火x),，/)為奇函數.

(2)法一：設x,eR1,\,/(x+y)=y(x)+_/(y),：.J[x+y)-,/(x)=fiy\

Vx^R+,+y)一次工)<0，/./x+*/x+y>x,在(0,+8)上是

減函數.又；危)為奇函數，<0)=0,?；危)在(-8,+8)上是減函數.???/(-2)為最大值，

人6)為最小值.；/(1)=1，???./(-2)=-,/(2)=-2Al)=h./(6)=2/(3)=2[/(1)+/(2)]=-3.A

所求兀r)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

法二：設為<必，且片,—GR.則/2-為)=02+(-Xj)]=fix-2)+_X_彳1)=/2)-次Xi).；X2

一片>0,；.兒'2-乃)〈0:.小2)-/5)〈0.即加)在區(qū)上單調遞減..\/(-2)為最大值，./(6)為最

小值...W)=-1,.*./-2)=-X2)=-2/(l)=l，X6)=2/(3)=2[Al)+X2)]=-3....所求外)

在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

12.已知函數段)的定義域為R,且滿足/(x+2)=—/(x).

(1)求證：孔0是周期函數；

(2)若兀r)為奇函數，且當OWxWl時，<x)=；x,求使大燈=一；在[0,2010]上的所有x的

個數.

解：⑴證明："：fix+2)=-fix),：.fix+4)=-fix+2)=-[-fix)]=fix),

.,?/(x)是以4為周期的周期函數.

(2)當OWxWl時，4)=%,

設-IWxWO,貝”O(jiān)W-xWl,/./(-x)=^(-x)=..,貝力是奇函數，.-/(x),

，二危)=-5，即,G)=$.故=IWxWl)

又設l<x<3,貝，1-1<x-2<1,：.fix-2)=|(x-2),

又二/-2)=-/2~x)=-./[(-x)+2]=-[一｛-x)]=-fix),：.-fix)=1(x-2),

(-1

=-1(x-2)(1<x<3).Z./x)=5

[-*-2)(1*3)

由於)=-;，解得x=-1.二危)是以4為周期的周期函數.故/(x)=-g的所有x=4"-

13

l(wEZ).令0W4〃-1W2010,則4W〃>502不又,.Z￡Z,???1W〃W5O2(〃￡Z),???在[0,2010]

上共有502個x使兒:)=一

第三章指數函數和對數函數

第一節(jié)指數函數

A組

1.(2010年黑龍江哈爾濱模擬)若心1,X0,且/+，〃=2吸，則J—的值等于_______.

解析：h<0,.,.0<ah<\,ab>\.^V(?+a-6)2=a24+a'2b+2=8,：.a2h+a'2b-

6,(a*_a^)2=a2h+a'"-2=4,a-ah=-2.答案：一2

2.已知7(x)=/+b的圖象如圖所示，則<3)=.

解析：由圖象知/(0)=1+6=-2,；.6=-3.又/(2)=a2-3

=0,：.a=y[3,則式3)=(卜)3-3=36-3.

答案：3s—3

3.函數y=(；產i的值域是.

解析：：2X-X2=-(X-1)2+1W1,

?,?鏟一:當答案：百+8)

4.(2009年高考山東卷)若函數/W="-x-a(a>0,且。燈)有兩個零點，則實數a的取值

范圍是.

解析：函數,/(x)的零點的個數就是函數y="與函數y=x+a交點的個數，由函數的圖

象可知々>1時兩函數圖象有兩個交點，Ovavl時兩函數圖象有惟一交點，故a>l.答案：(1,

5.(原創(chuàng)題)若函數加)=4」ig>0,a#1)的定義域和值域都是[0,2],則實數。等于.

,051a>\

解析：由題意知</-1=0無解或<J-1=00a=木.答案：小

I。0-11=2r-1=2

6.已知定義域為R的函數小)=廣不^是奇函數.(1)求a,6的值；

(2)若對任意的/GR,不等式次/-2。+<2/一與<0恒成立，求上的取值范圍.

一]+6

解：(1)因為兀0是R上的奇函數，所以/(0)=0,即,21J=O,解得6=1.

-2v+1-2+12

從而有Xx)=+".又由/(D=-人-1)知4+"=-］+〃，解得。=2.

，CtI0<1C/

—2"+111

(2)法一：由⑴知./)=尹.112=-5+方1，

由上式易知火0在R上為減函數，又因/(X)是奇函數，從而不等式加2-2。+/2產-4)<0

叼廣-2/)<-Jilt2-^)=/-2?+k).

因/x)是R上的減函數，由上式推得--2/>-2/+k.

即對一切/6R有3/-2LQ0,從而A=4+12A<0,解得

-2V+1-2^-2,+1-?2,2-*+1

法二：由(1)知<X)=2'T+2,又由題設條件得2J_2小+2++六°

即022-E+2)(_2'。2，+D+QJHI+2)(-22,2'i+1)<0

整理得23人"-*>1,因底數2>1,故3』-2L%>0

上式對一切/《R均成立，從而判別式A=4+12%<0,解得％<-去

B組

1.如果函數—)=d+6—1(。>0且aWl)的圖象經過第一、二、四象限，不經過第三象限，

那么一定有.

①0<。<1且6>0②0<。<1且O<Z><1③。>1且b<0④a>l且6>0

解析：當09/<1時，把指數函數.危)="的圖象向下平移，觀察可知-lv6-1<0,即

O〈X1.答案：②

2.(2010年保定模擬)若/(幻=-?+2方與g(x)=(a+『r在區(qū)間［1,2］上都是減函數，則a

的取值范圍是.

解析：7(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a1,所以人工)在⑷+8)上為減函數，又?v),g(x)

(aW1

都在［1,2］上為減函數，所以需00。力.答案：(0,1］

［a+1>1

3.已知40,