2023-2024學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則復(fù)數(shù)z?(1+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，則它的體積為(

)A.2 B.4 C.6 D.123.已知非零向量OA，OB不共線，且BM=1A.13OA+23OB 4.如圖，飛機(jī)飛行的航線AB和地面目標(biāo)C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測(cè)得目標(biāo)C的俯角為30°，飛行10千米到達(dá)B處，測(cè)得目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)B處與地面目標(biāo)C的距離為(

)

A.5千米 B.52千米 C.4千米 D.5.設(shè)a，b是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb”是“|aA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是梯形，AB/A.l/?/CD B.l/?/BC C.7.如圖所示，O為線段A0A2025外一點(diǎn)，若A0，A1，A2，A3，?，A2025中任意相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，OA0=

A.2025(a+b) B.2026(8.在△ABC中，AB=1，AC=A.132 B.72 C.9.如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是(

)A.(16,56)

B.(10.我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了一個(gè)稱為“牟合方蓋”的立體圖形來推算球的體積，如圖1，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2a的立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋，如圖2，設(shè)平行于水平面且與水平面距離為h的平面為a，記平面a截牟合方蓋所得截面的面積為s，則函數(shù)S=f(h)A. B.

C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部相等，且|z|=2，則z12.已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a=e1?4e2，b=k13.已知四邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則AC?DB=______14.已知圓錐的底面面積為3π，其側(cè)面展開圖的圓心角為3π，則過該圓錐頂點(diǎn)做截面，截面三角形面積最大值為______15.已知單位向量e1，e2的夾角為π2，且a=xe1+ye2(其中x，y∈R16.如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4.E，F(xiàn)，H分別是棱PB，BC，PD的中點(diǎn)，對(duì)于平面EF三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

在銳角△ABC

中，角

A，B，C

所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=7，b=3，7sinB+sinA=218.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且

PA=AD=2，點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PB19.(本小題14分)

在△ABC中，a=2,asinB+3bcosA=0．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)除上述條件外，20.(本小題14分)

如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1上一點(diǎn)，CF：FC1=1：2．

(Ⅰ)求證：B1D1⊥A1F；

(Ⅱ)21.(本小題14分)

n元向量(n?tuplevector)也叫n維向量，是平面向量的推廣，設(shè)n為正整數(shù)，數(shù)集P中的n個(gè)元素構(gòu)成的有序組(a1,a2,?,an)稱為P上的n元向量，其中ai(i=1,2,?,n)為該向量的第i個(gè)分量.n元向量通常用希臘字母α,β,γ等表示，如α=(a1,a2,?,an),P上全體n元向量構(gòu)成的集合記為Pn.對(duì)于α,β∈Pn,n答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?1+i)2024=[(1+i)2]10122.【答案】B

【解析】【分析】本題考查正四棱錐的體積的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想等，是中檔題．

正四棱錐P?ABCD【解答】

解：如圖，正四棱錐P?ABCD中，底面邊長(zhǎng)AB=2，高PO=3.【答案】A

【解析】解：非零向量OA，OB不共線，且BM=13BA，

OM?OB=4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用正弦定理解答實(shí)際應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，在△ABC【解答】

解：由題意知，在△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∠ACB=75°5.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量平行的應(yīng)用進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

根據(jù)向量平行的應(yīng)用，考查充分條件和必要條件的判斷．【解答】

解：若“|a+b|=|a|+|b|”，

則平方得|a|2+2a?b+|b|2

=|a|2+|b|2+2|a|?|b|，

即a?b=|a|?|6.【答案】D

【解析】【分析】

可得AD與CB必相交于點(diǎn)M，則P是面平面PAD和平面PBC的公共點(diǎn)，又平面PAD∩平面PBC=l．

本題考查了空間幾何體中的直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題．

【解答】

解：∵四棱錐P?ABCD的底面ABCD是梯形，AB/?/CD．

∴A7.【答案】D

【解析】解：因A0，A1，A2，A3，?，A2025中任意相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，

不妨設(shè)A0A2025的中點(diǎn)為A，

則點(diǎn)A也是A1A2024，A2A2023，?，A1012A1013的中點(diǎn)，

則OA0+8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)锳B=1，AC=3，A=60°，

由題意可得AD=12(AB+AC)，兩邊平方可得AD2=14(AB2+A9.【答案】A

【解析】解：如圖，正方體ABCD?EFGH，若要使液面形狀不可能為三角形，

則平面EHD平行于水平面放置時(shí)，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC，

若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動(dòng)正方體，液面形狀都不可能為三角形，

設(shè)液面的體積為V，而VG?EHD<V<V正方體?VB?A10.【答案】D

【解析】【分析】首先由圖1得到正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”內(nèi)切球，由圖2可知截面均為正方形，此正方形是平面截內(nèi)切球的截面圓的外接正方形，由此計(jì)算得到函數(shù)解析式，判斷選項(xiàng)即可．

本題考查了函數(shù)圖象的理解和應(yīng)用，主要考查了正方體的內(nèi)切球以及其截面圓的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．【解答】

解：由圖1可得，正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”內(nèi)切球，

用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，

并且此正方形是平面截內(nèi)切球的截面圓的外接正方形，

內(nèi)切球的半徑為a，設(shè)截面圓的半徑為r，

則有(a?h)2+r2=a2，解得r2=?h2+2a11.【答案】1+i或【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部相等，

所以設(shè)z=a+ai，a∈R，

又|z|=2，所以a2+a2=12.【答案】?1【解析】解：由向量e1，e2不共線，得a≠0，

由向量a=e1?4e2與b=ke1+2e213.【答案】7

【解析】解：以AC的連線為x軸，

過B點(diǎn)且垂直于AC的直線

為y軸，

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：

A(?4,0)，C(3,0)，

D(?1,?2)，B(0,2)，

AC=(7,0),DB14.【答案】2

【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l，

則底面圓面積為πr2=3π，解得r=3；

其側(cè)面展開圖的圓心角為2πrl=23πl(wèi)=3π，解得l=2；

所以軸截面三角形的頂角為2α，其中15.【答案】1

2【解析】解：當(dāng)x=y=1時(shí)，則a=e1+e2，

則a?e1=(e1+e2)?e1=e12+e1?e2=16.【答案】②③【解析】【分析】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，空間幾何體的截面問題，屬于中檔題．

根據(jù)給定條件，作出平面EFH截四棱錐P【解答】

解：在四棱錐P?ABCD中，PA=AB=4，取CD中點(diǎn)G，連接FG，GH，BD，AC，如圖，

因底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，BC，PD的中點(diǎn)，

則EH/?/BD/?/FG，EF//PC//GH，EFGH是平行四邊形，

令FG∩AC=J，有CJ=14AC，在PA上取點(diǎn)I，使PI=14PA，連接EI,HI,JI，

則JI//PC//EF，點(diǎn)J∈平面EFH，有JI?平面EFH，點(diǎn)I∈平面EFH，EI,HI?平面EFH，

因此五邊形EFGHI是平面EFH截四棱錐P?ABCD所得的截面多邊形，17.【答案】解：(Ⅰ)銳角△ABC中，由條件利用正弦定理可得7sinA=3sinB，∴7sinB=3sinA，

再根據(jù)7sinB+sinA=2【解析】(Ⅰ)銳角△ABC中，由條件利用正弦定理求得7sinB=3sinA，再根據(jù)7sinB+s18.【答案】(Ⅰ)證明：連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

如圖示：

∵O是正方形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，∴O為BD的中點(diǎn)，

由已知E為線段PD的中點(diǎn)，∵PB//OE，

又OE?平面ACE，PB?平面ACE，

∴PB/?/平面ACE；

(Ⅱ)證明：∵PA=AD，E為線段PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，

∵PA⊥平面AB【解析】(Ⅰ)連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE.可得PB/?/OE，再由線面平行的判定可得PB/?/平面ACE；

(Ⅱ)由PA=AD，E為線段PD的中點(diǎn)，得AE19.【答案】解：(Ⅰ)asinB+3bcosA=0，

由正弦定理可得sinAsinB+3sinBcosA=0，

因?yàn)閟inB>0，所以tanA=?3，

又因?yàn)锳∈(0,π)，

所以A=2π3；

(Ⅱ)若選①，則C=π?A?B=π?2π3?π4=π12，

所以sinC=sinπ12=sin(π3?π【解析】(Ⅰ)由正弦定理可得tanA的值，再由角A的范圍，可得角A的大??；

(Ⅱ)若選①，可得角C的大小，進(jìn)而求出sinC的值；若選②，由大邊對(duì)大角，可得該三角形不存在；若選③，由正弦定理可得角B的大小，進(jìn)而求出角C的大小，再求出sinC的值；20.【答案】證明：(Ⅰ)連結(jié)A1C1，∵正方體ABCD?A1B1C1D1中，A1B1C1D1是正方形，

∴B1D1⊥A1C1，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1，

∴CC1⊥B1D1，

又CC1∩A1C1=C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，

∵A1F?面A1C1C，

∴B1D1⊥A1F.

解：(Ⅱ)當(dāng)AE：EB=1：2時(shí)，直線A1F⊥平面D1B1E.

證明如下：

過點(diǎn)F在平面BC