第01講 概率（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學年九年級數學上冊（蘇科版）

第第頁第01講概率1.了解什么是必然發(fā)生事件、不可能發(fā)生事件和隨機事件.2.在具體情境中了解概率的意義，體會概率是描述不確定事件發(fā)生可能性大小的數學概念，理解概率取值范圍的意義.3.能夠運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的概率.4.能夠通過試驗，獲得事件發(fā)生的頻率，知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率，了解頻率與概率的區(qū)別與聯系.5.通過實例進一步豐富對概率的認識，并能解決一些簡單的實際問題.知識點概率1.定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．（1）一個事件在多次試驗中發(fā)生的可能性，反映這個可能性大小的數值叫做這個事件發(fā)生的概率。（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數值。2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1。（2）在一次實驗中,可能出現的結果有限多個.（3）在一次實驗中,各種結果發(fā)生的可能性相等.（4）概率從數量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。（5）一個事件的概率取值：0≤P（A）≤1當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0隨機事件的概率：如果A為隨機事件，則0＜P（A）＜1（6）可能性與概率的關系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結果比較少時，我們可以把所有可能產生的結果全部列舉出來，并且各種結果出現的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。（2）列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。（3）列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用?！绢}型1可能性的大小】【典例1】（2023春?乳山市期末）一個不透明的盒子中裝有3個紅球和5個白球，它們除顏色外其它都相同．若從中隨機摸出一個球，則下列敘述正確的是（）A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是不可能事件 C．摸到紅球比摸到白球的可能性大 D．摸到紅球與摸到白球的可能性相等【答案】B【解答】解：A、摸到白球是隨機事件，選項錯誤，不符合題意；B、摸到黑球是不可能事件，選項正確，符合題意；C、紅球的數量比白球少，摸到紅球比摸到白球的可能性少，選項錯誤，不符合題意；D、紅球的數量比白球少，摸到紅球比摸到白球的可能性少，選項錯誤，不符合題意；故選：B．【變式1-1】（2023?花溪區(qū)校級一模）將4張質地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標有1～4四個數字，隨機抽出一張，出現可能性最大的是（）A．數字大于2的卡片 B．數字小于2的卡片 C．數字大于3的卡片 D．數字小于4的卡片【答案】D【解答】解：正面分別標有數字1、2、3、4的四張卡片，從這四張卡片中隨機抽取一張，抽到一張分別是數字1，2，3，4的概率是，抽到數字大于2的卡片的概率是＝，抽到數字小于2的卡片的概率是，抽到數字大于3的卡片的概率是，抽到數字小于4的卡片是，故選：D．【變式1-2】（2023春?桓臺縣期末）盒子里有10個球，它們只有顏色不同，其中紅球有6個，黃球有3個，黑球有1個．小軍從中任意摸一個球，下面說法正確的是（）A．一定是紅球 B．摸出紅球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黃球的可能性最小【答案】B【解答】解：由題意可得，摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率為：，摸出黑球的概率為：，故選：B．【變式1-3】（2023春?郫都區(qū)期末）轉動轉盤，當轉盤停止轉動時，指針落在紅色區(qū)域的可能性最大的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因為四個選項中的轉盤均被均分為4份，所以哪個選項中紅色區(qū)域份數最多，指針落在紅色區(qū)域的可能性就越大，四個選項中D中共有3份，故指針落在紅色區(qū)域的可能性最大，故選：D【題型2概率公式的計算】【典例2】（2023春?雅安期末）一個不透明的袋子里裝有5個紅球，2個黑球和3個白球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出一個球是白球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵一個不透明的袋中，裝有5個紅球，2個黑球和3個白球，從中任意摸出一個球有10種等可能結果，其中摸出的球是白球的結果有3種，∴從袋中任意摸出一個球，是白球的概率，故C正確；故選：C．【變式2-1】（2023?包頭模擬）質檢人員從編號為1，2，3，4，5的五種不同產品中隨機抽取一種進行質量檢測，所抽到的產品編號不小于4的概率為（）A．. B． C． D．【答案】B【解答】解：∵抽取的產品數為5種，編號不小于4的情況有2種，∴所抽到的產品編號不小于4的概率為．故選：B．【變式2-2】（2023春?威寧縣期末）一個不透明袋子中裝有7個球，其中有2個紅球、4個黑球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機取出1個球，則它是紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由題意得，從袋子中隨機取出1個球，則它是紅球的概率是．故選：B．【變式2-3】（2023?鐵鋒區(qū)二模）9張背面相同的卡片，正面分別寫有不同的從1到9的一個自然數，現將卡片背面朝上，從中任意抽出一張，正面的數是奇數的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因為1到9共9個自然數，是奇數的有5個，所以正面的數是偶數的概率為．故選：D．【題型3列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】【典例3】（2023?牡丹江模擬）分別印有漢字“學而不思則惘”的6張卡片，它們除漢字外完全相同，若將這些卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，然后隨機抽出一張，不放回，再隨機抽出一張，兩次抽出的卡片上的漢字是“思”和“學”的概率（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：列表如下：學而不思則惘學（而，學）（不，學）（思，學）（則，學）（惘，學）而（學，而）（不，而）（思，而）（則，而）（惘，而）不（學，不）（而，不）（思，不）（則，不）（惘，不）思（學，思）（而，思）（不，思）（則，思）（惘，思）則（學，則）（而，則）（不，則）（思，則）（惘，則）惘（學，惘）（而，惘）（不，惘）（思，惘）（則，惘）一共有30種等可能的結果，其中兩次抽出的卡片上的漢字是“思”和“學”的有2種可能的結果，∴P（兩次抽出的卡片上的漢字是“思”和“學”的）＝．故選：D．【變式3-1】（2023?蓮都區(qū)一模）有6張僅有編號不同的卡片，編號分別為1，2，3，4，5，6，從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：隨機抽取卡片有6種等可能結果，其中編號為偶數的有3種可能，則概率為＝．故選：C．【變式3-2】（2023?花都區(qū)二模）不透明的盒子放有三張大小、形狀及質地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：把分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩的卡片分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中卡片上詩的作者都是李白的結果有2種，即AB、BA，∴卡片上詩的作者都是李白的概率是＝，故選：A．【變式3-3】（2023?煙臺一模）第24屆冬奧會期間，小明收集到4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻后摸出1張，放回洗勻再摸出一張，則這兩張卡片正面圖案恰好是兩張滑雪的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：記高山滑雪，越野滑雪，速度滑冰，冰球分別為A，B，C，D，根據題意列表得：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）共有16種等可能的結果，其中兩張卡片正面圖案恰好是兩張滑雪的有4種，∴所抽取的兩名同學都是男生的概率是＝．故選：D【題型4列舉法或樹狀圖求概率（轉盤問題）】【典例4】（2023?蕉嶺縣一模）用圖中兩個可自由轉動的轉盤做“配紫色”游戲；分別旋轉兩個轉盤，若其中一個轉出紅色，另一個轉出藍色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：用列表法將所有可能出現的結果表示如下：所有可能出現的結果共有12種．紅（紅，紅）（藍，紅）（藍，紅）藍（紅，藍）（藍，藍）（藍，藍）紅（紅，紅）（藍，紅）（藍，紅）黃（紅，黃）（藍，黃）（藍，黃）紅藍藍上面等可能出現的12種結果中，有5種情況可以得到紫色，所以可配成紫色的概率是，故選：B．【變式4-1】（2023?禹州市一模）如圖所示的轉盤，被分成面積相等的四個扇形，并分別標有數字1，3，4，5．若自由轉動轉盤兩次，每次停止后，記下指針所指區(qū)域的數字（指針指向區(qū)域分界線時，重新轉動），則兩次所得數字之和為偶數的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，兩次所得數字之和分別為：2，4，5，6，4，6，7，8，5，7，8，9，6，8，9，10，其中兩次所得數字之和為偶數的結果為10種，∴兩次所得數字之和為偶數的概率為＝．故選：B．【變式4-2】（2023?青龍縣一模）同時轉動如圖所示的兩個轉盤，則轉盤停止轉動后，指針同時落在紅色區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：轉盤的指針同時落在紅色區(qū)域的概率＝．故選：A．【變式4-3】（2023?金水區(qū)校級一模）如圖，兩個質地均勻的轉盤被分成幾個面積相等的扇形，分別自由轉動一次，當轉盤停止后，指針各指向一個數字所在的扇形（如果指針恰好指在分隔線上，那么重轉一次，直到指針指向某一數字為止）．將兩指針所指的兩個扇形中的數相乘，積為偶數的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：列表如下：12311232246由表知共有6種等可能結果，其中積為偶數的有4種結果，所以積為偶數的概率為＝，故選：A．【題型5列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】【典例5】（2023?西陵區(qū)模擬）將分別標有“最”、“美”、“宜”、“昌”四個漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的結果有2種，∴兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率為＝，故選：A．【變式5-1】（2023?容縣一模）將分別標有“壯”、“美”、“廣”、“西”四個漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字不同外其他完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩次摸出的球上漢字可以組成“廣西”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字可以組成“山西”的結果有2種，∴兩次摸出的球上的漢字可以組成“山西”的概率為＝，故選：A．【變式5-2】（2023?河南三模）現有五張質地均勻，大小完全相同的卡片，在其正面分別標有數字﹣1，﹣2，0，2，3，把卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽出一張后，不放回，再從中隨機抽出一張，則兩次抽出的卡片所標數字之和為正數的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有20種可能結果，其中和為正數的有12種結果，所以和為正數的概率為＝，故選：C．【變式5-3】（2023?運城二模）如圖，有4張大小、形狀、背面完全相同的撲克牌，小康和小新玩撲克游戲：小新將這撲克牌背面朝上洗勻后放在桌面上，讓小康隨機抽取一張（不放回）記下牌面上的數字．小新從中抽取一張，再記下牌面上的數字，則他倆抽到的兩張撲克牌正面上的數字之和恰好是奇數的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中小康和小新抽到的兩張撲克牌正面上的數字之和恰好是奇數的結果有8種，∴他倆抽到的兩張撲克牌正面上的數字之和恰好是奇數的概率為＝，故選：D．【題型6列舉法或樹狀圖求概率（放回摸球問題）】【典例6】（2023?海淀區(qū)校級四模）不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球，除顏色外小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么兩次都摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：畫樹狀圖如下：共有25種等可能的結果，其中兩次都摸到紅球的結果有9種，∴兩次都摸到紅球的概率是，故選：D．【變式6-1】（2023?豐臺區(qū)校級模擬）不透明袋子中裝有無差別的兩個小球，分別寫有“問天”和“夢天”．隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再隨機取出一個小球，則兩次都取到寫有“問天”的小球的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：列表如下：問天夢天問天（問天，問天）（夢天，問天）夢天（問天，夢天）（夢天，夢天）由表知，共有4種等可能結果，其中兩次都取到寫有“問天”的小球的有1種結果，所以兩次都取到寫有“問天”的小球的概率為，故選：D．【變式6-2】（2023?浠水縣一模）一個袋子中裝有4個相同的小球，它們分別標有號碼1，2，3，4，搖勻后隨機取出一球，記下號碼后放回：再將小球搖勻，并從袋中隨機取出一球，則第二次取出的球的號碼不大于第一次取出的球的號碼的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根據題意畫圖如下：由圖可得，共有16種等情況數，其中第二次取出的球的號碼不大于第一次取出的球的號碼的有10種，所以第二次取出的球的號碼不大于第一次取出的球的號碼的概率為＝，故選：D．【題型7列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】【典例7】（2023?乳山市一模）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，能讓燈泡L1發(fā)光的有2種情況，∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為＝．故選：B．【變式7-1】（2023?新華區(qū)校級一模）如圖，電路圖上有4個開關A，B，C，D和1個小燈泡，同時閉合開關A，B或同時閉合開關C，D都可以使小燈泡發(fā)光．同時閉合兩個開關小燈泡發(fā)光的概率是（）?A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，現任意閉合其中兩個開關，則小燈泡發(fā)光的有4種情況，∴小燈泡發(fā)光的概率為，故選：B．【變式7-2】（2023?煙臺一模）如圖，電路圖上有1個電源，4個開關和1個完好的小燈泡，隨機閉合2個開關，則小燈泡發(fā)光的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中隨機閉合2個開關，小燈泡發(fā)光的結果有：S1S2，S1S4，S2S1，S2S3，S3S2，S3S4，S4S1，S4S3，共8種，∴隨機閉合2個開關，小燈泡發(fā)光的概率為．故選：B．【變式7-3】（2023?衡水三模）如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是（）A． B． C． D．0【答案】A【解答】解：把開關S1，S2，S3分別記為A、B、C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的結果有2種，∴能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為．故選：A．【題型8列舉法或樹狀圖求概率（數字問題）】【典例8】（2023?利辛縣模擬）一袋中裝有形狀、大小都相同的三個小球，每個小球上各標有一個數字，分別是2、3、4．現從袋中任意摸出兩個小球，則摸出的小球上的數都是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，x1＝2，x2＝3，畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中摸出的小球上的數都是方程x2﹣5x+6＝0的解的結果有（2，3），（3，2），共2種，∴摸出的小球上的數都是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率為＝．故選：B．【變式8-1】（2023?天元區(qū)校級一模）有四張完全相同的卡片，上面分別寫著﹣1、0、1、2，從中一次抽取兩張卡片，這兩張卡片上的數字的和為正數的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結果數，其中兩個數字的和為正數的結果數有8種，∴這兩張卡片上的數字的和為正數的概率是，故選：D．【變式8-2】（2023?長沙模擬）現有A，B兩個不透明的盒子，A盒里有兩張卡片，分別標有數字1，2，B盒里有三張卡片，分別標有數字3，4，5，這些卡片除數字外其余都相同，將卡片充分握勻，從A盒、B盒里各隨機抽取一張卡片，則抽到的兩張卡片上標有的數字之積大于6的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：列表如下：123364485510由表知，共有6種等可能結果，其中數字之積大于6的有2種結果，所以數字之積大于6的概率為＝，故選：C．【變式8-3】（2023?乳山市模擬）不透明的袋子中有三個小球，上面分別寫著數字“1”，“2”，“3”，除數字外三個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，那么兩次記錄的數字之和為4的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有9種等可能結果，其中兩次摸出的小球所標數字之和為4的有3種結果，所以兩次記錄的數字之和為4的概率是＝，故選：B．【題型9列舉法或樹狀圖求概率（實際應用問題）】【典例9】（2023?豐順縣一模）某商場服裝部為了了解服裝的銷售情況，5月份隨機抽查了25名營業(yè)員的銷售額，繪制出了如下的兩個統(tǒng)計圖，請根據信息解決問題：（1）圖中m的值為28，扇形統(tǒng)計圖中，12萬元扇形的圓心角等于28.8°；（2）統(tǒng)計的這組數據的平均數是18.6萬元，中位數是18萬元，眾數是21萬元；（3）如果規(guī)定銷售額24萬元為A等級，銷售額15萬元到21萬元為B等級，銷售額12萬元為C等級，從A、C等級中任意選出兩個營業(yè)員，至少有一個是A等級的概率是多少？（用列表法或樹形圖求解）【答案】（1）28，28.8°；（2）18.6，18，21；（3）．【解答】解：（1）1﹣20%﹣8%﹣12%﹣32%＝28%，∴m＝28，360°×8%＝28.8°；故答案為：28，28.8°；（2），∴平均數為18.6萬元，∵抽查了25名營業(yè)員，∴中位數為從大到小排列后的第13個數據，∴中位數為18萬元，∵21出現次數最多，出現了8次，∴眾數為21萬元；故答案為：18.6；18；21；（3）A等級3人，B等級2人，列表如下：A1A2A3C1C2A1（A1，A2）（A1，A3）（A1，C1）（A1，C2）A2（A2，A1）（A2，A3）（A2，C1）（A2，C2）A3（A3，A1）（A3，A2）（A3，C1）（A3，C2）C1（C1，A1）（C1，A2）（C1，A3）（C1，C2）C2（C2，A1）（C2，A2）（C2，A3）（C2，C1）一共有20種等可能結果，至少有一個是A等級的有18種，∴P（至少有一個是A等級）＝．【變式9-1】（2023春?北侖區(qū)校級月考）某地教育考試院進行今年的體育中考選測項目抽簽儀式，抽簽產生了50米跑、立定跳遠、跳繩（60秒）作為今年的3項選測項目．某校九年級在考前組織了一次模擬抽測．該九年級共有500名學生，其中女生人數占總人數的60%，從九年級女生中隨機抽取部分學生進行跳繩項目的測試（滿分10分，所有抽測女生均達到6分及以上），并制作了如下頻數表和統(tǒng)計圖（部分信息未給出）．抽取的女生跳繩成績的頻數表成績x（個）得分（分）頻數（人）x≥1701010160≤x＜1709m150≤x＜16087140≤x＜1507n130≤x＜14063由圖表中給出的信息回答下列問題：（1）m＝16，n＝4．（2）求扇形統(tǒng)計圖中“8分”所對應的扇形圓心角的度數．（3）如果該校九年級女生都參加測試，請你根據抽樣測試的結果，估計獲得9分及以上的女生有多少人？（4）學校決定從跳繩成績最好的甲、乙、丙、丁四位女生中隨機選取兩位與跳繩困難的同學組成“幫扶小組”，用列表或畫樹狀圖法求甲、乙兩位女生同時被選中的概率．【答案】（1）16，4；（2）63°；（3）195人；（4）．【解答】解：（1）由頻數表可知，得10分的人數是10人，由扇形統(tǒng)計圖可知：得10分人數占比25%，∴本次抽取的人數為：10÷25%＝40（人），由扇形統(tǒng)計圖可知：得9分人數占比40%，∴得9分的人數為：40×40%＝16（人），∴m＝16，又∵10+m+7+n+3＝40，∴n＝4，故答案為：16，4．（2）由頻數表可知，得8分的人數是7人，∴得8分的人數占比為：7÷40＝17.5%，∴扇形統(tǒng)計圖中“8分”所對應的扇形圓心角的度數為：360°×17.5%＝63°；（3）由頻數表可知，得9分及以上人數是：10+m＝26（人），∴得9分及以上人數占比為：26÷40＝65%，∵全校九年級共有500名學生，其中女生人數占總人數的60%，∴全校獲得9分及以上的女生有：500×60%×65%＝195（人）；（4）畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知：共有12中等可能情況，其中甲乙同時被選中的有兩種，∴甲、乙兩位女生同時被選中的概率為：．【變式9-2】（2023春?魯山縣期末）一個不透明的口袋中裝有8個白球和12個紅球，每個球除顏色外都相同．（1）“從口袋里隨機摸出一個球是黃球”這一事件是不可能事件：“一次性摸出9個球，摸到的球中至少有一個紅球”這一事件發(fā)生的概率為1．（2）求從口袋里隨機摸出一個球是紅球這一事件的概率；（3）從口袋里取走x個紅球后，再放入x個白球，并充分搖勻，如果隨機摸出白球的概率是，求x的值．【答案】（1）不可能；1；（2）；（3）x＝8．【解答】解：（1）∵口袋沒有黃球，∴口袋里隨機摸出一個球是黃球”這一事件是不可能事件；∵口袋中有8個白球和12個紅球，∴“一次性摸出9個球，摸到的球中至少有一個紅球”這一事件發(fā)生的概率為1，故答案為：不可能；1；（2）口袋中裝有8個白球和12個紅球，共有20個球，∴從口袋中隨機摸出一個球是紅球的概率是；（3）由題意，口袋中有（8+x）個白球和（12﹣x）個紅球，共有20個球，∴從口袋中隨機摸出一個球是白球的概率是，解得x＝8．【變式9-3】（2023?武侯區(qū)校級模擬）為培養(yǎng)學生熱愛美，發(fā)現美的藝術素養(yǎng)，我校開展了藝術選修課．學生根據自己的喜好選擇一門藝術項目：A書畫，B攝影，C泥塑，D紙藝．張老師隨機對該校部分學生的選課情況進行調查后，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：（1）張老師調查的學生人數是72人，其中選擇“泥塑”選修課在扇形統(tǒng)計圖中圓心角的度數為60°；（2）若該校學生共有900人，請估計全校選修“攝影”的學生人數；（3）現有4名學生，其中2人選修書畫，1人選修攝影，1人選修泥塑．張老師要從這4人中任選2人了解情況，請用樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書畫的概率．【答案】（1）72人，60°；（2）估計全校選修“攝影”的學生人數約200人；（3）．【解答】解：（1）張老師調查的學生人數是（16+12+20）÷＝72（人），其中選擇“泥塑”選修課在扇形統(tǒng)計圖中圓心角的度數為360°×＝60°，故答案為：72人，60°；（2）900×＝200（人），答：估計全校選修“攝影”的學生人數約200人；（3）把選修書畫的2人記為A、B，選修攝影的1人記為C，選修泥塑的1人記為D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中所選2人都是選修書畫的結果有2種，即AB、BA，∴所選2人都是選修書畫的概率為＝．【題型10幾何概率】【典例10】（2023春?臨淄區(qū)期末）一個均勻的小球在如圖所示的水平地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上，若每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：∵總面積為9個小正方形的面積，其中陰影部分面積為4個小正方形的面積，∴小球停留在陰影部分的概率是，故選：A．【變式10-1】（2023?平遠縣一模）如圖，是由7個全等的正六邊形組成的圖案，假設可以隨機在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：先設每個正六邊形的面積為x，則陰影部分的面積是4x，得出整個圖形的面積是7x，則這個點取在陰影部分的概率是＝．故選：C．【變式10-2】（2023春?九江期末）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由圖可知，黑色地磚5塊，共有9塊地磚，∴該小球停留在黑色區(qū)域的概率是．故選：D．【變式10-3】（2023春?寧陽縣期中）如圖，在3×3的正方形網格中，已有兩個小正方形被涂黑，再將圖中剩余的編號1﹣4的小正方形中任意一個涂黑，則所得圖案中陰影部分是一個軸對稱圖形的概率是（）A． B．1 C． D．【答案】B【解答】解：選擇一個正方形涂黑，使得3個涂黑的正方形組成軸對稱圖形，選擇的位置有以下幾種：1處，2處，3處，4處，選擇的位置共有4處，其概率＝＝1．故選：B．1．（2023?河北）有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上，若從中隨機抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃）B．（紅心）C．（梅花）D．（方塊）【答案】B【解答】解：∵抽到黑桃的概率為，抽到紅心的概率為，抽到梅花的概率為，抽到方塊的概率為，∴抽到的花色可能性最大的是紅心，故選：B．2．（2023?貴州）在學?？萍夹麄骰顒又校晨萍蓟顒有〗M將3個標有“北斗”，2個標有“天眼”，5個標有“高鐵”的小球（除標記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機摸出1個小球，并對小球標記的內容進行介紹，下列敘述正確的是（）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高鐵”小球的可能性最大 D．摸出三種小球的可能性相同【答案】C【解答】解：∵有3個標有“北斗”，2個標有“天眼”，5個標有“高鐵”的小球，∴小紅從盒中隨機摸出1個小球，摸出標有“北斗”的概率是＝；摸出標有“天眼”的概率是＝；摸出標有“高鐵”的概率是＝，∵＞＞，∴摸出標有“高鐵”小球的可能性最大．故選：C．3．（2023?赤峰）某校在勞動課上，設置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：把植樹、種花、除草三個勞動項目分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到種花的結果有1種，∴這兩個班級恰好都抽到種花的概率是，故選：D．4．（2023?常德）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友已于2023年6月4日回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，現在要從這三名航天員中選2人各進入一個實驗艙開展科學實驗，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：畫樹狀圖如下：∴一共有6種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時被選中的情況有2種，∴甲、乙兩人同時被選中的概率為＝．故選：B．5．（2023?武漢）某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：跳高（記為項目1）、跳遠（記為項目2）、100米短跑（記為項目3）、400米中長跑（記為項目4），畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，恰好抽到“100米”和“400米”兩項的有2種情況，∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：．故選：C．6．（2023?齊齊哈爾）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和三名女同學表現優(yōu)異．若從以上四名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中剛好抽中一名男同學和一名女同學的結果有6種，∴剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是＝，故選：A．7．（2023?臨沂）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調查小組進行社會調查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中一名男生和一名女生的結果數為8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．故選：D．8．（2023?鞍山）二十四節(jié)氣是中國古代一種用來指導農事的補充歷法，在國際氣象界被譽為“中國的第五大發(fā)明”，并位列聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，小明和小亮對二十四節(jié)氣非常感興趣，在課間玩游戲時，準備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫有“A．驚蟄”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四個節(jié)氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，并講述所抽卡片上的節(jié)氣的由來與習俗．（1）小明從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是．（2）小明先從四張卡片中隨機抽取一張，小亮再從剩下的卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）共有4種等可能出現的結果，其中抽到“A．驚蟄”的只有1種，所以小明從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是，故答案為：；（2）用樹狀圖表示所有等可能出現的結果如下：共有12種等可能出現的結果，其中兩人都沒有抽到“B．夏至”的有6種，所以兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率為＝．9．（2023?遼寧）為了推進“優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進校園”活動．學校準備在七年級成立四個課外活動小組，分別是：A．民族舞蹈組；B．經典誦讀組；C．民族樂器組；D．地方戲曲組，為了了解學生最喜歡哪一個活動小組，學校從七年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查，每人必須選擇且只能選擇一項．并將調查結果繪制成如所示兩幅統(tǒng)計圖．?請根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）本次調查的學生共有100人；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求D組所對應的扇形圓心角的度數，并補全條形統(tǒng)計圖；（3）在重陽節(jié)來臨之際，學校計劃組織學生到敬老院為老人表演節(jié)目，準備從這4個小組中隨機抽取2個小組匯報演出，請你用列表法或畫樹狀圖法，求選中的2個小組恰好是C和D小組的概率．【答案】（1）100；（2）36°；（3）．【解答】解：（1）35÷35%＝100（人），故答案為：100；（2）D組所對應的扇形圓心角的度數為：360＝36°，選擇B組的人數為：100﹣15﹣35﹣10＝40（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）用樹狀圖表示所有等可能出現的結果如下：共有12種等可能出現的結果，其中2個小組恰好是C和D小組的有2種，所以選中的2個小組恰好是C和D小組的概率為＝．10．（2023?雅安）某校為了調查本校學生對航空航天知識的知曉情況，開展了航空航天知識競賽，從參賽學生中，隨機抽取若干名學生的成績進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表：成績/分頻數/人頻率60≤x＜70100.170≤x＜8015b80≤x＜90a0.3590≤x≤10040c請根據圖表信息解答下列問題：（1）求a，b，c的值；（2）補全頻數分布直方圖；（3）某班有2名男生和1名女生的成績都為100分，若從這3名學生中隨機抽取2名學生參加演講，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學生恰好為1男1女的概率．【答案】（1）a＝35，b＝0.15，c＝0.4；（2）詳見解答；（3）．【解答】解：（1）調查人數為：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；（2）由各組頻數補全頻數分布直方圖如下：（3）用樹狀圖法表示所有等可能出現的結果如下：共有6種等可能出現的結果，其中1男1女的有4種，所以抽取的2名學生恰好為1男1女的概率是＝．11．（2023?營口）某校在評選“勞動小能手”活動中，隨機調查了部分學生的周末家務勞動時間，根據調查結果，將勞動時長劃分為A，B，C，D四個組別，并繪制成了不完整統(tǒng)計圖表．學生周末家務勞動時長分組表組別ABCDt（小時）t＜0.50.5≤t＜11≤t＜1.5t≥1.5請根據圖表中的信息解答下列問題：（1）這次抽樣調查共抽取50名學生，條形統(tǒng)計圖中的a＝9，D組所在扇形的圓心角的度數是108°；（2）已知該校有900名學生，根據調查結果，請你估計該校周末家務勞動時長不低于1小時的學生共有多少人？（3）班級準備從周末家務勞動時間較長的三男一女四名學生中，隨機抽取兩名學生參加“我勞動，我快樂”的主題演講活動，請用列表法或畫樹狀圖法求出恰好選中兩名男生的概率．【答案】（1）50，9，108°；（2）估計該校周末家務勞動時長不低于1小時的學生共有666人；（3）．【解答】解：（1）這次抽樣調查共抽取的學生人數為：22÷44%＝50（名），∴A組的人數為：50×8%＝4（名），∴條形統(tǒng)計圖中的a＝50﹣4﹣22﹣15＝9，D組所在扇形的圓心角的度數為：360°×＝108°，故答案為：50，9，108°；（2）900×＝666（人），答：估計該校周末家務勞動時長不低于1小時的學生共有666人；（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中恰好選中兩名男生的結果有6種，∴恰好選中兩名男生的概率為＝．1．（2023春?濟南期末）盒子里有10個球，它們只有顏色不同，其中紅球有7個，黃球有2個，黑球有1個．幸幸從中任意摸一個球，下面說法正確的是（）A．一定是紅球 B．摸出紅球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黃球的可能性最小【答案】B【解答】解：從中任意摸出一個球，有可能是紅球，有可能是黃球，有可能是黑球，由紅球有7個，黃球有2個，黑球有1個，所以摸出紅球的概率最大，摸出黑球的概率最小；故A、C、D選項說法錯誤；故選：B．2．（2023春?宿遷期末）標號為A、B、C、D的四個盒子中所裝有的白球和黑球數如下，則下列盒子最易摸到黑球的是（）A．12個黑球和4個白球 B．10個黑球和10個白球 C．4個黑球和2個白球 D．10個黑球和5個白球【答案】A【解答】解：A、摸到黑球的概率為＝0.75，B、摸到黑球的概率為＝0.5，C、摸到黑球的概率為＝，D、摸到黑球的概率為＝，故選：A．3．（2023春?贛榆區(qū)期末）從一副撲克牌中任意抽取1張，則下列事件中發(fā)生的可能性最大的是（）A．這張牌是“A” B．這張牌是“紅心” C．這張牌是“大王” D．這張牌是“紅色的”【答案】D【解答】解：從一副撲克牌中“A”有4張，“紅心”有13張，“大王”有1張，“紅色的”有27張，∵27＞13＞4＞1，∴這張牌是“紅色的”的可能性最大，故選：D．4．（2022秋?畢節(jié)市期末）一次擲兩枚質地均勻的硬幣，出現兩枚硬幣都正面朝下的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：同時擲兩枚質地均勻的硬幣一次，共有正正、反反、正反、反正四種等可能的結果，兩枚硬幣都是正面朝下的占一種，所以兩枚硬幣都是正面朝下的概率＝．故選：D．5．（2023?臨沭縣二模）“宮商角徵羽”是中國古樂的五個基本音階（相當于西樂的1，2，3，5，6），是采用“三分損益法”通過數學方法獲得．現有一款“一起聽古音”的音樂玩具，音樂小球從A處沿軌道進入小洞就可以發(fā)出相應的聲音，且小球進入每個小洞中可能性大小相同．現有一個音樂小球從A處先后兩次進入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據題意畫圖如下：共有25種等可能的情況數，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的有1種，則先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是．故選：A．6．（2023?霍邱縣二模）某校組織九年級學生參加中考體育測試，共租3輛客車，分別編號為1、2、3，李軍和趙娟兩人可任選一輛車乘坐，則兩人同坐2號車的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結果數，其中兩人同坐2號車的結果數為1，所以兩人同坐2號車的概率＝．故選：A．7．（2023?匯川區(qū)模擬）如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是（）A．0 B． C． D．【答案】C【解答】解：把開關S1，S2，S3分別記為A、B、C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的結果有2種，∴能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為＝，故選：C．8．（2023?廬江縣二模）某校九年級一班準備舉行一次演講比賽，甲、乙、丙三人通過抽簽的方式決定出場順序，則出場順序恰好是甲、乙、丙的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：畫出樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，其中出場順序恰好是甲、乙、丙的只有1種結果，∴出場順序恰好是甲、乙、丙的概率為，故選：A．9．（2023?西峽縣三模）將分別標有“建”、“設”、“大”、“美”、“河”、“南”漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字可以組成“河南”的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：將標有“建”、“設”、“大”、“美”、“河”、“南”漢字的小球分別記為：1、2、3、4、5、6，畫樹狀圖如下：共有30種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“河南”的結果有2種，∴兩次摸出的球上的漢字組成“河南”的概率為＝，故選：B．9．（2023?海淀區(qū)校級模擬）在一個不透明的袋中有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外部相同．攪勻后，隨機從中摸出一個球．記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后，再從中隨機摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有9種等可能結果，其中兩次都摸到紅球的有4種結果，∴兩次都摸到紅球的概率為，故選：D．10．（2023?盱眙縣模擬）為深入學習貫徹黨的二十大精神，某學校決定舉辦“青春心向黨，奮進新征程”主題演講比賽，該校九年級一班有1男3女共4名學生報名參加演講比賽．（1）若從報名的4名學生中隨機選1名，則所選的這名學生是女生的概率是；（2）若從報名的4名學生中隨機選2名，用畫樹狀圖或列表的方法，求這2名學生都是女生的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由