平面向量的數(shù)量積 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第五單元平面向量與復(fù)數(shù)第31課時平面向量的數(shù)量積第一部分大單元過關(guān)01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時目標(biāo)】理解平面向量的數(shù)量積，了解平面向量投影的概念以及

投影向量的意義.【考情概述】平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點內(nèi)容之一，主要考

查向量的數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算、向量的模、向量的夾角等，常考查

幾何圖形中向量的數(shù)量積的運算，并以選擇題、填空題的形式進行考查

居多，難度中等偏下，屬于高頻考點.

[0，π]

同向反向垂直2.向量的數(shù)量積已知兩個非零向量

a

與

b

，它們的夾角為θ，則數(shù)量

?

叫做向量

a

與

b

的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作

a

·

b

，即

a

·

b

＝

.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

?.｜

a

｜｜

b

｜

cos

θ

｜

a

｜·｜

b

｜

cos

θ

0

3.向量的投影與投影向量

5.平面向量數(shù)量積的運算律對于向量

a

，

b

，

c

和實數(shù)λ，有（1）

a

·

b

＝

b

·

a

（交換律）；（2）

（λ

a

）·

b

＝λ（

a

·

b

）＝

a

·（λ

b

）（結(jié)合律）；（3）

（

a

＋

b

）·

c

＝

a

·

c

＋

b

·

c

（分配律）.6.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算設(shè)

a

＝（

x

1，

y

1），

b

＝（

x

2，

y

2），

a

與

b

的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜

cos

θ

a

·

b

＝

?

?向量的模｜

a

｜＝

｜

a

｜

＝

?夾角的余弦值

cos

θ＝

cos

θ＝

?

a

⊥

b

的充要條件

a

·

b

＝0

＝0x

1

x

2＋y

1

y

2

x

1

x

2＋

y

1

y

2

幾何表示坐標(biāo)表示｜

a

·

b

｜與｜

a

｜｜

b

｜的關(guān)系｜

a

·

b

｜≤｜

a

｜｜

b

｜｜

x

1

x

2＋

y

1

y

2｜≤

·

｜

x

1

x

2＋

y

1

y

2｜≤

回歸課本1.判斷：（1）

（RA二P21思考改編）已知向量

a

，

b

，

c

，則（

a

·

b

）·

c

＝

a

·（

b

·

c

）.

（

?

）（2）

（RA二P24習(xí)題6.2第20題改編）已知

a

是非零向量，若

a

·

b

＝

a

·

c

，則

b

＝

c

.

（

?

）（3）

（RA二P61復(fù)習(xí)參考題6第14題改編）已知

a

，

b

是非零向量，則

a

⊥

b

?｜

a

＋

b

｜＝｜

a

－

b

｜.

（

√

）（4）

（RA二教參P88本章學(xué)業(yè)水平測試題第2題改編）0·

a

＝0.

（

?

）??√?

A.3B.－3C.

D.－

3.（RA二P61復(fù)習(xí)參考題6第13（4）題）若

e

1，

e

2是夾角為60°的兩個

單位向量，則

a

＝2

e

1＋

e

2與

b

＝－3

e

1＋2

e

2的夾角為（

C

）A.30°B.60°C.120°D.150°DC4.（多選）（RA二教參P88本章學(xué)業(yè)水平測試題第3題改編）對于非零

向量

a

，

b

，下列命題正確的是（

CD

）A.

a

·

b

＝0?

a

∥

b

B.

a

∥

b

?

a

在

b

上的投影向量為－｜

a

｜

e

（

e

是與

b

方向相同的單位向

量）C.

a

⊥

b

?

a

·

b

＝（

a

·

b

）2D.｜

a

·

b

｜≤｜

a

｜｜

b

｜CD5.（RA二P61復(fù)習(xí)參考題6第13（6）題）若平面向量

a

，

b

，

c

兩兩的夾

角相等，且｜

a

｜＝1，｜

b

｜＝1，｜

c

｜＝3，則｜

a

＋

b

＋

c

｜＝

?

?.2

或5

A

.－3

B

.－2

C

.2

D

.3

C（2）

若向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝3，｜

a

－

b

｜＝5，

a

·

b

＝1，則｜

b

｜

＝

?.

（3）

已知向量

a

＝（1，3），

b

＝（3，4）.若（

a

－λ

b

）⊥

b

，則λ

＝

?.

總結(jié)提煉

計算向量數(shù)量積的三種常用方法（1）

定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求

解，即

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜·

cos

θ（θ是

a

與

b

的夾角）.（2）

基底法：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，運用運算律，最

終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進而求解.（3）

坐標(biāo)法：若向量用坐標(biāo)形式表示，則向量的數(shù)量積可運用坐標(biāo)

的運算進行求解.[對點訓(xùn)練]1.（2024·新鄉(xiāng)一模）已知向量

a

＝（1，－1），

b

＝（

m

，2）.若

a

∥

b

，則（

a

－2

b

）·

b

的值為（

D

）A.4B.－2C.－8D.－20解：因為

a

∥

b

，

a

＝（1，－1），

b

＝（

m

，2），所以－

m

＝2，即

m

＝－2.所以（

a

－2

b

）·

b

＝

a

·

b

－2

b

2＝－4－2×8＝－20.2.設(shè)向量

a

，

b

，

c

滿足｜

a

｜＝1，｜

b

｜＝2，

a

·

b

＝0，

c

·（

a

＋

b

－

c

）＝0，則｜

c

｜的最大值為（

A

）A.

B.1＋

C.2D.1DA

考點二

平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考向1

幾何圖形中的數(shù)量積問題

A.－

B.

C.－

D.

A總結(jié)提煉

解決幾何圖形中的數(shù)量積問題，通常有以下方法：基底法、坐標(biāo)

法.一些有特殊角的圖形問題，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系可以輕

松解決.

[對點訓(xùn)練]3.

考向2

向量的夾角例3（1）

已知非零向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝2｜

b

｜，且（

a

－

b

）⊥

b

，則

a

與

b

的夾角為（

B

）A.

B.

C.

D.

B（2）

已知向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝5，｜

b

｜＝6，

a

·

b

＝－6，則

cos

＜

a

，

a

＋

b

＞的值為（

D

）A.－

B.－

C.

D.

D[變式演練]設(shè)非零向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝2｜

b

｜，（2

a

－

b

）⊥（

a

＋3

b

），則

a

與

b

的夾角為（

C

）A.30°B.60°C.