2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 8-3-1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積 學(xué)案

8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計(jì)算公式直觀想象2.能用公式解決簡單的實(shí)際問題數(shù)學(xué)運(yùn)算金剛石是碳的結(jié)晶體，是目前自然界中存在的最硬物質(zhì)，其形狀除了具有規(guī)則的正八面體幾何外形，還有六面體、十二面體等外形的晶體.金剛石經(jīng)過切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨奪目的鉆石.如圖就是一塊正八面體的鉆石.問題如果已知該鉆石的棱長，你能求出它的表面積嗎？

知識點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺的表面積與其展開圖的面積都相等嗎？提示：都相等.知識點(diǎn)二棱柱、棱錐、棱臺的體積棱柱：棱柱的底面面積為S，高為h，則V＝Sh；棱錐：棱錐的底面面積為S，高為h，則V＝13Sh棱臺：棱臺的上、下底面面積分別為S'，S，高為h，則V＝13（S'＋S'S＋S等底等高的棱柱和棱錐的體積有什么關(guān)系？提示：V棱柱＝3V棱錐.1.若長方體的長、寬、高分別為3cm，4cm，5cm，則長方體的體積為（）A.27cm3B.60cm3C.64cm3 D.125cm3解析：BV長方體＝3×4×5＝60（cm3）.2.已知正四棱錐的底面邊長為2，高為3，則它的體積為（）A.2 B.4C.6 D.12解析：B正四棱錐的底面積為2×2＝4，則體積為13×4×3＝3.棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則棱臺的體積為.

解析：V棱臺＝13×（2＋4＋2×4）×3＝13×3×（6＋22）＝6答案：6＋224.正三棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，則它的側(cè)面積為，表面積為.

解析：正三棱柱底面為正三角形，側(cè)面為三個全等的矩形，所以側(cè)面積為3×1×2＝6；又S底面積＝12×1×32＝34，所以它的表面積為6答案：66＋3題型一棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積【例1】已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高為3，求它的表面積.解如圖，設(shè)PO＝3，PE是斜高，∵S側(cè)＝2S底，∴4·12·BC·PE＝2BC2∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝12BC＝12∴9＋（PE2）2＝PE2，∴PE＝23∴S底＝BC2＝PE2＝（23）2＝12，S側(cè)＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S側(cè)＝12＋24＝36.通性通法1.求多面體的表面積和側(cè)面積二者不同，要分清二者區(qū)別.2.棱錐或棱臺的表面積計(jì)算常借助側(cè)面三角形或梯形的高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長等構(gòu)成的直角三角形（或梯形）求解.已知正三棱臺（由正三棱錐截得的三棱臺）的上、下底面邊長分別為3cm和6cm，高為32cm，求此正三棱臺的表面積解：如圖所示，畫出正三棱臺ABC-A1B1C1，其中O1，O分別為正三棱臺上、下底面的中心，D，D1分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，則OO1為正三棱臺的高，DD1為側(cè)面梯形BCC1B1的高，四邊形ODD1O1為直角梯形，所以DD1＝OO12＋（OD－O1D1）2＝（32）2＋（3－32）2＝3，所以此三棱臺的表面積S表＝S側(cè)＋S底＝3×1題型二棱柱、棱錐、棱臺的體積【例2】正四棱臺的底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面面積為780cm2，求其體積.解正四棱臺的大致圖形如圖所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，連接E1E，則E1E為斜高.設(shè)O1，O分別是上、下底面的中心，連接O1O，O1E1，OE，則四邊形EOO1E1為直角梯形.∵S側(cè)＝4×12×（10＋20）×EE1＝780（cm2），∴EE1＝在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5cm，OE＝12AB＝∴O1O＝132-(10－∴該正四棱臺的體積為V＝13×（102＋202＋10×20）×12＝2800（cm3）通性通法求棱柱、棱錐、棱臺的體積的方法（1）直接法：求幾何體的體積首先要明確幾何體的形狀，確定要使用的公式，然后求得幾何體的底面積與高，最后直接代入公式即可；（2）間接法：間接法求體積的實(shí)質(zhì)是將待求體積的幾何體與體積易求的幾何體結(jié)合起來，將待求幾何體的體積轉(zhuǎn)化為兩個或多個易求幾何體的體積的和或差.已知正六棱錐的底面面積為63，側(cè)棱長為5，求這個棱錐的體積.解：如圖所示的正六棱錐S-ABCDEF中，O是底面中心，SC＝5，SO為正六棱錐的高，設(shè)底面邊長為a，則正六邊形的面積為6×34a2＝63，解得a＝2（負(fù)值舍去），∴OC＝2，在Rt△SOC中，SO＝SC2－OC2＝1，∴這個棱錐的體積V＝13×題型三簡單組合體的表面積和體積【例3】一個造橋用的鋼筋混凝土預(yù)制件的尺寸如圖所示（單位：米），澆制一個這樣的預(yù)制件需要約多少立方米的混凝土？（鋼筋體積忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.01立方米）.解將預(yù)制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，設(shè)該預(yù)制件的體積為V，則V＝0.6×1.1×24.8－12×（0.5＋0.3）×0.3×24.8≈13.39故澆制一個這樣的預(yù)制件需要約13.39立方米混凝土.通性通法求組合體的表面積與體積的關(guān)鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組合形式.對于與棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的組合體問題，要根據(jù)條件分清各個簡單幾何體的每個面是什么多邊形，再利用相應(yīng)多邊形的面積公式求得面積.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱錐A1-ABD，求剩余的幾何體A1B1C1D1-DBC的表面積和體積.解：由題意可知△A1BD是邊長為2a的等邊三角形，其面積為12×2a×2a×sin60°＝32a故所求幾何體A1B1C1D1-DBC的表面積S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝32a2＋3幾何體A1B1C1D1-DBC的體積V＝V正方體ABCD-A1B1C1D1－V三棱錐A1-ABD＝a1.若正四棱臺的上、下底面邊長分別為1，2，高為2，則該正四棱臺的體積為（）A.103B.73C.14解析：CV＝13（S＋S'＋SS'）h＝13×（1＋4＋1×4）×22.在我國瓷器的歷史上，六棱柱形的瓷器非常常見.已知有一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長為7cm（數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù)），現(xiàn)想用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要的絨布的面積為（）A.120cm2 B.162.7cm2C.785.4cm2 D.1570.8cm2解析：C由題意得，正六棱柱的側(cè)面積為6×7×18.7＝785.4（cm2），所以至少需要的絨布的面積為785.4cm2，故選C.3.過長方體一個頂點(diǎn)的三條棱長的比是1∶2∶3，體對角線的長是214，則這個長方體的體積是（）A.6B.12C.24 D.48解析：D設(shè)過長方體一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為x，2x，3x，由體對角線長為214，則x2＋（2x）2＋（3x）2＝（214）2，解得x＝2.所以三條棱長分別為2，4，6.所以V長方體＝2×4×6＝48.4.由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐（底