《信號(hào)與系統(tǒng)》課件ch6

1第六章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析6.1z變換一、從拉普拉斯變換到z變換二、收斂域6.2z變換的性質(zhì)6.3逆z變換6.4z域分析一、差分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)三、系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性6.5離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)26.1Z變換第六章離散系統(tǒng)z域分析

在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開(kāi)解微分方程的困難，可以通過(guò)拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的原因，也可以通過(guò)一種稱(chēng)為z變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。6.1z變換一、從拉氏變換到z變換對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，可得到離散信號(hào)。

取樣信號(hào)兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得36.1Z變換令z=esT，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用F(z)表示；將f(nT)記為f(n)，得稱(chēng)為序列f(n)的雙邊z變換稱(chēng)為序列f(n)的單邊z變換若f(n)為因果序列，則單邊、雙邊z變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱(chēng)它們?yōu)閦變換。F(z)=Z[f(n)],f(n)=Z-1[F(z)]；f(n)←→F(z)稱(chēng)為象函數(shù)46.1z變換二、收斂域

z變換定義為一無(wú)窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即時(shí)，其z變換才存在。上式稱(chēng)為絕對(duì)可和條件，它是序列f(n)的z變換存在的充分必要條件。收斂域的定義：對(duì)于序列f(n)，滿(mǎn)足所有z值組成的集合稱(chēng)為z變換F(z)的收斂域。56.1z變換例6.1.1求因果序列的z變換（式中a為常數(shù)）。解：代入定義可見(jiàn)，僅當(dāng)

az-1

<1，即

z

>

a

=時(shí)，其z變換存在。收斂域?yàn)閨z|>|a|66.1z變換例6.1.2求反因果序列的z變換。解可見(jiàn)，

b-1z

<1,即

z

<

b

時(shí)，其z變換存在，收斂域?yàn)閨z|<|b|76.1z變換例6.1.3求雙邊序列f(n)=f1(n)+f2(n)=解的z變換。可見(jiàn)，其收斂域?yàn)?/p>

a

<

z

<

b

（顯然要求

a

<

b

，否則無(wú)共同收斂域)總結(jié)：（1）對(duì)于有限長(zhǎng)的序列，其雙邊z變換在整個(gè)平面；（2）對(duì)因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓外區(qū)域；（3）對(duì)反因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓內(nèi)區(qū)域；（4）對(duì)雙邊序列，其z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域；86.1z變換注意：對(duì)雙邊z變換必須注明收斂域，否則其對(duì)應(yīng)的原序列將不唯一。例對(duì)單邊z變換，其收斂域只有一種可能，即一定是某個(gè)圓以外的區(qū)域，圓的半徑是最遠(yuǎn)處極點(diǎn)的模?？梢允÷浴?三、s域與z域的關(guān)系S平面與z平面的映射關(guān)系為：令有由此得到兩平面之間區(qū)域的映射關(guān)系如下：

s平面z平面（1）左半平面（σ＜0）單位圓內(nèi)（r＜1）（2）虛軸（σ=0）單位圓（r=0）（3）右半平面（σ＞0）單位圓外（r＞1）

，

(4)106.1z變換1、四、常用序列的z變換2、3、4、116.2z變換的性質(zhì)一、線(xiàn)性

6.2z變換的性質(zhì)本節(jié)討論z變換的性質(zhì)，若無(wú)特殊說(shuō)明，它既適用于單邊也適用于雙邊z變換。若f1(n)←→F1(z)1<z<1,

f2(n)←→F2(z)2<z<2對(duì)任意常數(shù)a1、a2，則

a1f1(n)+a2f2(n)←→a1F1(z)+a2F2(z)其收斂域至少是F1(z))與F2(z)收斂域的相交部分。126.2z變換的性質(zhì)二、移位（移序）特性單邊、雙邊差別大！雙邊z變換的移位：

若f(n)←→F(z),<z<，且對(duì)整數(shù)m>0，則f(nm)←→zmF(z),<z<單邊z變換的移位：

若f(n)←→F(z),|z|>，且有整數(shù)m>0,則f(n-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(n-2)←→z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1

136.2z變換的性質(zhì)f(n+1)←→zF(z)–f(0)zf(n+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)z特例：若f(n)為因果序列，則f(n–m)←→z-mF(z)146.2z變換的性質(zhì)三、序列乘an(z域尺度變換)若f(n)←→F(z),<z<，且有常數(shù)a0則anf(n)←→F(z/a),a<z<a156.2z變換的性質(zhì)四、卷積定理若f1(n)←→F1(z)1<z<1,f2(n)←→F2(z)2<z<2

則f1(n)*f2(n)←→F1(z)F2(z)對(duì)單邊z變換，要求f1(n)、f2(n)為因果序列其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。例6.2.1：求f(n)=nU(n)的z變換F(z).解：

f(n)=nU(n)=U(n)*U(n-1)166.2z變換的性質(zhì)五、序列乘n（z域微分）若f(n)←→F(z),<z<則,<z<例6.2.2：求f(n)=nU(n)的z變換F(z).解：176.2z變換的性質(zhì)六、初值定理和終值定理初值定理適用于右邊序列，即適用于n<M(M為整數(shù))時(shí)f(n)=0的序列。它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。初值定理：如果序列在n<M時(shí)，f(k)=0，且

f(n)←→F(z)，

<

z

<∞

則序列的初值對(duì)因果序列f(n)，186.2z變換的性質(zhì)證明：兩邊乘zM得zMF(z)=f(M)+f(M+1)z-1+f(M+2)z-2+…196.2z變換的性質(zhì)終值定理：終值定理適用于右邊序列，用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。如果序列在n<M時(shí)，f(n)=0，且

f(n)←→F(z)，

<

z

<

且0

<1

則序列的終值含單位圓206.3逆z變換6.3逆z變換求逆z變換的方法有：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法、部分分式展開(kāi)法和反演積分（留數(shù)法）等。一般而言，雙邊序列f(n)可分解為因果序列f1(n)和反因果序列f2(n)兩部分，即f(n)=f2(n)+f1(n)=f(n)U(–n–1)+f(n)U(n)相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分F(z)=F2(z)+F1(z)，<|z|<其中F1(z)=Z[f(n)U(n)]=，|z|>

F2(z)=Z[f(n)U(–n–1)]=，|z|<216.3逆z變換一、部分分式展開(kāi)法式中m≤n（1）F(z)均為單極點(diǎn)，且不為0可展開(kāi)為：其中，系數(shù)Ki用下式求出：22根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(

z

>

)和F2(z)(

z

<

)兩部分，根據(jù)已知的變換對(duì)，如

(n)←→16.3逆z變換即可求出逆變換。236.3逆z變換例6.3.1：已知象函數(shù)其收斂域分別為：（1）

z

>2(2)

z

<1(3)1<

z

<2求相應(yīng)的逆變換。解部分分式展開(kāi)為

246.3逆z變換(1)若

z

>2，則f(n)為因果序列(2)若

z

<1，則f(n)為反因果序列(3)若1<

z

<2，則f(n)為雙邊序列

256.3逆z變換(2)F(z)有重極點(diǎn)不妨設(shè)在z1是r重極點(diǎn)，則其中計(jì)算同（1），而由下式計(jì)算266.4Z域分析6.4z域分析單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。一、差分方程的變換解設(shè)f(n)在n=0時(shí)接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為y(-1),y(-2),…y(-N)。取單邊z變換并整理，可得如下結(jié)果：276.4Z域分析例6.4.1：若某系統(tǒng)的差分方程為

y(n)–y(n–1)–2y(n–2)=f(n)+2f(n–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(n)=U(n)。求系統(tǒng)的yx(n)、yf(n)、y(n)。解：方程取單邊z變換Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F(z)+2z-2F(z)286.4Z域分析296.4Z域分析2.系統(tǒng)函數(shù)的確定（3）差分方程系統(tǒng)函數(shù)二、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1、定義（1）根據(jù)定義確定（2）306.4Z域分析DD3ΣΣf（n）y（n）__x（n）32例：因果系統(tǒng)框圖如圖所示，求（1）系統(tǒng)函數(shù)，（2）差分方程，（3）單位樣值響應(yīng)，（4）單位階躍響應(yīng)解（1）316.4Z域分析（2）差分方程為：（3）h(n)：因?yàn)椋海?）g(n)：所以：設(shè)，則326.4Z域分析所以因此336.4Z域分析（即因果信號(hào)）

的ROC為1.因果性條件:時(shí)域Z域三、因果性、穩(wěn)定性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系346.4Z域分析對(duì)因果系統(tǒng)，該條件等價(jià)為：（絕對(duì)可和）的ROC包含單位圓的所有極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)。2.穩(wěn)定性條件:時(shí)域Z域356.5離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)6.5離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一、序列的傅里葉變換（DTFT）定義：，即序列在單位圓上的ZT即為也稱(chēng)為的頻譜。通常2.逆變換的定義（IDTFT）正、逆變換分別記為：

和，或簡(jiǎn)記為其傅里葉變換。存在的充分條件：序列絕對(duì)可和。366.5離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3、DTFT的特點(diǎn)（1）連續(xù)譜（2）周期性，以2π為周期。二、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義，即令稱(chēng)為幅度相應(yīng)；稱(chēng)為相位響應(yīng)。單位樣值響應(yīng)的傅里葉變換稱(chēng)為離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，記為2.頻響的物理含義376.5離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的輸出為我們通過(guò)考察正弦信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)來(lái)說(shuō)明頻響的物理含義。設(shè)i.e.