模型意識(shí)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐與思考

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同的表現(xiàn)，而“模型意識(shí)”是中小學(xué)階段新增的核心關(guān)鍵詞[1]，凸顯了其在基礎(chǔ)教育中的重要地位。文章嘗試以“鴿巢問題”一課為例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的思考學(xué)習(xí)過程，通過感悟模型意識(shí)、建構(gòu)模型意識(shí)、完善模型意識(shí)、應(yīng)用模型意識(shí)，將知識(shí)間內(nèi)在邏輯聯(lián)系結(jié)構(gòu)化、可視化地呈現(xiàn)出來(lái)，為解答各種同類變型難題提供思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型是指通過對(duì)問題情境進(jìn)行抽象、概括，運(yùn)用形式化的語(yǔ)言或符號(hào)，直觀表達(dá)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，而模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，是形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。培養(yǎng)模型意識(shí)是能夠利用模型解決類似問題的策略及意識(shí)，其本質(zhì)上是對(duì)知識(shí)、方法的遷移應(yīng)用。模型意識(shí)的培育是使學(xué)生深刻體會(huì)并了解到數(shù)學(xué)和客觀世界之間存在著密切聯(lián)系的根本途徑，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有進(jìn)一步深入到“建?！币饬x上，才是一種真正實(shí)際意義上的學(xué)習(xí)。文章結(jié)合人教版六年級(jí)下冊(cè)“鴿巢問題”一課為例，思考如何組織引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng)，建立鴿巢問題模型，應(yīng)用模型意識(shí)，靈活解決各類同型變式題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯分析能力。一、精讀情境，鋪墊孕伏，感悟模型意識(shí)孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！迸d趣，是學(xué)習(xí)的強(qiáng)大動(dòng)力。只有當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感興趣、產(chǎn)生迫切需要的時(shí)候，才會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，積極主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中。[2]通過創(chuàng)設(shè)合適的特定的情境，能引起學(xué)生強(qiáng)烈的興趣，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教學(xué)的本質(zhì)不是手把手教會(huì)學(xué)生知識(shí)，而在于喚醒學(xué)生的興趣，自主學(xué)習(xí)。為了讓學(xué)生對(duì)課堂知識(shí)感興趣，教師可以根據(jù)學(xué)生的年齡及心理特征，結(jié)合他們已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)各種各樣的、適宜的、有趣的導(dǎo)入情境，以情境導(dǎo)入使學(xué)生更早、更快、更愿意進(jìn)入課堂，激發(fā)學(xué)習(xí)愿望，使他們能夠盡快有效地借助周圍熟悉的事物，進(jìn)入最佳的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的狀態(tài)。在本課教學(xué)過程中，教師設(shè)計(jì)了以下情境來(lái)導(dǎo)入新課：請(qǐng)三位學(xué)生和教師一起互動(dòng)玩“老鷹捉小雞”游戲，游戲規(guī)則是：三位學(xué)生當(dāng)“小雞”，老師當(dāng)“老鷹”，只有兩把椅子，規(guī)定2秒的時(shí)間內(nèi)，如果每只小雞都能坐在椅子上，這樣老鷹就捉不到他們，算學(xué)生們贏；如果沒有椅子坐，就要被老鷹捉到，算教師贏。先讓學(xué)生猜一猜誰(shuí)會(huì)贏。創(chuàng)設(shè)這個(gè)情境，并沒有讓學(xué)生馬上得出結(jié)論，而是分三個(gè)層次引導(dǎo)學(xué)生來(lái)解讀情境，理解題意。（一）了解信息，主觀猜測(cè)讓學(xué)生閱讀信息，根據(jù)游戲規(guī)則，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，先猜一猜有可能哪一方會(huì)贏，然后說一說：“你是怎么想的？”大部分的學(xué)生都是憑借經(jīng)驗(yàn)理解，“不管怎么坐，總不可能有人站在那邊不坐等著輸！”所以，大部分學(xué)生的猜想都是學(xué)生會(huì)贏。（二）游戲互動(dòng)，認(rèn)知沖突通過和教師互動(dòng)玩游戲，請(qǐng)出三位學(xué)生當(dāng)“小雞”，老師當(dāng)“老鷹”，給足小雞充足的2秒時(shí)間，讓他們先繞著椅子走一圈，然后坐下來(lái)，很自然地出現(xiàn)了有兩位動(dòng)作比較快的“小雞”最先各自坐到了一把椅子上，眼看椅子坐滿了，最后一只“小雞”先是左右觀望，然后急中生智，直接跑上前與其中一只“小雞”擠著各坐一半的位置。這時(shí)，全班都笑了。（三）觀察發(fā)現(xiàn)，說理揭謎教師直接請(qǐng)一位學(xué)生來(lái)說說：“你為什么笑了？”這位學(xué)生回答道：“我們贏了呀！”教師接著問：“那你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生根據(jù)剛才的游戲互動(dòng)過程解讀分析，得出從最不利的情況考慮，最后這一只“小雞”不可能站著不動(dòng)等著輸，那么就一定會(huì)出現(xiàn)至少有兩只“小雞”得坐在同一把椅子上，“小雞”才能夠贏。在游戲互動(dòng)的過程中，通過模擬實(shí)踐，與學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)“3位同學(xué)，椅子2把怎么夠”相沖突。在“猜測(cè)—實(shí)踐—思考”的過程中逐步理解了“總有”“至少”的含義，借助游戲，立足教學(xué)的起點(diǎn)，喚起學(xué)生的求知欲，讓課堂教學(xué)變得更加有效。采用“讀”游戲引入，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲和探究欲。通過游戲，讓學(xué)生親身經(jīng)歷什么是“最不利”。從“最不利”的角度來(lái)思考問題，體會(huì)到無(wú)論最后一位學(xué)生往哪坐，總有一把椅子得坐兩人，從而理解了“總有”的意思，為后面利用“假設(shè)法”進(jìn)行證明作鋪墊。二、動(dòng)手實(shí)踐，化抽為直，建構(gòu)模型意識(shí)著名心理學(xué)家皮亞杰曾經(jīng)這樣指出：“思維從動(dòng)作開始，切斷了動(dòng)作與思維之間的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展?！庇纱丝梢?，動(dòng)手探究不僅為學(xué)生提供生動(dòng)形象的教學(xué)情境和感性素材，還能培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、動(dòng)手操作能力，學(xué)會(huì)用實(shí)踐探究的方法去解決實(shí)際問題，化抽象為直觀。讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中實(shí)踐，在實(shí)踐中創(chuàng)新。任何知識(shí)與技能，要讓學(xué)生認(rèn)同、理解和掌握，都需要通過學(xué)生自身的內(nèi)化來(lái)實(shí)現(xiàn)。在本節(jié)課中，通過設(shè)計(jì)小組分工合作：（1）擺一擺：把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里，有哪幾種情況？（2）記一記：用畫圖、分解數(shù)或填表格來(lái)正確記錄各種情況。（3）比一比：橫向?qū)Ρ让恳环N擺法，你能得出肯定的結(jié)論是什么？縱向?qū)Ρ雀鞣N擺法，你發(fā)現(xiàn)了什么？（4）把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論記錄下來(lái)，小組內(nèi)交流。匯報(bào)反饋方法：匯報(bào)反饋發(fā)現(xiàn)：橫向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)：生1：3個(gè)筆筒里一定有一個(gè)筆筒里的筆是最多的，有的是4支，有的是3支，有的是2支。生2：一定有一個(gè)筆筒里的筆是最少的，是0支筆。（最少的都是0支，研究沒有意義。）縱向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)：最多的筆筒里最少可以放2支筆。請(qǐng)用一句話概括你的結(jié)論：3個(gè)筆筒里一定有一個(gè)筆筒里的筆是最多的，最多的這個(gè)筆筒里最少可以放2支筆。以上列舉的幾種方法其實(shí)都是用枚舉法，只是枚舉的形式不一樣而已。其中方法四用數(shù)字表示更簡(jiǎn)單、直觀，便于比較，讓人看了一目了然。對(duì)于這幾種方法，學(xué)生匯報(bào)完成之后，教師通過追問：“它們的異同點(diǎn)與優(yōu)缺點(diǎn)是什么？”接著課件演示呈現(xiàn)直觀的操作與記錄方法，根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)著重圈出筆最多的筆筒，讓學(xué)生嘗試正確表述結(jié)論。再接著質(zhì)疑：“誰(shuí)能說說最多的這個(gè)筆筒里筆最少的情況，該怎么分？”學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合，在說的過程中構(gòu)建最不利情況分法的模型，即假設(shè)平均分法，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。通過學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，親歷分的過程，通過觀察對(duì)比，感知結(jié)論的生成過程，積累對(duì)“鴿巢原理”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這既可有效突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，又可直觀地建立“鴿”和“巢”之間關(guān)系的表象，為“假設(shè)法”的引入和理解打下基礎(chǔ)。三、抽絲剝繭，歸納概況，完善模型《新課標(biāo)》中明確指出：“要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并對(duì)其進(jìn)行感悟和應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理和交流?！盵3]這一理念說明了學(xué)生的探究經(jīng)歷和對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑。學(xué)起于思，思源于疑。在教學(xué)中，教師要提供素材啟發(fā)學(xué)生多思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，提出自己的獨(dú)立見解，在逐步分析概括中，靈活構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，完善數(shù)學(xué)模型。片斷一：概括規(guī)律，初步建模。在這節(jié)課中，以學(xué)生熟知的4支筆、3個(gè)筆筒作為操作素材，讓學(xué)生在自主探索中理解“鴿巢原理”，構(gòu)筑直觀空間，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)初步的推理驗(yàn)證過程，培養(yǎng)了邏輯思維能力。那么，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)過說理，從大量的感性認(rèn)識(shí)中逐步抽象出數(shù)學(xué)概念，能夠熟練掌握如何盡快找到最不利情況，也就是假設(shè)法。此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：在假設(shè)法的情況下，用算式又該怎么表示？誰(shuí)能邊說邊用算式表達(dá)呢？重點(diǎn)說清楚商和余數(shù)分別表示什么？之后延伸問題：如果是5支筆放進(jìn)4個(gè)筆筒呢？6支筆放進(jìn)5個(gè)筆筒呢？7支筆放進(jìn)6個(gè)筆筒？……那么100支筆放進(jìn)99個(gè)筆筒呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？初步構(gòu)建鴿巢問題模型。片斷二：變化情境，完善模型。如果把5只鴿子放進(jìn)3個(gè)籠子里，總有一個(gè)籠子里至少有2只鴿子，為什么呢？如果有6只鴿子呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？通過直觀的操作及課件演示，引導(dǎo)學(xué)生理解按最不利的情況，余下兩只鴿子也要平均分。把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放3本書？為什么？如果是10本書呢？11本呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？能用一個(gè)算式概括這么多種情況嗎？通過關(guān)鍵處的追問質(zhì)疑，引發(fā)學(xué)生的思考，由于有操作的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)余數(shù)還要再次平均分，也就是至少數(shù)等于商加1，而不是商加余數(shù)，有效突破本節(jié)課的難點(diǎn)，讓學(xué)生親歷逐步構(gòu)建完善鴿巢問題的模型。四、慧達(dá)應(yīng)用，舉一反三，遷移模型遷移、應(yīng)用、表達(dá)等都是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)生理解知識(shí)、形成技能、發(fā)展素養(yǎng)的必經(jīng)之路。“鴿巢問題”變式靈活多樣，在具體的問題情境中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將問題和模型建立聯(lián)系，區(qū)分什么是“鴿”，什么是“巢”。這個(gè)過程實(shí)質(zhì)是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，是從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境中應(yīng)用最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型的過程。這樣的過程，可有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，尤其增強(qiáng)學(xué)生的模型意識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用已獲得的模型去分析解答的能力。例如設(shè)計(jì)如下練習(xí)：1.13位老師，他們中至少有2個(gè)人屬相相同，為什么？設(shè)計(jì)此題的本意是讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析時(shí)突出與“鴿巢問題”的聯(lián)系，找出“巢”是什么？“鴿”是什么？當(dāng)“巢”隱藏時(shí)，需要進(jìn)行聯(lián)想、尋找。這樣的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移和建模的能力。2.書社準(zhǔn)備給六年級(jí)一班的40位同學(xué)分書，要求每位同學(xué)都要分到書，至少有1位同學(xué)分得兩本書，那么應(yīng)該準(zhǔn)備幾本書？通過分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)40位同學(xué)可以看成“巢”，書本可以看成“鴿”，那么物體不知道的情況下該怎么辦？逆向推理，假設(shè)每個(gè)同學(xué)先分得1本書，再選擇其中1位同學(xué)再分一本書，這樣就滿足至少有1位同學(xué)分得兩本書，也就是40×1+1=41。精心設(shè)計(jì)練習(xí)，層層遞推。從簡(jiǎn)單應(yīng)用到逆向推理，既鞏固所學(xué)知識(shí)技能，又實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維的延伸，讓學(xué)生學(xué)會(huì)熟練應(yīng)用模型進(jìn)