2023屆高考數(shù)學一輪復習測試調研卷（新高考Ⅱ卷地區(qū)使用）

2023屆高考數(shù)學一輪復習測試調研卷

(新高考n卷地區(qū)使用)

【考試時間：120分鐘】

【滿分：150分】

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合M={乂-4<x<2}，N={x|》2_》_6<0},則Mp|N=()

A.{%|-4<x<3}B.{x|—4<x<-2}C.{%|—2<x<2}D.{x\2<x<3}

2.若z=l+2i+i3,則|z|=()

A.OB.lC.V2D.2

3.程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第

每人多十七，要將第八數(shù)來言，務要分明依次弟，孝和休惹外人傳意思為：

996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，之后每人依次多17

斤，直到第八個孩子為止，分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳.則

第八個孩子分得棉花的斤數(shù)為()

A.65B.176C.183D.184

4.已知非零向量a,4滿足|?=2|川，且(a-Z>)_Lb,則二與b的夾角為()

A.-B.-C.—D.—

6336

5.為慶祝中國共產黨成立100周年，樹人中學舉行“唱紅歌”比賽.現(xiàn)有甲、

乙、丙、丁共4人進入決賽，則甲必須在第一或第二個出場，且丁不能最后一

個出場的方法有()

A.6種B.8種C.20種D.24種

6.已知久夕為銳角，Ktana=2,cos(cz+^)=,則tan(a-/?)=()

c1

7.已知三棱錐P-ABC的外接球半徑為R,且△ABC外接圓的面積為12兀，若三

棱錐P-ABC體積的最大值為券，則該球的體積為()

人1024K口2048TI「512?！?56兀

A.-------D.---------C?--------L).------

3333

8.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且函數(shù)y=/(x-l)的圖象關于點(1,0)對

稱，對于任意的x,總有/(%-2)=/(%+2)成立，當xe(0,2)時，

f(x)=X2-2x+\,函數(shù)g(x)=w%2+x(XGR),對任意xeR,存在feR,使得

〃x)>g⑺成立，則滿足條件的實數(shù)〃，構成的集合為()

A.</?J|m<—\B.<rn\m<—\

14f14f

C.|/n|0<m<D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選

項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對

的得2分。

9.已知函數(shù)/。)=$皿2*+2852工-1,下列四個結論正確的是()

A.函數(shù)/(幻在區(qū)間等國上是增函數(shù)

OO

B.點（手,0

是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心

C.函數(shù))(為的圖象可以由函數(shù)y=0sin2x的圖象向左平移巴得到

4

D.若xe0弓，則/(x)的值域為［0,血］

10.在平面直角坐標系xOy中，點"(4,4)在拋物線y2=2px(p>0)上，拋物線的

焦點為F,延長網產與拋物線相交于點N,則下列結論正確的是()

A.拋物線的準線方程為x=T

B.|MN|=j

7

C./XOMN的面積為2

2

D.\MF\+\NF\=^MF\-\NF\

11.設a>0,b>0,則下列不等式一定成立的是()

nlab

A.a+/7H—,—>2^^2JD.---------->y[ah

y/aba+b

「a2+b'、,

C.-=^->a+bD.(?+/?)>4

y/ab

12.已知四棱雉尸-ABC。的頂點都在球心為0的球面上，且PA_L平面ABCD,

底面A8CQ為矩形，PA=AB=2,AD=4,設E,F分別是P8,的中點,

則（）.

A.平面AEF〃平面PCD

B.四棱錐P-ABC。的外接球的半徑為卡

C.P,B,。三點到平面AE尸的距離相等

D.平面AM截球0所得的截面面積為也

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某市一次高三年級數(shù)學統(tǒng)測，經抽樣分析，成績X近似服從正態(tài)分布

N（84,（y2）,且P（78<X484）=0.3.該市某校有400人參加此次統(tǒng)測，估計該校

數(shù)學成責不低于90分的人數(shù)為.

14.已知函數(shù)/（M=爐+2比'-1,則函數(shù)/（幻在點（0,/（0））處的切線方程為

15.iSmeR，直線（：mx-y-3m+l=0與直線"：x+my-3根一1=0相交于點

P，點Q是圓C：(x+l)2+(y+l)2=2上的一個動點，則|PQ|的最小值為

22

16.已知橢圓C:?+q=l的左、右焦點分別為片，居，左頂點為A，過點

〃(加,0)(加＞2)作直線/與橢圓C交于不同的兩點P,Q,且

女然=kpF、,kpA+kpM=°，則"？=----------

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟。

17.(10分)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，q=l,S3=9.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若a=(T)"?《，求數(shù)列也｝的前n項和T?.

18.(12分)設△ABC的內角A,的對邊分別為。也c,已知

a2—2"cosC=2b2cosB+c2.

⑴求角B.

(2)若b=2G,G(sinA+sinC)=2sin5,求△ABC的面積.

19.(12分)某市為爭創(chuàng)“文明城市”，現(xiàn)對城市的主要路口進行“文明騎車”

的道路監(jiān)管，為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同地區(qū)隨機抽取了200

名市民對該項目進行評分，繪制如下頻率分布直方圖.

⑴求頻率分布直方圖中?的值，并計算這200名市民評分的平均值；

（2）用頻率作為概率的估計值，現(xiàn)從該城市市民中隨機抽取4人進一步了解情

況，用X表示抽到的評分在90分以上的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）.

20.（12分）已知四棱柱ABC?！狝gGR的底面為菱形，48=441=2,

N5AO=W，ACryBD=O,4。_1平面48￡>,\B=A[D.

⑴證明：8cp平面48。；

（2）求二面角B-AA.-D的余弦值.

21.（12分）已知雙曲線C:5-與=1（。>0力>0）的左、右焦點分別為耳,工，

ab

斜率為-3的直線/與雙曲線。交于A,8兩點，點M（4,-2行）在雙曲線。上，且

|吟卜眼段=24.

⑴求△加片鳥的面積.

⑵若9+。笈=0（。為坐標原點），點N（3,l）,記直線的斜率分別為

kt,k2,問：匕42是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22.（12分）已知函數(shù)/（X）=ae"—2工一2.

（1）求證：當a>2時，/（%）>0；

（2）設/（x）的兩個零點分別為和々，且々>王，求]。一小_爐）的取值

范圍.

答案以及解析

1.答案：c

解析:由小_%_6<0,得(X—3)(x+2)<0,解得_2<x<3，即

N={jd-2(尤<3}，所以MC|N={H-2<X<2}.

2.答案：C

解析：因為z=l+2i+i3=l+2i—i=l+i,所以|z|=jA+f=&故選c.

3.答案：D

解析：根據(jù)題意可得每個孩子分得棉花的斤數(shù)構成一個等差數(shù)列{q},其中公

差。=17,項數(shù)〃=8,前8項和$8=996.由等差數(shù)列的前〃項和公式可得

8q+三xl7=996,解得囚=65,所以%=65+(8—1)x17=184.

4.答案：B

解析：設向量。與?的夾角為9,則由得

(a-b)b=ab-b1=|?II*|COS6>-|*|2=2|6|2cos0-|*|2=O,所以cos6=,，所以

2

eg故選B.

5.答案：B

解析：由題意知，當甲第一個出場時，不同演講的方法有C；A；=4(種)；

當甲第二個出場時，不同演講方法有C；A；=4(種)，

所以所求的不同演講方法有4+4=8(種)，故選B.

6.答案：A

解析：因為a,夕為銳角，所以a+￡w(0,7t).

由cos(a+/?)=-可得sin(a+尸)=-71-cos2(a+/?)=,

則tan(a+￡)=一工，又tan2a=2tanj,

3l-tan2a3

故tan(a-/?)=tan[2<z-(a+/7)]=Jan2a—tan(a+b)故選A.

1+tan2atan(a+J3)13

7.答案：D

解析：如圖，設△ABC外接圓的半徑為r,已知△ABC外接圓的面積為12兀,

故"2=12兀，所以r=AQ=26，當△ABC為正三角形(△ABC的面積最

大)，且尸，0(球心)，。|(ZVIBC外接圓圓心)三點共線時，三棱錐的體

積最大.在△的(;中，由正弦定理知———=半=2「=4百，所以

sinZACBV3

AB=BC^AC=6,所以=!ABBC-sin四=96.設三棱錐P-ABC的外

ZA/iDL23

接球半徑為R,因為K>YBc=gs2Bc?(R+Oq)=36(A+OOj=^R，所以

oq=(/?.在RQOO|A中，由7?2=00；+(26)2,得R2=16,R=4,所以該

解析：由函數(shù)y=/(x-l)的圖象關于點(1,0)對稱知函數(shù)y=/(x)的圖象關于

原點對稱，即函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，由任意的x,總有/(x-2)=/(x+2)成

立，即/(x+4)=/(x)恒成立，得函數(shù)y=『(x)的周期是4,又當尤.0,2)時,

f(x)=x2-2x+l,所以當xe(O,2)時，0</(x)<l,而/(x)是奇函數(shù)，所以

當xe(—2,0)時，-l</(x)<0,又〃一2)=〃2),/(—2)=-"2),從而得

/(-2)=/(2)=/(0)=0,即當無?-2,2)時，-1</(X)<1,由函數(shù)y=/(x)

的周期是4,得函數(shù)>=/(%)在R上的值域是Gl，1)，因為對任意xeR,存在

feR,使得〃x)>g⑺成立，所以g(x)W-l,即+xK-l在R上有解，當

時，取％=-2,則4m-24一2<-1成立，即，“W0,符合題意，當機>0

時，如2+x+i4。在R上有解，必有八=1一4〃此0,解得機4工，則

4

0<m<i,符合題意.綜上可得機4工，所以滿足條件的實數(shù)加構成的集合為

44

｛加|〃?<；).故選A.

9.答案：AB

解析：本題考查三角變換及函數(shù)y=Asin(ox+o)的圖象性質.

/(x)=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=V2sin|2x+—|,若xe，貝1]

2%+撲nn因此函數(shù)/(x)在區(qū)間［-笥，/上是增函數(shù)，A項正確;

252

因此點(蓑,0

=5/2sin兀=0,是函數(shù)/(%)圖象的一個

對稱中心，B項正確；由函數(shù)y=0sin2x的圖象向左平移:得到

y=>/2sin2(x+-^j=>/2cos2x,因此由函數(shù)"岳g的圖象向左平移;

不能得到函數(shù)/(X)的圖象，C項錯誤；若xe0看,則+苧］,

則sin(2x+：)e-與,1，因此/(幻的值域為［T0］，D項不正確.

10.答案：AD

解析：?.?點”(4,4)在拋物線丁2=2內(〃>0)上，；.42=2px4np=2,

二丁2=4%，焦點尸為(1,0),準線為直線x=-l,A正確.??,A/(4,4),

4-044

—=-?故直線MF的方程為y=-(x-l).聯(lián)立

4—133

y=4羽i/1

<4=>4/-17x+4=0=>x=—或x=4,?/x=4,N\-,-l

y=§(x-l)4w'(4

.?.|MF|=4+^=5,|7VF|=-+-^=-,.-.|A/7V|=5+-=—,B錯誤.

242444

25

\MF\+\NF\^MN\=-=\MF\-\NF\,D正確.△OMN的面積為

4

g|Ob1(yM—yN)=gxlx5=|,C錯誤.故選AD.

解析：因為a>0,Z;>0,所以。+/?+，=22血，當且僅當〃=人

yjabyjah

且2瘋=人，即.=0=立時取等號，故A一定成立；

yjab2

因為a+62而>0,所以萼4竿=而，當且僅當時取等號，故

a+blyjab

B不一定成立；

因為四?竿=而，當且僅當。=匕時取等號，

a+b2yjab

所以匕龍〕"b)fb=a+b—辿一幾=贏，當且僅當a=b

a+ba+ba+b

時取等號，所以而,

a+b

所以二,1+/?,故C一定成立；

yfab

因為9+價（工+工]=2+2+@24,當且僅當〃=〃時取等號，故D一定成立.故

\ab）ab

選ACD.

12.答案：BCD

解析：對于A,取線段PC的中點0,連接￡。，OD,則EO//3C,所以

EO//AD,EO=-AD,在梯形ADOE中，AE與。。不平行，若平面AEF〃平

2

面PCD,因為平面AEO￡>n平面A￡F=AE，平面AEOOPl平面PC￡>=OD,

所以AE//OD,這和AE與。。不平行相矛盾，故A錯誤；

對于B,由題意可將該四棱錐補形為一個長方體，易知球心。為長方體的對角

線的中點，即PC的中點，故球0的直徑2/?=。。=」4尸+.2+8。2=2后,

所以??=#,故B正確；

對于C,E為尸8的中點，則P,B兩點到平面AEE的距離相等，同理/為

的中點，則8,C兩點到平面AE尸的距離相等，故C正確；

對于D,設球心到平面AEF的距離為小截面圓的半徑為r,由題意可知，球

心0到平面AEF的距離等于點B到平面AEF的距離，EF="C=^,

2

AE=PAsin45°=V2,AF=y]AB2+BF2=272,因為所？+人后？=人尸2,所以

所，點E到平面ABF的距離為』AP=1,在三棱錐B-A￡尸中，由等體

2

積法可得乙……，嗚亭勿后叫亭23,解得公竽，

所以，=/?2一/=6一3=好，所以截面圓的面積為“2=也，故D正確.故選

333

BCD.

13.答案：80

解析：因為X近似服從正態(tài)分布N(84Q2),且P(78＜X?84)=0.3,

所以P(X290)=1-2x03=02,

所以估計該校數(shù)學成績不低于90分的人數(shù)為4(X)x0.2=80.

14.答案：2x—y—1=0

解析：v/V)=2x+2ev+2xev,/(0)=-1,.??函數(shù)/(x)在點(0,—1)處的切線斜

率攵=尸(0)=2,.??所求的切線方程為丁一(一1)=2。-0),即2x—y—l=0.

15.答案：0

解析：由題意得：4:(工一3)機+(1-y)=0，4：(工一1)+()'-3)m=0,

“恒過定點M(3,l)，4恒過定點N(l,3)，又/j,

點軌跡是以MN為直徑的圓，即(2,2)為圓心，；J(3-明+(1-3)2=貶為

半徑的圓，點軌跡為(x—2/+(y-2)2=2，

?.?圓(％-2『+()，—2)2=2與圓C的圓心距d=J(I+2)2+(]+2)2=3夜＞2心，

二兩圓相離，二歸。|的最小值是兩圓圓心距d減去兩圓半徑之和，

即|PQ1mhi=3y/2-2y/2=y/2-

故答案為：V2.

16.答案：3或5

解析：由題意可知直線/的斜率存在且不為0.

設尸(%,乂)°(%,〉2)，直線/：y=L(x-m)(J-0)，

y=k(x-m),

聯(lián)立方程可得＜fy2消去y,得(3+4公卜2一8左27nx+4女2〃一]2=0,

.T+T=1,

222

所以△=48(3+4-k-mk)>0,x,+x2=：；；、,xtx2=J"

由題意知耳(-1,0),鳥(1,0),%4=kpF、，

所以上=上.,即M石一一)=M一一")，

xx+1x2-1%+1x2-l

得X+&一m(玉_%2)-2"2=0,所以玉一&=-—―T，

兩邊同時平方，得(％-々)2=(%-4X,X2=—也力

-(3+4V)

W4A:2(m2-4)=9@.

由題意得A(—2,0),kPA+kPM=0,

所以直線PA的方程為y=-A(x+2),

'y=-%(x+2),

與橢圓方程聯(lián)立，得fy

---1---=1,

43

消去y得(3+4%2b2+16人+16公—12=0,

16/一12徂6-8G

則-得百=互市-

3+4/

又P在線段AM的垂直平分線上,

”,、］tn—26—8K/口124

所以無=----=——得43=------3②.

23+4公m+2

由①②得利2-8利+15=0,得/”=3或〃2=5.

經檢驗，加=3或加=5都符合題意，所以加=3或m=5.

17.答案：（l）a“=2〃-l.

⑵T--2//+1,.為奇數(shù)，

"=[2",〃為偶數(shù)

解析：（1）設數(shù)列｛%｝的公差為4

則S3=3at+3d=3+3d=9,解得d=2,

故數(shù)列｛a“｝的通項公式為a“=1+2(〃-1)=2〃-1.

-(2〃-1)2,〃為奇數(shù),

(2)由⑴知勿=(―1)”?寸=(-1)"-(2n-I)2

(2〃-1)2,〃為偶數(shù)

當〃為奇數(shù)時，7；=-l+32-52+72-92+.--+(2?-3)2-(2n-l)2

=2x(l+3+5+7+---+2n-3)-(2/j-l)2

=2x(D(l；2〃-3)_(2f2

=-2/+1.

當n為偶數(shù)時，7；=-1+32-52+72-92+..—(2?-3)2+(2n-l)2

=2x(l+3+5+7+,??+2〃—3+2/1—1)

%(1+2〃-1)

=0Zx--------------

2

=2nl.

故T--2〃2+L〃為奇數(shù)，

〃二［2〃2/為偶數(shù).

18.答案：⑴空

3

⑵G

解析：(1)由已知條件及余弦定理，

得儲一+/=COSB+C2.

整理，得如2cos5=—〃，

所以cos8=-L

2

又36(0,兀)，所以B=q-.

(2)由已知條件及正弦定理，

得A/3｛a+c)=2b,

又〃=2>/3,所以a+c=4,

則a2+c2+2ac=16.①

由余弦定理，得余=定+c?-2occos5,

即12=4+/+4.②

由①②，得ac=4.

故S?A8c=gacsinB=；x4x=G.

19.答案：(l)a=0.025；平均分為80.70分.

(2)分布列見解析，數(shù)學期望為1.

解析：(1)由頻率分布直方圖知，

0.035M).()2()+().()14+0.(X)4+().002=0.075,

由10x(0.075+a)=l,解得a=0.025,

45x0.002x10+55x0.004x10+65x0.014x10

+75x0.02x10+85x0.035x10+95x0.025x10=80.70（分）.

⑵評分在90分以上的頻率為0.25,用頻率作為概率的估計值，現(xiàn)從該城市中

隨機抽取4人可以看成二項分布，

X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

P(X=0)=C；

4)⑷256

尸2"叱后嘿

P(X=3)=C：(U圖嗤

p(X=4)=C：

所以X的分布列為:

X01234

8110854121

P

256256256256256

E(X)=4xl=l.

4

20.答案：(1)見解析

⑵-；

解析：(1)連接A4交AR于點Q,連接。Q,易知Q為A片的中點，0為

AC的中點，.?.在AABC中，OQPLB。,

=2

OQ<=平面A.BD,B[C仁平面ABD,

.?.用。尸平面4BO.

(2)連接A.O-AO±平面A.BD,:.AOV\O,

???48=4。且。為3。的中點，

:.\OYBD,

?.-AO,BDu平面ABC。且AOcBD=O,

AQJ?平面ABCD.

如圖，以。為坐標原點，OA,OB,OA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角

坐標系O-xyz.

易得A(e,0,0),5(0,1,0),1)(0,-1,0),A(0,0,1),

.?.羽=(一百,0,1),AB=(-73,1,0),

設平面AAB的法向量為〃=（x,y,z）,

_,[n-AA.=0,\—y/3x+z=0,

則22.??《廣

[〃.AB=0,[-Kx+y=0,

令x=l,得y=z=G,

同理可得平面A.AD的一個法向量為m=(1,-V3,V3)，

1

機=

/.cos(m.n)-7

wl

結合圖形知，二面角8-為鈍二面角，

???二面角8-AA,-D的余弦值為-

7

21.答案：(1)8a

⑵是;-1

解析:(1)依題意可知，F(xiàn),(-C,O),F2(C,O),則

\MF]\=J(4+c%+(_2夜-0)2=J(4+cy+8,

222

\MF2\=7(4-C)+(-2>/2-0)=7(4-c)+8，

又|斷卜眼周=24,所以"(4+C)2+8.J(4-C)2+8=24,

解得。2=16(。2=0舍去)，又c>0,所以c=4,則|耳周=8,所以VM/詬的面

積S='x8x20=80.

2

\16_J_

⑵由(1)可</'解得/=匕2=8.

a2+Z?2=16,

y22

所以雙曲線C的方程為-—占v=1.

88

設（如％），則磯一孫一%），則《="4'—%'

X,—5~Xj—3

設直線/的方程為y=-3x+〃?，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得

8x2—6〃a+加2+8=0,

由A=(—6根)2-3