考研數(shù)學(xué)假期作業(yè)八數(shù)一專(zhuān)場(chǎng)多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用與傅里葉級(jí)數(shù)(數(shù)一必做15題-附詳解)

考研數(shù)學(xué)假期作業(yè)數(shù)一專(zhuān)場(chǎng)多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用與傅里葉級(jí)數(shù)（必做15題，附詳解）1.求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.2.求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.3.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程.4.求曲面與平面平行的切平面方程.5.求函數(shù)在點(diǎn)沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù).6.求函數(shù)在點(diǎn)處沿指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù).7.求.8.設(shè)，在處函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)最大，并求此最大值.9.設(shè)則其以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂于。10.設(shè)，其中，則等于（C）（A）（B）(C)(D)11.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達(dá)式為將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù).12.將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)13.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達(dá)式為f(x)x將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)14.將函數(shù)f(x)x1(0x)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)15.設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù)它在[22)上的表達(dá)式為(常數(shù)k0)將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)考研數(shù)學(xué)假期作業(yè)數(shù)一專(zhuān)場(chǎng)多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用與傅里葉級(jí)數(shù)（必做15題，附詳解）1.求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.分析先求切點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的參數(shù)，從而求出切向量，再寫(xiě)出切線及法平面方程解因?yàn)槎c(diǎn)(111)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)所以于是切線方程為法平面方程為即2.求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.分析求切向量，從而寫(xiě)出切線及法平面方程解將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得解方程組得.在點(diǎn)(1-21)處從而T=(10-1).所求切線方程為法平面方程為(x-1)+0(y+2)-(z-1)=0即x-z=0.3.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程.分析寫(xiě)出的表達(dá)式，求出法向量，從而寫(xiě)出切平面及法線方程解，n==所以在點(diǎn)處的切平面方程為即法線方程為.4.求曲面與平面平行的切平面方程.分析利用切平面的法向量與已知平面的法向量平行及曲面方程得到切點(diǎn)及法向量，從而得到切平面方程解曲面的切平面的法向量為，平面的法向量為，切平面的法向量與已知平面的法向量平行即所以切點(diǎn)為所求切平面方程為5.求函數(shù)在點(diǎn)沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù).分析求出偏導(dǎo)數(shù)及方向余弦代入方向?qū)?shù)公式解這里方向l即向量的方向與l同向的單位向量為.因?yàn)楹瘮?shù)可微分且所以所求方向?qū)?shù)為.6.求函數(shù)在點(diǎn)處沿指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù).分析求出偏導(dǎo)數(shù)及方向余弦代入方向?qū)?shù)公式解方向l即向量，，7.求.分析求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)代入梯度公式即得所求梯度解這里.因?yàn)樗?8.設(shè)，在處函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)最大，并求此最大值.分析梯度的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向梯度的模就等于方向?qū)?shù)的最大值解，函數(shù)沿方向的方向?qū)?shù)最大，最大值為9.設(shè)則其以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂于。分析：由狄利克雷定理知，函數(shù)在區(qū)間上的傅立葉級(jí)數(shù)，在處，其和函數(shù)的值。所以10.設(shè)，其中，則等于（C）（A）（B）(C)(D)解：，其中是函數(shù)在半?yún)^(qū)間上的余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式，展開(kāi)式的周期為2，且和函數(shù)（）為偶函數(shù)，故。又點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，由狄利克雷定理知。故11.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達(dá)式為將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù).分析利用將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的方法直接展開(kāi)解所給函數(shù)滿(mǎn)足收斂定理的條件它在點(diǎn)處不連續(xù)因此f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x(2k1)處收斂于在連續(xù)點(diǎn)x(x(2k1))處級(jí)數(shù)收斂于f(x)傅里葉系數(shù)計(jì)算如下(n12)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(xx3)12.將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)12.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達(dá)式為f(x)x將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)分析直接展開(kāi)解首先所給函數(shù)滿(mǎn)足收斂定理的條件它在點(diǎn)x(2k1)(k012)不連續(xù)因此f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x(2k1)收斂于f(x)在點(diǎn)x(2k1)(k012)收斂于其次若不計(jì)x(2k1)(k012)則f(x)是周期為2的奇函數(shù)于是an0(n012)而(n123)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(xx3)13.將函數(shù)f(x)x1(0x)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)分析分別進(jìn)行奇偶延拓再展開(kāi)解先求正弦級(jí)數(shù)為此對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(0x)在端點(diǎn)x0及x處級(jí)數(shù)的和顯然為零它不代表原來(lái)函數(shù)f(x)的值再求余弦級(jí)數(shù)為此對(duì)f(x)進(jìn)