考研數(shù)學(xué)三(常微分方程與差分方程)模擬試卷7(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（常微分方程與差分方程）模擬試卷7(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．微分方程yˊˊ－6yˊ+8y=ex+e2x的一個特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A．a(chǎn)ex+be2xB．a(chǎn)ex+bxe2xC．a(chǎn)xex+be2xD．a(chǎn)xex+bxe2x正確答案：B解析：由原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程r2－6r+8=0得特征根r1=2，r2=4．又f1(x)=ex，λ=1非特征根，對應(yīng)特解為y1*=aex；f2(x)=e2x，λ=2為特征單根，對應(yīng)特解為y2*=bxe2x．故原方程特解的形式為aex+bxe2x，選(B)．知識模塊：常微分方程與差分方程2．微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=e－xsinx的特解形式為()A．e－x(Acosx+Bsinx)B．e－x(Acosx+Bsinx)C．xe－x(Acosx+Bsinx)D．e－x(Axcosx+Bsinx)正確答案：C解析：特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=－1，特征根為r1，2=－1±i，而λ±iw=－1±i是特征根，特解y*=xe－x(Acosx+Bsinx)．知識模塊：常微分方程與差分方程3．微分方程yˊ+=0的通解是()A．B．C．D．正確答案：C解析：原方程寫成yyˊ+=0，分離變量有ydy+e3xdx=0．積分得2e3x－3=C，其中C為任意常數(shù)．知識模塊：常微分方程與差分方程4．微分方程yˊˊ－4yˊ+4y=x2+8e2x的一個特解應(yīng)具有形式(a，b，c，d為常數(shù))()A．a(chǎn)x2+bx+ce2xB．a(chǎn)x2+bx+c+dx2e2xC．a(chǎn)x2+bx+cxe2xD．a(chǎn)x2+(bx2+cx)e2x正確答案：B解析：對應(yīng)特征方程為r2－4r+4=0，特征根是r1，2=2．而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*與y2*合起來就是特解，選(B)．知識模塊：常微分方程與差分方程5．微分方程yˊˊ+yˊ+y=的一個特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A．B．C．D．正確答案：C解析：特征方程r2+r+1=0，特征根為r1，2=．而f(x)=，λ±iw=是特征根，所以特解的形式為y*=知識模塊：常微分方程與差分方程6．微分方程yˊˊ+2yˊ+y=shx的一個特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A．a(chǎn)shxB．a(chǎn)chxC．a(chǎn)x2e－x+bexD．a(chǎn)xe－x+bxx正確答案：C)解析：特征方程為r2+2r+1=0，r=－1為二重特征根，而f(x)=shx=，故特解為y*=ax2e－x+bex．知識模塊：常微分方程與差分方程填空題7．微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_________．正確答案：3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)解析：原方程兼屬一階線性方程、齊次方程、全微分方程．原方程可寫為6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x2+xy)=0，積分得通解3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)．知識模塊：常微分方程與差分方程8．微分方程+6y=0的通解是_________．正確答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：原方程是二階常系數(shù)齊次線性微分方程．其特征方程為r2－5r+6=0，即(r－3)(r－2)=0．解出特征根r1=3，r2=2，即得上述通解．知識模塊：常微分方程與差分方程9．微分方程+y=1的通解是_________．正確答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：原方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．其通解為y=y齊+y*，其中y齊是對應(yīng)齊次方程的通解，y*是非齊次方程的一個特解．因原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2－2r+1=0，即(r－1)2=0，特征根為r1，2=1．故y齊=(C1+C2x)ex，其中C1，C2為任意常數(shù)．又據(jù)觀察，顯然y*=1與y齊合并即得原方程通解．知識模塊：常微分方程與差分方程10．微分方程的通解_________包含了所有的解．正確答案：不一定解析：例如方程(y2－1)dx=(x－1)ydy，經(jīng)分離變量有，積分得通解y2－1=C(x－1)2，但顯然方程的全部解還應(yīng)包括y=±1和x=1(實際上在分離變量時假定了y2－1≠0，、x－1≠0)．知識模塊：常微分方程與差分方程11．微分方程(y2+1)dx=y(y－2x)dy的通解是_________．正確答案：x=，其中C為任意常數(shù)解析：原方程化為．由通解公式得知識模塊：常微分方程與差分方程12．設(shè)一階非齊次線性微分方程yˊ+p(x)y=Q(x)有兩個線性無關(guān)的解y1，y2，若αy1+βy2也是該方程的解，則應(yīng)有α+β=________．正確答案：1解析：由yˊ1+P(x)y1=Q(x)及yˊ2+P(x)y2=Q(x)得(αy1+βy2)ˊ+P(x)(αy1+βy2)=(α+β)Q(x)．又因αy1+βy2滿足原方程，故應(yīng)有(α+β)Q(x)=Q(x)，即α+β=1．知識模塊：常微分方程與差分方程13．微分方程yˊˊ－7yˊ=(x－1)2由待定系數(shù)法確定的特解形式(系數(shù)的值不必求出)是________．正確答案：y*=x(Ax2+Bx+C)解析：原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2－7r=0，特征根r1=7，r2=0．而f(x)=x2－2x+1，λ=0是特征根，所以特解如上所答．知識模塊：常微分方程與差分方程14．以y=cos2x+sin2x為一個特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程是_________．正確答案：yˊˊ+4y=0解析：由特解y=cos2x+sin2x知特征根為r1，2=±2i，特征方程是r2+4=0，其對應(yīng)方程即yˊˊ+4y=0．知識模塊：常微分方程與差分方程15．微分方程=0的通解是_________．正確答案：y=C1+C2x+C3x2+C4e－3x，其中C1，C2，C3，C4為任意常數(shù)解析：特征方程，r4+3r3=0，即r3(r+3)=0．故通解如上．知識模塊：常微分方程與差分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．求微分方程yˊˊ+4yˊ+4y=e－2x的通解．正確答案：特征方程r2+4r+4=0的根為r1=r2=－2．對應(yīng)齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e－2x．設(shè)原方程的特解y*=Ax2e－2x，代入原方程得A=．因此，原方程的通解為y=Y+y*=(C1+C2x)e－2x+e－2x．涉及知識點：常微分方程與差分方程17．求微分方程yˊˊ+2yˊ－3y=e－3x的通解．正確答案：對應(yīng)的齊次方程的通解為=C1ex+C2e－3x．原方程的一個特解為y*=Axe－3x，代入原方程，得A=，y*=xe－3x．所求通解為y=C1ex+C2e－3x－xe－3x(C1，C2為任意常數(shù))．涉及知識點：常微分方程與差分方程18．求微分方程yˊˊ+5yˊ+6y=2e－x的通解．正確答案：所給微分方程的特征方程為r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根為r1=－2，r2=－3．于是．對應(yīng)齊次微分方程的通解為(x)=C1e－2x+C2e－3x．設(shè)所給非齊次方程的特解為y*=Ae－x．將y*代入原方程，可得A=1．由此得所給非齊次方程的特解y*=e－x．從而，所給微分方程的通解為y(x)=C1e－2x+C2e－3x+e－x，其中C1，C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程與差分方程19．求微分方程(3x2+2xy－y2)dx+(x2－2xy)dy=0的通解．正確答案：原方程化為3x2dx+(2xy－y2)dx+(x2－2xy)dy=0，即d(x3)+d(x2y－xy2)=0，故通解為x3+x2y－xy2=C，其中C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程與差分方程20．設(shè)y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且當(dāng)x→0時，y(x)是x的3階無窮小，求y(x)．正確答案：由泰勒公式y(tǒng)(x)=y(0)+yˊ(0)x+yˊˊ(0)x2+yˊˊˊ(0)x3+o(x3)(x→0)．當(dāng)x→0時，y(x)與x3同階=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C為非零常數(shù)．由這些初值條件，現(xiàn)將方程y(4)－yˊˊ=0兩邊積分得∫0xy(4)(t)dt－∫0xyˊˊ(t)dt=0，即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，兩邊再積分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx．易知，它有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得C1+C2=0，C1－C2=C=>因此最后得y=[(ex－e－x)]C，其中C為任意非零常數(shù)．涉及知識點：常微分方程與差分方程21．求一個以y1=tet，y2=sin2t為其兩個特解的四階常系數(shù)齊次線性微分方程，并求其通解．正確答案：由y1=tet可知y3=et亦為其解，由y2=sin2t可得y4=cos2t也是其解，故所求方程對應(yīng)的特征方程的根λ1=λ3=1，λ2=2i，λ4=－2i．其特征方程為(λ－1)2(λ2+4)=0，即λ4－2λ3+5λ2－8λ+4=0．故所求的微分方程為y(4)－2yˊˊˊ+5yˊˊ－8yˊ+4y=0，其通解為y=(C1+C2t)et+C3cos2t+C4sin2t，其中C1，C2，C3，C4為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程與差分方程22．求解yˊˊ=e2y+ey，且y(0)=0，yˊ(0)=2．正確答案：令yˊ=P(y)，則yyˊ=，代入方程，有ppˊ=e2y+ey，，p2=e2y+2ey+C，即yˊ2=e2y+2ey+C．又y(0)=0，yˊ(0)=2，有C=1，所以yˊ2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，因此yˊ=ey+1(yˊ(0)=2＞0)，即dy=dx，有dy=∫dx，y－ln(ey+1)=x+C1．代入y(0)=0，得C1=－ln2，所以，該初值問題的解為y－ln(1+ey)=x－ln2．涉及知識點：常微分方程與差分方程23．求方程=(1－y2)tanx的通解以及滿足y(0)=2的特解．正確答案：這是變量可分離方程．當(dāng)y2≠1時，分離變量得=tanxdx，兩邊積分，得去掉絕對值記號，并將±記成C，并解出y，得這就是在條件y2≠1下的通解．此外，易見y=1及y=－1也是原方程的解，但它們并不包含在式①之中．以y(0)=2代入式①中得2=，故C=－3．于是得到滿足y(0)=2的特解y=涉及知識點：常微分方程與差分方程24．求微分方程(y+)dx=xdy的通解，并求滿足y(1)=0的特解．正確答案：此為齊次微分方程，按解齊次微分方程的方法解之．令y=ux，原方程化為(ux+)dx=x(udx+xdu)，得｜x｜dx=x2du．當(dāng)x＞0時，上式成為兩邊積分得ln(u+[*)=lnx+lnC，其中C＞0，將任意常數(shù)記成lnC．由上式解得u=[Cx－(Cx)－1]，即有y=①當(dāng)x＜0，類似地仍可得y=②其中C＞0．式①與式②其實是一樣的，故得通解y=③其中C＞0為任意常數(shù)．將初值條件y(1)=0代入式③得C=±1，但由于C＞0，故得相應(yīng)的特解為y=(x2－1)．涉及知識點：常微分方程與差分方程25．求方程2x－y=－x2的通解．正確答案：這是一階線性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)型：由通解公式，得當(dāng)x＞0時，當(dāng)x＜0時，合并之，得通解y=，其中x≠0，C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程與差分方程26．求(y3－3xy2－3x2y)dx+(3xy2－3x2y－x3+y2)dy=0的通解．正確答案：將原給方程通過視察分項組合．(y3－3xy2－3x2y)dx+(3xy2－3x2y－x3+y2)dy=(y3dx+3xy2dy)－3xy(ydx+xdy)－(3x2ydx+x3dy)+y2dy=0，即d(xy3)－d(xy)2－d(x3y)+d(y3)=0，d[xy3－(xy)2－x3y+y3]=0，所以通解為xy3－x2y2－x3y+y3=C，其中C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程與差分方程27．求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e－x的通解．正確答案：應(yīng)先用三角公式將自由項寫成e－x+e－xcosx，然后再用疊加原理用待定系數(shù)法求特解．對應(yīng)的齊次方程的通解為Y=(C1cosx+C2sinx)e－x．為求原方程的一個特解，將自由項分成兩項：e－x，e－xcosx，分別考慮yˊˊ+2yˊ+2y=e－x，①與yˊˊ+2yˊ+2y=e－xcosx．②對于①，令y1*=Ae－x，代入可求得A=1，從而得y1*=e－x．對于②，令y2*=xe－x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，C=．由疊加原理，得原方程的通解為y=Y+y1*+y2*=e－x(C1cosx+C2sinx)+e－x+xe－xsinx，其中C1，C2為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程與差分方程28．求yˊˊ－y=e｜x｜的通解．正確答案：自由項帶絕對值，為分段函數(shù)，所以