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6.3.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解基底的含義,理解并掌握平面向量基本定理,會(huì)用基底表示平面內(nèi)任一向量.直觀想象2.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標(biāo)表示.邏輯推理3.理解向量坐標(biāo)的概念,掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算4理解用坐標(biāo)表示兩向量共線的條件.?dāng)?shù)學(xué)抽象5.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算導(dǎo)學(xué)·課前自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1向量平面向量基本定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底若向量e1,e2不共線,則{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底【名師點(diǎn)睛】平面向量基本定理的關(guān)注點(diǎn)①、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量;②該平面內(nèi)的任意向量都可用、線性表示,且這種表示是唯一的;③對(duì)基底的選取不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為一組基底;④定理的證明,課本中是用作圖法證明了它的存在性,又用反證法證明了唯一性.知識(shí)點(diǎn)2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(1)平面向量的正交分解:把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.(2)平面向量的坐標(biāo)表示:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i、j,取{i、j}作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj.我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),a=(x,y)叫做向量的坐標(biāo)表示.顯然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).【名師點(diǎn)睛】點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)1.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有區(qū)別,當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量坐標(biāo)才與其終點(diǎn)的坐標(biāo)相等.如:點(diǎn)A的位置向量的坐標(biāo)(x,y),也就是點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y);反之,點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也是點(diǎn)A相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo);2.符號(hào)(x,y)在直角坐標(biāo)系中有雙重意義,它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn),又可以表示一個(gè)向量,為了加以區(qū)分,在敘述中,就常說(shuō)點(diǎn)(x,y),或向量(x,y).3.給定一個(gè)向量,它的坐標(biāo)是惟一的,給定一對(duì)實(shí)數(shù),由于向量可以平移,以這對(duì)實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無(wú)窮多個(gè).4.兩個(gè)向量相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相同.知識(shí)點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及中點(diǎn)公式1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則有:加法a+b=(x1+x2,y1+y2)減法a-b=(x1-x2,y1-y2)數(shù)乘λa=(λx1,λy1)重要結(jié)論已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1)2.中點(diǎn)公式設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A,B,則其中點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)計(jì)算公式為:,.【名師點(diǎn)睛】幾點(diǎn)說(shuō)明(1)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān),只與其相對(duì)位置有關(guān).若=,則將任意平移后其坐標(biāo)仍為.(2)通過(guò)平面直角坐標(biāo)系,可以將平面內(nèi)任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示;反過(guò)來(lái),任一有序?qū)崝?shù)對(duì)就表示一個(gè)向量.也就是說(shuō),一個(gè)平面向量就是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì).這樣就可以把許多幾何問(wèn)題代數(shù)化.(3)兩向量的坐標(biāo)相同時(shí),兩個(gè)向量相等,但是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同,如A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6),則,,顯然,但A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)卻不相同.知識(shí)點(diǎn)4平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)如果用坐標(biāo)表示,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0)共線的充要條件是x1y2-x2y1=0時(shí).知識(shí)點(diǎn)5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2向量垂直a⊥b?x1x2+y1y2=02.向量模的公式:設(shè)a=(x1,y1),則|a|=.3.兩點(diǎn)間的距離公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=.4.向量的夾角公式:設(shè)兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b夾角為θ,則cosθ==.【名師點(diǎn)睛】對(duì)兩個(gè)向量數(shù)量積的理解1.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.2.兩個(gè)向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).3.引入坐標(biāo)后,實(shí)現(xiàn)了向量的數(shù)量積的運(yùn)算與兩向量的坐標(biāo)的運(yùn)算的轉(zhuǎn)化,從而將它們聯(lián)系起來(lái).【思考交流】【思考交流】當(dāng)a與b是非坐標(biāo)形式時(shí),如何求a與b的夾角?如果a與b是坐標(biāo)形式時(shí),又如何求a與b的夾角?【提示】(1)當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí),求a與b的夾角,需求出a·b,|a|和|b|或直接得出它們之間的關(guān)系.(2)若a,b是坐標(biāo)形式,則可直接利用公式cosθ=求解.自主測(cè)評(píng)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量.()(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)且b≠0,則=.()(3)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0.()【答案】(1)√(2)×(3)×2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則向量的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,-\f(1,2)))C.(-8,1)D.(8,1)【解析】=-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),=(-4,).【答案】A3.如圖所示,向量可用向量e1,e2表示為_(kāi)_______.【解析】由圖可知,=4e1+3e2.【答案】4e1+3e24.已知a=(-3,2),b=(6,y),且a∥b,則y=________.【解析】∵a∥b,∴=,解得y=-4.【答案】-45.已知a=(2,-1),b=(2,3),則a·b=________,|a+b|=________.【解析】a·b=2×2+(-1)×3=1,a+b=(4,2),|a+b|==2.【答案】12探究·課堂互動(dòng)研討考點(diǎn)1用基底表示向量【方法點(diǎn)撥】用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型”(1)依據(jù):①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則;②向量減法的幾何意義;③數(shù)乘向量的幾何意義.(2)模型:【例1】(1)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的邊BC,CA,AB上的中點(diǎn),且=a,=b,給出下列結(jié)論:①=-a-b;②=a+b;③=-a+b;④=a.其中正確的結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______.(2)如圖所示,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F(xiàn)分別是DC,AB的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,試用a,b表示,,.【思路點(diǎn)撥】用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則.【解析】(1)如圖,=+=-b+=-b-a,①正確;=+=a+b,②正確;=+=-b-a,=+=b+(-b-a)=b-a,③正確;④==-a,④不正確.【答案】①②③(2)因?yàn)镈C∥AB,AB=2DC,E,F(xiàn)分別是DC,AB的中點(diǎn),所以==a,===b.=++=--+=-×b-a+b=b-a.【變式訓(xùn)練1】在△ABC中,=,EF∥BC,EF交AC于F,設(shè)=a,=b,則等于()A.-a+b B.a(chǎn)-bC.a(chǎn)-b D.a(chǎn)+b【解析】∵=,∴=-eq\f(4,5).又∵EF∥BC,∴==(-),∴=+=-+(-)=-=-a+b.【答案】A考點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法1若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.2若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.3向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.【例2】(1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),則a=________,b=________.(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及的坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】(1)用加減消元法求a,b的坐標(biāo).(2)法一:設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo),用向量相等的坐標(biāo)表示列方程求值.法二:用向量線性運(yùn)算的幾何意義直接計(jì)算,的坐標(biāo).【解析】(1)由a+b=(1,3),a-b=(5,7),所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).【答案】(3,5)(-2,-2)(2)法一:(待定系數(shù)法)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得eq\o(CA,\s\up8(→))=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以=3=3(1,8)=(3,24),=2=2(6,3)=(12,6).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20;=(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2),=(9,2)-(0,20)=(9,-18).法二:(幾何意義法)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則由=3,=2,可得-=3(-),-=2(-),從而=3-2,=2-,所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),即點(diǎn)M(0,20),N(9,2),故=(9,2)-(0,20)=(9,-18).【變式訓(xùn)練2】若A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求+2,-的坐標(biāo).【解析】∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),∴+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),-=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).考點(diǎn)3平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)1進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算,前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì),解題時(shí)通常有兩條途徑:一是先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi),再依據(jù)已知計(jì)算.2對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目,只需把握?qǐng)D形的特征,并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.【例3】(1)如圖所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若·=,則·的值是________.(2)已知a與b同向,b=(1,2),a·b=10.①求a的坐標(biāo);②若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).可設(shè)F(x,2),因?yàn)椤ぃ?,0)·(x,2)=x=eq\r(2),所以x=1,所以·=(,1)·(1-,2)=.【答案】(2)①設(shè)a=λb=(λ,2λ)(λ>0),則有a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).②∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,∴a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).【變式訓(xùn)練3】(1)設(shè)向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),則向量(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11(2)已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,滿(mǎn)足a·c=2,b·c=5,則向量c=________.【解析】(1)依題意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3.(2)設(shè)c=(x,y),因?yàn)閍·c=2,b·c=5,所以解得所以c=(,).【答案】(1)C(2)(,)考點(diǎn)4向量的夾角與垂直問(wèn)題【例4】(1)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a與b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(-2,+∞) B.(-2,)∪C.(-∞,-2) D.(-2,2)(2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD為BC邊上的高,求||與點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】(1)當(dāng)a與b共線時(shí),2k-1=0,k=,此時(shí)a,b方向相同,夾角為0°,所以要使a與b的夾角為銳角,則有a·b>0且a,b不同向.由a·b=2+k>0得k>-2,且k≠,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-2,)∪,選B.【答案】B(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),則=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2).∵D在直線BC上,即與共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),∴∴x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.①又∵AD⊥BC,∴·=0,即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0,②即2x+y-3=0.由①②可得x=1,y=1.即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),=(-1,2),∴||==,綜上,||=,D(1,1).【互動(dòng)探究】將本例(1)中的條件“a=(2,1)”改為“a=(-2,1)”“銳角”改為“鈍角”,如何求實(shí)數(shù)k的取值范圍?【解析】當(dāng)a與b共線時(shí),-2k-1=0,k=-,此時(shí)a與b方向相反,夾角為180°,所以要使a與b的夾角為鈍角,則有a·b<0且a與b不反向.由a·b=-2+k<0得k<2.由a與b不反向得k≠-,所以k的取值范圍是∪(-,2).反饋·課末達(dá)標(biāo)練習(xí)1.已知平行四邊形ABCD,則下列各組向量中,是該平面內(nèi)所有向量基底的是()A., B.,C., D.,【解析】由于,不共線,所以是一組基底.【答案】D2.若向量a=(,1),b=(0,-2),則與a+2b共線的向量可以是()A.(,-1) B.(-1,-)C.(-,-1) D.(-1,)【解析】因?yàn)閍+2b=(eq\r(3),-3)=-eq\r(3)(-1,),所以向量a+2b與(-1,)是共線向量.故選D.【答案】D3.已知a=(3,-1),b=(1,-2),則a與b的夾角為()A.B.C.D.【解析】a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|==,|b|==,設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ===.又0≤θ≤π,∴θ=.【答案】B4.設(shè)a=(2,4),b=(1,1),若b⊥(a+mb),則實(shí)數(shù)m=________.【解析】a+mb=(2+m,4+m),∵b⊥(a+mb),∴(2+m)×1+(4+m)×1=0,得m=-3.【答案】-3.5.已知△ABC中,D為BC的中點(diǎn),E,F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn),若=a,=b,用a,b表示,,.【解析】=+=+eq\f(1,2)=a+(b-a)=a+b;=+=+eq\f(1,3)=a+(b-a)=a+b;=+=+=a+(b-a)=a+b.課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)(一)【基礎(chǔ)鞏固】1.若e1,e2是平面內(nèi)的一組基底,則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2【解析】e1+e2與e1-e2不共線,可以作為平面向量的基底,另外三組向量都共線,不能作為基底.【答案】D2.已知M(3,-2),N(-5,-1)且=,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(-8,1)B.(1,)C.(-1,-)D.(8,-1)【解析】因?yàn)椋?,所以-?-),=+=(3,-2)+(-5,-1)=(-1,-),即點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,-).【答案】C3.已知a-b=(1,2),a+b=(4,-10),則a等于()A.(-2,-2)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)【解析】由已知得2a-b=(2,4),a+b=(4,-10),所以3a=(6,-6),a=(2,-2).【答案】D4.已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+sinθ),且a∥b,則銳角θ等于()A.30°B.45°C60°D.75°【解析】由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)-=0,即cosθ=±,而θ是銳角,故θ=45°.【答案】B5.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b與a-3b垂直,則k的值為_(kāi)_______.【解析】ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).又ka+b與a-3b垂直,故(ka+b)·(a-3b)=0,即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,得k=19.【答案】196.已知向量=(2,2),=(4,1),在x軸上存在一點(diǎn)P使·有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0),則=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,當(dāng)x=3時(shí)·取得最小值,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0).【答案】(3,0)7.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)證明:a,b可以作為一組基底;(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)若a,b共線,則存在λ∈R,使a=λb,則e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共線,得?所以λ不存在,故a與b不共線,可以作為一組基底.(2)設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,所以?所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,所以?故所求λ,μ的值分別為3和1.8.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)求a+3b的坐標(biāo).(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí),ka-b與a+3b平行,平行時(shí)它們是同向還是反向?【解析】(1)因?yàn)閍=(1,0),b=(2,1).所以a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3).(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3),因?yàn)閗a-b與a+3b平行,所以3(k-2)+7=0,解得k=-,所以ka-b=(-,-1),a+3b=(7,3),即k=-時(shí),ka-b與a+3b平行,方向相反.【能力提升】1.若向量a=(-1,x)與b=(-x,2)共線且方向相同,則x的值為()A.eq\r(2)B.-eq\r(2)C.2D.-2【解析】由a∥b得-x2+2=0,得x=±.當(dāng)x=-時(shí),a與b方向相反.【解析】A2.已知點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若=+m,且點(diǎn)P在y軸上,則m=()A.-2B.C.-D.2【解析】設(shè)P(x,y),由題意=m,∴∴P(-5m+1,m+2),又點(diǎn)P在y軸上,∴-5m+1=0,m=.【答案】B3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b與b垂直,則|a|等于()A.1B.eq\r(2)C.2D.4【解析】∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,∴n2=3,∴|a|==2.【答案】C4.已知O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=+λ(λ∈[0,+∞)),則點(diǎn)P
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